融入數學文化　考查核心素養

覃淋　喻曉婷　張靜

[摘? 要] 對2018—2020年高考數學全國卷中的數學文化試題進行統計分析，研究后發現：高考數學全國卷一直在積極探索如何將數學文化與高考數學試題相結合，將數學文化融入數學試題，考查數學學科核心素養. 高考數學全國卷將數學文化、數學試題與數學學科核心素養三者有機融合后進行考查，引導學生“會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界”.

[關鍵詞] 高考;全國卷;弘揚;數學文化;探索

引 言

“數學文化”一詞，是美國數學家懷爾德（R. L. Wilder）于1981年在《作為一種文化體系的數學》（Mathematics as a Culture System）中提出的，他從數學人類學的角度提出了“數學作為一種文化體系”的觀點. 這一觀點為研究數學的發展展現了一個新的視角，也為數學教育研究注入了新鮮的血液. 數學文化是提升學生數學核心素養的重要手段，具有非常重要的教育價值與文化價值. 從數學文化的角度來研究高考試題，是改進高中數學命題與教學改革的一個重要突破口.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱“新課標”）指出：要將數學文化融入數學教學活動中. 通過教學中滲透數學文化，讓學生了解數學的發展歷程，認識數學在科學技術和人類社會發展中所起的重要作用，引導學生認識和感悟數學的文化價值，樹立文化自信，提升人文素養和數學核心素養[1]. 2019年普通高等學校招生全國統一考試大綱（數學）在“個性品質要求”中提到：“要求考生具有一定的數學視野，認識數學的科學價值和人文價值，崇尚數學的理性精神，形成審慎的思維習慣，體會數學的美學意義.”然而，對于數學文化內涵的界定，并沒有達成共識. 可以說，凡與數學有關的一切事物都可以歸為數學文化的范疇. 新課標給出的定義是：“數學文化是指數學的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發展;還包括數學在人類生活、科學技術、社會發展中的貢獻和意義，以及與數學相關的人文活動.”[1]

近年來，以數學文化作為試題背景已成為高考命題的新亮點、新趨勢，數學文化試題具有其他數學試題難以比擬的文化價值與教育價值，它所具有的教育意義和教育價值超越了試題本身. “數學文化作為數學和人類文化的重要組成部分，所體現出來的人文價值、社會價值、科學價值、美學價值和應用價值，對學生的數學素養與數學學科核心素養的培養起著重要作用，也是高考試題的重要考查內容.”基于新課標對數學文化的定義，高考數學全國卷一直在積極探索如何將數學文化與高考數學試題相結合，并通過數學試題考查來滲透數學文化. 在命題時，高考數學全國卷努力將數學文化、數學試題與數學學科核心素養三者有機融合，引導學生“會用數學的眼光觀察世界，會用數學的思維思考世界，會用數學的語言表達世界”.以數學文化為背景的試題，可以極大地激發學生的學習興趣，使學生感受到數學知識濃厚的歷史文化底蘊，同時引導學生認識和感悟數學的文化價值、社會價值、科學價值、美學價值、應用價值以及人文精神.

高考數學全國卷力爭把數學的理性精神，數學家勇于克服困難的頑強精神，重要的數學概念、公式、法則的發生和發展過程，以及數學的廣泛應用融合在一起. 在素材的選取上既關注中國古代數學，也兼顧近現代中外數學史與數學文化. 在對數學文化素材的提煉和總結上，充分發掘數學文化的文化價值、社會價值、科學價值、美學價值、應用價值以及人文精神.

研究設計

1. 研究對象

2018—2020年高考數學全國卷包含Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷，每套試卷均分為文科和理科，三年一共18套試卷.其中，2018—2019年高考數學全國卷Ⅰ適用于安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、廣東、河南、山東，全國卷Ⅱ適用于重慶、陜西、甘肅、寧夏、青海、新疆、黑龍江、吉林、遼寧、內蒙古、海南，全國卷Ⅲ適用于云南、廣西、貴州、四川、西藏;2020年高考數學全國卷Ⅰ適用于安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、廣東、河南，全國卷Ⅱ適用于重慶、陜西、甘肅、寧夏、青海、新疆、黑龍江、吉林、遼寧、內蒙古，全國卷Ⅲ適用于云南、廣西、貴州、四川、西藏.

全國卷是由教育部考試中心組織命制的、適用于全國大部分省區的高考試卷，具有非常鮮明的特征：考查內容基本覆蓋了《考試大綱》要求的內容，遵循了《考試說明》的要求，其命題理念完全符合新課標理念，注重對學生數學學科核心素養的考查;考查內容以高中數學主干知識為主線，重點考查學生對重要的數學概念、定理、方法、思想的理解與應用，強調基礎性、綜合性和應用性，綜合考查學生的數學學科核心素養;以問題情境為載體，考查學生綜合運用數學知識解決實際問題的能力;注重數學本質、通性通法，命題源于教材、高于教材;淡化解題技巧，融入數學文化，滲透數學思想方法.

2. 數學文化試題的分類

結合PISA（2021）對數學問題背景[2]的分類與高考數學全國卷中試題涉及的數學文化內容，將數學文化試題劃分為數學史、數學與生活、數學與人文藝術、數學與科學，但并不涉及數學思想、數學方法和數學精神等[2]. 對數學與生活、數學與人文藝術、數學與科學的詳細劃分見表1[2].

研究結果與分析

按照上述的分析框架，對2018—2020年18套高考數學全國卷中共計414道試題進行了統計分析，得到了2018—2020年18套高考數學全國卷中數學史、數學與生活（下文簡稱“生活”）、數學與科學（下文簡稱“科學”）、數學與人文藝術（下文簡稱“藝術”）等各數學文化類型試題的數量以及所占比重，結果如表2、圖1、圖2所示.

由表2可知，2018—2020年，3年高考的數學文化試題數量較少，僅有58道，占試題總量的14.01%. 從題目類型來看，包括了選擇題、填空題、計算題和證明題，涵蓋了高考數學試題所有的題目類型. 從18套高考數學試卷在數學史、生活、藝術、科學四個方面來看，在生活方面的試題最多，在藝術方面的試題最少. 從數學文化試題涉及的數學知識領域來看，在“統計與概率”領域的試題最多，其次是“代數與幾何”領域. 2018—2020年高考數學全國卷中的數學文化試題主要集中在“統計與概率”領域. 究其原因，一方面，“統計與概率”是數學課程改革的重點關注領域：概率是研究隨機現象的，為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法;統計則是要求學生能對收集的數據進行整理和分析，作出科學合理的決策. 另一方面，從數學應用的角度來看，“統計與概率”的內容與數學課程標準大力強調“應用數學知識來解決實際問題”相契合，這部分內容與學生的實際生活相結合得較緊密. 命題者常常從現實生活或學生不太熟悉的科學情境中提取材料、設置問題，綜合考查學生分析和解決實際問題的能力.如2019年高考數學全國卷Ⅰ（理科）第21題，以概率題目為壓軸題，背景新穎，題目字數多，閱讀量很大，既考查了概率的基礎知識和概率的思想方法，又和數列聯系起來，綜合性極強. 充分體現了數學學科核心素養立意的命題導向.

由圖3可知，18套高考數學全國卷在數學史、生活、藝術、科學四個方面的試題數量大致呈斜“N”字形. 在藝術方面的試題最少，在生活方面的試題最多，這在圖4中表現得更加明顯. 可以看出，高考數學文化試題主要集中在生活、科學兩個方面.

為更加清楚2018—2020年高考數學全國卷試題弘揚數學文化的程度，下面從數學文化試題的每個維度進行分析.

1. 以數學史為背景的試題

數學史融入高考數學試題是數學文化的重要體現，可以引導中學數學教學. HPM的實踐研究表明，數學史具有激發學生的學習興趣、增加學習動機、幫助學生理解重要的數學概念等教育價值;而且，還可以通過數學史進行數學學科德育，實現立德樹人的根本任務.

數學史融入高考數學試題主要有附加式、復制式、順應式和重構式四種方式[3]. 從試題中數學史的運用情況來看，以復制式和順應式為主，運用水平較高. 通過對2018—2020年高考數學全國卷試題的統計分析，可以發現：第一，從題型來看，有選擇題、填空題、解答題和證明題;第二，從史料涉及領域來看，涉及代數、不等式、解析幾何、立體幾何和概率等. 數學史方面的試題的命制來源有三種：①以數學史中著名的問題或定理為背景;②以中國古今數學家的研究成果為背景;③以國外古今數學家的研究成果為背景.

比如，2018年高考數學全國卷Ⅰ（理科）第10題，以古希臘數學家希波克拉底（Hippocrates of Chios，公元前5世紀中期）研究的“化圓為方”內容為背景命制考題，屬于“以數學史中著名的問題或定理為背景”的試題，考查幾何概型相關知識. 2018年高考數學全國卷Ⅱ（理科）第8題，以哥德巴赫猜想為載體，考查古典概率的計算，這是以附加的方式將數學史融入試題. 2019年高考數學全國卷Ⅰ（文理科）第23題，以均值不等式和柯西不等式為命題背景，考查不等式的證明，屬于“以數學史中著名的問題或定理為背景”的試題.

再如，2019年高考數學全國卷Ⅲ（文理科）第21題，以“阿基米德方法”（The Method of Archimedes）和“拋物線圖形求積法”（Quadrature of the Parabola）中的相關內容為背景命制考題，屬于“以國外古今數學家的研究成果為背景”的試題，考查直線與拋物線的位置關系、直線方程、重心性質、函數最值、弦長公式以及三角形面積等知識，綜合考查學生分析和解決問題的能力，同時考查學生數學建模、邏輯推理、數學運算等數學學科核心素養，試題背景的意義與價值已超出了試題本身，將數學的理性精神表現得淋漓盡致. 而且，通過考察歷年的高考數學試題，發現“阿基米德方法”中的“拋物弓形面積”是一個命題熱點，幾乎每年都有以此為背景的考題：江西卷第22題（2005年），全國卷Ⅱ第21題（2006年），江蘇卷（理科）第19題（2007年），山東卷第22題（2008年），江西卷第21題（2008年），遼寧卷第20題（2013年），浙江卷第21題（2018年），浙江卷第21題（2019年），等等. 人教A版選修2-1第二章“圓錐曲線與方程”的復習參考題B組第3題與此考題類似.

2. 融數學于人類生活，用數學思維分析實際問題

隨著科學研究的發展和進步，數學概念與方法空前廣泛地滲透到數學之外的其他學科領域和我們的生活. 正如蘇聯一位數學家所言，“當今世界不僅僅是科學在數學化，而且絕大多數實踐活動也在數學化……我們的時代就是知識數學化的時代.”所謂數學化，就是運用數學思想和方法分析、研究客觀世界的種種現象并加以組織的過程. 數學化過程就是從一個具體的情境問題出發，從中提煉數學模型，由實際問題轉化到數學問題，由具體問題轉化到抽象概念，再由數學概念、公式、法則的再發現轉化到具體應用.

新課標中也大力強調數學的應用：“數學的應用已經滲透到現代社會及人們日常生活的各個方面.”通過數學的眼光來觀察世界，運用數學的語言來表達世界，運用數學的思想方法來解決實際問題，是數學文化考查的一個重點. 設置這類問題不僅能培養和增強學生的數學應用意識，還能拓寬學生的視野.

將數學文化融入考題時，高考數學全國卷注重考題與背景的有機結合，以不可分離的方式呈現數學文化. 比如，2018年高考數學全國卷Ⅰ（文科）第3題，以我國新農村建設前后農民的經濟收入的構成比例為背景，考查學生對統計圖表所表達的含義的理解，是一道極富時代氣息的試題.要求學生能夠從統計圖表中提取相關信息，運用所學的統計知識來解決生活中的實際問題，體現了數學的廣泛應用性;題目難度不大，但背景新穎，可以極大地激發學生的興趣，體現了“數學來源于現實，存在于現實，并應用于現實”.再如，2018年高考數學全國卷Ⅱ（文科）第5題，此題以學生參加社區服務為背景，很是貼近學生的生活實際;試題難度不大，可以較好地培養學生的數學應用意識. 2018年高考數學全國卷Ⅲ（理科）第8題，此題以移動支付為背景，需要學生建立相應的數學模型來解決：只要學生能夠抽象出題設所蘊含的數學模型，基本就可以解答，考查學生數學抽象、數學建模、數學運算、邏輯推理等數學學科核心素養;在模型分析的過程中，培養學生的數學建模意識，幫助學生積累從具體到一般的數學活動經驗.

3. 奠基科學技術，用理性精神服務科學

數學是自然科學的基礎與工具，并且在自然科學、社會科學、人文科學等的發展中發揮著越來越大的作用，“隨著計算機科學、人工智能的迅猛發展……使得數學的研究領域和應用領域得到極大拓展”，可以說，數學打上了人類各個文化發展階段的烙印. 正如華羅庚先生所言：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學.”

高考數學全國卷在科學方面的試題較多，僅次于生活方面的試題，占數學文化試題總數量的27.59%;主要涉及醫學、農業、天文、工業生產等. 在試題的設計中，注重數學文化與數學問題的有機結合，充分體現了數學是刻畫自然規律和社會規律的科學語言和得力工具.

比如，2018年高考數學全國卷Ⅲ（理科）第18題，此題通過莖葉圖提供數據信息，要求學生從統計圖表中讀取信息，考查學生的數據分析素養和應用數學知識解決實際問題的能力. 再如，2019年高考數學全國卷Ⅲ（文理科）第16題，以3D打印技術為背景，背景新穎，極富時代特色，難度不大，主要考查學生的直觀想象能力和數學建模能力，充分體現了數學學科核心素養立意的命題導向.

這類試題要求學生在面對具有現實生活背景的實際問題時，能運用數學知識和經驗，將實際問題“數學化”：首先將實際問題簡化后轉化為數學問題，然后進一步符號化處理數學問題并解決問題，最后是回顧、總結和分析已經完成的數學化過程.以數學核心素養立意的試題不僅注意數學分支之間的聯系，還注重強調數學的應用性，注重培養學科探究能力.

4. 與藝術聯姻，融數學于人類文化

統計表明，2018—2020年高考數學全國卷在藝術方面的考題命制較薄弱，只有9道試題，占數學文化試題總數量的15.52%.

命制數學文化試題時，要找到背景知識和數學學科知識的恰當結合，把人類優秀文化融入試題中，使得學生通過數學運算與數學推理等過程更加深入地理解數學文化，同時感受到數學對推動人類發展所起的巨大作用，這是高考數學全國卷一直秉承的命題立意和導向. 命制數學文化試題時，在深入了解試題背景材料所蘊含的傳統文化的前提下，力求在試題呈現和能力考查上突出體現數學文化的核心. 考查的重點是數學的必備知識、關鍵能力和學科素養，引導學生從數學的角度認識文化，思考文化中蘊含的數學問題，感悟文化中的理性精神.

比如，2018年高考數學全國卷Ⅲ（文理科）第3題，以中國古建筑的榫卯結構為背景，考查三視圖的相關內容. 首先，給出榫卯結構圖，并對其進行簡單介紹，引發學生的興趣，要求學生先通過空間想象得到俯視圖，將幾何與生產生活巧妙地結合起來，體現了數學的實用價值，與往常的命題方式大不相同. 又如，2020年高考數學全國卷Ⅱ（文科）第3題，以鋼琴的原位大三和弦、原位小三和弦為背景，展現了數學與音樂之間的聯系. 題目本身并不難，即使對于沒有學過樂理的學生，通過仔細閱讀題干也可以理解，這樣也考查了學生獲取信息的能力. 若學生在解題時又可以進一步發掘不變量關系，則可以將題目進一步簡化，能更快地解決問題.又如，2019年高考數學全國卷Ⅰ（文理科）第4題，以黃金分割為背景，不僅體現了數學的應用性，還將數學與美育聯系了起來. 可以改變學生對數學的固有印象，讓學生感受數學的文化魅力，體會數學的美學意義，體現了數學“以文育人”“以文化人”的功能. 再如，2020年高考數學全國卷Ⅰ（文理科）第3題，以古代世界建筑奇跡之一的埃及胡夫金字塔為背景，此題難度不大，但需要將胡夫金字塔與所學習的立體幾何知識相結合，把題目中的條件轉化為方程，再求解即可，主要考查直觀想象和數學運算兩種數學學科核心素養.

結束語

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確指出：高考命題時，要“強調學生對重要數學概念、定理、方法、思想的理解和應用……注重數學本質、通性通法，淡化解題技巧，融入數學文化”，并且要“選擇合適的問題情境來考查數學學科核心素養”. 高考作為中等教育進入高等教育的一個必經環節，要通過試題來達到“以文育人”“以文化人”的教育功能. 數學文化試題命制需要進一步挖掘數學文化內在的精髓，讓學生在解決數學問題時了解數學的發展歷程，感受試題背后的數學文化，感悟數學的文化價值，在潛移默化中滲透數學的理性精神. 同時，試題中融入數學文化，要注意數學文化的融入方式（盡量避免點綴、附加的方式），將數學文化深入到試題本身，盡可能做到試題與數學文化不可分離，這樣才能更好地突出數學文化的價值.

總之，將數學文化融入試題既要注重體現數學的文化價值、科學價值、應用價值、社會價值以及教育價值，更要注重數學文化與試題的深度融合，避免點綴式、附加式的淺層次融入方式. 試題中融入數學文化要注意數學文化所表述的事件、人物、問題等元素和數學試題之間的聯系性，重視數學文化的工具性功能和目標性功能[3]. 這樣才能更好地體現數學文化的教育價值，促進數學文化融入中小學數學的課堂教學，形成良性循環.

參考文獻：

[1]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 覃淋，李秀萍. 數學核心素養及其特征分析[J]. 中學數學研究，2019（03）：1-5.

[3]? 覃淋. 我國高中數學教材的數學史的分析與思考[J]. 教育導刊，2020（02）：71-79.

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