“等差數列（第1課時）”的教學設計與教學反思

趙新玉 田甜

[摘 ?要] 等差數列是學生探究數列的開始，無論是知識的學習，還是方法的探究，其對學生后續內容的學習都有著積極的指導意義. 文章以“等差數列（第1課時）”為例，嘗試進行教學設計與教學反思，以發展學生的數學素養.

[關鍵詞] 等差數列;教學設計;教學反思

生活中的等差數列無處不在，等差數列是學生探究數列的開始，無論是知識的學習，還是方法的探究，其對學生后續內容的學習都有著積極的指導意義.

教學設計

1. 教學目標

知識目標：理解等差數列概念，能在具體的問題情境中找出等差關系，初步掌握等差數列的證明方法.

過程與方法：經歷等差數列概念的揭示，學會觀察、分析、探索、歸納和推理等方法，樹立函數與方程、合情推理等基本數學思想.

情感態度與價值觀：通過引例激發學生的愛國熱情;讓學生在自主探索和合作交流的過程中感悟數學的內在美，從而激發學生的數學學習熱情;通過對數列的深入研究，使學生認識事物的變化形態，養成細心觀察、認真分析、善于總結的良好的思維習慣，進一步培養學生良好的個性品質.

2. 教學的重難點

重點：等差數列的概念和等差數列的判定.

難點：等差數列的“等差”特點及等差數列的證明.

3. 教學過程

（1）創設問題情境——引入概念.

引例1：（新聞錄音）2001年北京時間7月13日22：10，此刻是中國體育史上永不磨滅的時刻，一個全國人民翹首以盼的特大喜訊降臨中華大地——2008年第29屆奧運會的主辦權花落中國，花落北京. 這是我國自1992年以來歷經9年、兩次申辦奧運會艱辛努力的成果，它向世界昭示：中國向體育大國又邁進了一大步.

奧運會每四年舉行一次，你能倒推出第一屆奧運會是哪一年嗎？

引例2：為了便于與家長、同學聯系，多數同學都備有手機. 某電信公司的一種計費標準是：通話時間不超過3分鐘，通話費為0.2元，以后每分鐘的通話費為0.1元，那么通話費由小到大的次序為： 0.2，0.2+0.1，0.2+0.1×2，0.2+0.1×3，….

對于通話次數多而長的同學，每月的話費較大，為了節省話費，某同學采用包月發短信的方式與家長聯系.已知每月的短信包月費是10元（200條），若他每月發短信不超過200條，則他每月的短信費為多少元？

設計意圖：這里對原教材的兩個引例作了適當的修改，使問題情境更具生活化和現實意義，大大激發了學生的求知欲，為等差數列概念的學習創設了良好的學習氛圍.

（2）學生活動——探求特征.

同學們，你能用精確的數學語言描述上面數列的共同特點嗎？

學生通過討論、交流，回答以下問題（問題組1），不斷完善對等差數列概念的敘述.

問題組1：①1，3，5，6，12是等差數列嗎？②1，3，4，5，6，7是等差數列嗎？③1，2是等差數列嗎？

設計意圖：在概念的產生過程中培養學生的概括能力，通過反例的辨析，培養學生思維的嚴密性.

（3）建構數學理論——形成概念.

①等差數列的定義：一般地，若某數列從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數，則該數列叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差（常用字母“d”表示）.

②定義分析：第一，上述定義中的關鍵字或關鍵詞是什么？ 第二，回到引例，請你分別說出相應數列的首項和公差. 第三，試想等差數列的公差的范圍是什么，舉例說明. 第四，當公差d=0時，這個等差數列是什么數列？當d>0，d<0時呢？（回到問題情境進行說明）

設計意圖：回歸引例，發揮問題情境的作用. 從引例出發，培養學生從特殊到一般的推理能力. 在解決問題的過程中，養成自主探究、合作、交流等良好的學習習慣.

③（幻燈片）關于等差數列的數學史：在1858年，蘇格蘭埃及學家發現，大約在公元前1650年的萊因德紙草書上就記載著等差數列，即10人要分10斗玉米，從第二人開始，每人所得玉米依次比前一人少. 在我國出土于春秋至戰國時代楚國的銅環權的重量大致是按等差數列來配置的，我國古代數學名著《周髀算經》（公元前2世紀）上有“七衡圖”[1]……這些都記載著人們當時研究等差數列的成果，被贊譽為“數字推理的第一思維”.

設計意圖：通過融入數學史，滲透數學傳統文化，以此來激發學生對等差數列的探究興趣，培養學生的數學精神.

（4）等差數列的等價形式.

問題組2：①上述定義用的是文字語言，用符號語言怎么表示？（a-a=d）

②n應滿足什么條件？（n≥2，n∈N*）

③若n∈N*對所有等式都成立，則a-a=d可以改為何種形式？兩式的共性是什么？（a-a=d）

④我們能否跳出關于d的思維定式，得到其他的變形公式？

設計意圖：通過對問題組2的思考，學生充分認識了用符號語言表示的等差數列，學會了自然語言、文字語言和符號語言之間的相互轉化.

結論：等差數列{a}？圳a-a=d（n≥2，n∈N*）？圳a=a+d（n≥2，n∈N*）？圳a-a=a-a（n≥2，n∈N*），即a=.

強調：等差數列{a}？圳a-a=d（n≥2，n∈N*）？圳a=中“？圳”的可逆性. 從左到右是等差數列的性質，從右到左是等差數列的判定.

（5）數學運用——鞏固新知.

例1 （搶答題）判斷下列數列是否為等差數列，若是，請指出此數列的首項和公差.

①1，1，1，1;

②4，7，10，13，16;

③-3，-2，-1，1，2，3.

設計意圖：讓學生加深對等差數列概念的理解.

例2 求出下列等差數列中的未知項：①3，a，5;②3，b，c，-9.

設計意圖：逆用等差數列的定義來解決問題，深刻理解定義的可逆性和變形公式.

例3 已知數列{a}的通項公式是a=2n-1，則{a}是等差數列嗎？若是，請證明;若不是，請說明理由. 追問：若通項公式是a=kn+b呢？

設計意圖：學會等差數列的判定和證明，并初步認識等差數列通項公式與一次函數的關系，為后續的關系研究做好必要的準備.

例4 （探究題）等差數列{a}的公差是d，那么下列數列是否是等差數列？如果是等差數列，請說出它們的公差.

①ka，ka，ka，…，ka，…;②a+a，a+a，a+a，a+a，…，a+a，….

③你能在等差數列{a}的基礎上繼續構造出新的等差數列嗎？這些等差數列有何規律？

設計意圖：加深對等差數列概念的理解，掌握等差數列的判定方法和分類討論思想. 以開放題的形式研究問題，培養學生的發散性思維和歸納推理的能力.

（6）回顧反思——提高認識.

提出問題：這節課你學到了什么？請大家積極回答，互相補充，共同提高.

設計意圖：培養學生從三維目標上進行概括總結. 通過總結，提高學生的概括能力、表達能力和合作探究能力.

教學反思

1. 靈活處理新教材

教材是無聲的，教師切不可照抄照搬，信奉“拿來主義”;教師應該“因地制宜”，在充分理解和深刻領會教材的設計意圖的基礎上，加以個性化改編，讓素材更引人入勝[2]. 比如，本課中關于通話費、短信費的設計要因地因時而異，因此可以進行相應的調整;問題情境中舉例的等差數列都是遞增的，不利于概括等差數列的共性，因此通過倒推奧運會舉辦的年份和支付短信包月費，引出遞減數列和常數列，有利于揭示等差數列的本質特征;同時，從申奧的簡單歷程中引出關于奧運會的知識，豐富數學的文化背景，以“我”為當事人的身份加入引例2，可有效增加現實感.

2. 多途徑培養學生的數學素養

在新課標中，培養學生的數學素養是一個相當重要的任務，它不僅應落實于學習新知的過程中，更應貫穿課堂教學的整個過程. 本節課通過兩個引例的研究，讓學生經歷了“再創造”的過程;通過問題組的設置，培養了學生思維的嚴謹性;通過開放式問題的探究，拓展了學生的發散性思維;通過申奧成功情節的引入，激發了學生的數學學習興趣;通過等差數列數學史的介紹，增加了學生對數學價值的認識;通過問題的討論、交流，培養了學生合作探究的能力[3].

參考文獻：

[1] ?張宗余. 千淘萬漉雖辛苦 吹盡黃沙始到金——談“等差數列”概念課教學設計[J]. 中小學教材教學，2004（27）：16-21.

[2] ?王德昌. 新課程理念下數學教材處理的“十化”策略[J]. 中學數學，2013（05）：26-28.

[3] ?宋永全. 在高中數學教學中滲透核心素養的策略——以《等差數列》教學為例[J]. 廣西教育，2020（18）：106-107.