學科育人視角下的“學材”如何再建構

石慧英

[摘? 要] 黨的十八大報告首次把“立德樹人”明確為教育的根本任務，語境宏闊、高屋建瓴.要全面理解“立德樹人”的深刻內涵，落實這一根本任務，就要不斷叩問教育的本質，追問教育的價值，從“學科教學走向學科育人”. “自學·議論·引導”教學法的創始人、全國著名特級教師李庾南提出了“三學”的課堂操作規則，并將“學材再建構”置于“三學”之首，為我們初中數學學科育人提供了極好的范式.

[關鍵詞] 學科育人;學材再建構;初中數學;二元一次方程組

作為教育任務的數學，其首要特征是什么？李庾南老師認為應該是“為學生準備的數學”，認為課程、教材、教學與評價構成了數學教育的全過程，而其中教材則是數學教育的核心載體. 從某種意義上講，“教什么可能比怎么教更重要”，故而只有先從教學內容的角度進行變革，整合具有豐富育人價值的資源，才可能有后續的教學形式（也就是方法與路徑）的變革，才可能讓學科育人落地、生根、開花并結果. 不難發現，學科育人于“學材再建構”而言是出發點，也是落腳點，而“學材再建構”則可以成為學科育人的關鍵著力點.

下面我們就以李庾南老師執教的“二元一次方程組”為例，談談在學科育人視角下的“學材”應該如何再建構.

1. 基于學生熟悉的問題情境再建構，喚醒抽象意識，培育學生用數學的眼光觀察現實世界的素養

數學的眼光就是抽象，是舍去事物的一切物理屬性，得到數學研究對象的思維過程. 此過程應以學生熟悉的典型實例為載體，引導學生觀察后抽象與概括，從而發現研究對象的本質屬性，這是一個將學生的思維打開的過程.

現實生活中存在著大量問題涉及多個未知數，其中很多問題中的數量關系是一次的，為學習二元一次方程組提供了豐富的現實素材. 選擇怎樣的問題情境作為研究的載體會更利于學生發現其中的數量關系并抽象出二元一次方程（組）的模型呢？教材選用了本章的引例——籃球賽中的勝負場數問題;而李庾南老師選擇了課堂操作：每個學生都用30 cm長的細繩打結后繃成一個長方形（打結部分長度不計），再相互比較所形成的長方形的形狀和大小. 發現繃成的長方形的周長雖然相同，但各個長方形的長和寬不全相同;還發現如果長方形的長變大，寬就變小了，但是長與寬的和總是15 cm. 這樣的親自操作與零距離觀察比課本中的問題情境可能更容易激發學生的探究欲望，也更利于學生將數學問題的本質從現實情境中剝離出來，抽象出二元一次方程的模型. 同時，還讓學生在現場“看”到了二元一次方程的解的“不定性”與“相關性”. 后續，又通過增加條件“若要使繃成的長方形的長比寬多3 cm”提出問題：“此時長和寬必須同時滿足什么條件？”使得學生在更新的問題情境中發現兩個未知數必須同時滿足兩個不同的相等關系，進而建立二元一次方程組的模型，并充分認識到這里的兩個未知數雖然出現在兩個不同的方程中，但它們表示的是同一個數量，這種“不變元”的思想也正是接下來研究“消元”的前提.

這樣的“學材再建構”源于實際，又高于實際，學生不僅熟悉，而且與新知的聯系又很緊密，易于調動學生探究的積極性，有利于學生對所要研究的問題本質的抽象，從而培育學生用數學的眼光觀察現實世界，并且能更快“看得透”.

2. 基于知識的相互關聯再建構，展開邏輯推理，培育學生用數學的思維思考現實世界的素養

數學的思維就是推理. 可由于編寫的特殊性，往往教材直接呈現出來的多是學科知識，如現成的結論以及形成結論的說明，卻省略了其中內涵豐富的學科思維的過程，而學科知識本來就是運用思維方法合乎邏輯地推導出來的. 如若我們在教學中再直接地“教教材”，那么勢必造成結論“明示”，或方法“暗示”，或知識“散裝”;勢必會讓學生誤以為即使不經曲折的、反復的思維，也能徑直獲得知識. 學生定然難以感受到用學科思維獲得學科知識的邏輯的力量，這種不經思維而獲得的知識很難成為“真知”. 所以李庾南老師提出了“學材再建構”，讓學生在結構中學習，讓學生的邏輯推理能力在結構化的學習中得到提升.

李庾南老師認為，二元一次方程組的解法的探究過程其實也是一個代數的推理過程，怎樣建構“學材”，才能更好地展開這種推理，讓學生對最終的“消元”求解不僅能合乎情理地“想得到”，而且能步步有據地“想得通”呢？她在近年執教此課時進行了新的“再建構”：選用兩數和差問題的算術模型引入課題，建立二元一次方程組后，首先讓學生通過觀察兩個方程的公共解獲得方程組的解，此時學生已然獲知推理的結論，剩下要做的便是獲得結論的過程以及這個過程的依據了. 接著李庾南老師追問：“你知道這是哪兩個數嗎？可以依據我們學過的什么知識來求得？”引導學生調用舊知，憑借小學的兩數和差問題的解決經驗產生的直覺，將遇到的新問題轉化成已經解決的問題，從而獲得了“加減消元”的解決思路，而后又通過追問“為什么可以這樣做”，讓學生明白其依據是等式的性質，從而證明了這樣做的合理性.

在探究二元一次方程的解的過程中，李庾南老師問道：“如何求二元一次方程x+y=8的解？”引領學生發現“可用含一個未知數的式子來表示另一個未知數”，這樣的經驗又為接下來的“代入消元”提供了思路，讓學生發現“求解二元一次方程組”歸根結底是轉化成已學的“求解一元一次方程”，其基本思想就是“消元”. 二元一次方程組如此，類似的，以后遇到三元一次方程組亦是如此……學生明白了解決問題的目標“是什么”，達到目標的路徑需要“怎么做”，更懂得了“為什么可以這么做”. 這樣的代數推理，看起來雖然沒有用“因為”“所以”的形式表示，但伴隨著“多元問題”的解決，學生收獲的是從學科知識到學科思想方法的“全盤皆活”，收獲的是用數學思維思考現實世界且“想得通”的能力.

3. 基于探究的完整過程再建構，感受數學建模，培育學生用數學的語言表達現實世界的素養

數學的語言就是建模. 數學建模思想的形成是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑. 以學習二元一次方程組為例，從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，發現和提出問題，是其建模的起點;用二元一次方程（組）表示數學問題中的數量關系，是其建模的重要環節;求出結果并討論結果的意義，是其建模的目的. 教材從籃球聯賽中的問題入手后，引導學生直接設兩個未知數表示問題中的兩個等量關系，得到了兩個方程;然后以這兩個方程為例，讓學生觀察其特征，歸納出二元一次方程組及其解的概念;最后用兩節內容分別去討論如何“消元”求二元一次方程組的解. 這樣的處理方法對于所研究的模型“二元一次方程組”的求解及其數學特性的感知顯然要滯后一些，李庾南老師對這部分的教材內容就“建模”進行了如下的“再建構”：

首先是從現實問題抽象出“二元一次方程”再到“二元一次方程組”，分別建模.

先由問題“已知兩數的和等于8，求這兩個數”入手，讓學生用式子表示這兩個數的數量關系，建立了二元一次方程，并歸納出二元一次方程的求解方法. 具體方法是“把關于x，y的二元一次方程看作關于y（或關于x）的一元一次方程，把x（或y）看作已知數，給定一個x（或y）的值，再求相應的y（或x）的值，這一對x，y的值就是二元一次方程的一個解”[1]. 接著在學生初步認識二元一次方程的基礎上引入第二個問題：“已知兩數的差等于2，求這兩個數.”學生可以類比第一個問題嘗試建模. 最后給出第三個問題：“已知兩數的和等于8，差等于2，求這兩個數.”基于前面的研究，二元一次方程組的模型此時便呼之欲出了.

其次在建模后，對“二元一次方程組”的求解策略繼續進行自主探究.

學生通過觀察，發現組成方程組的兩個方程的公共解是二元一次方程組的解，但要列舉出每個方程的解來獲得公共解很麻煩，于是遷移到小學算術中“和、差”問題的解題經驗，發現兩個方程直接相加（或相減）的消元法，然后在此基礎上進一步探究其他的消元法. 如此由“一元”向“二元”發展，建模后又從“二元”向“一元”轉化，經歷了建模的完整過程，感知到二元一次方程組模型與其他知識的聯系.

二元一次方程組作為方程組知識中最基本的模型，借助于這樣的“再建構”，將模型的產生融合于問題的解決過程中，讓學生在一節課中經歷了“問題情境—建立模型—解釋、應用與拓展模型”的完整過程，有利于學生更好地了解一般的一次方程組，提高對“多元問題”的認識，感受模型的價值與內涵，加深對模型的理解;同時對二元一次方程和二元一次方程組的分開建模又可以讓學生嘗試自我建模，用數學語言表達現實世界，形成“說得出”的能力.

教師是“再建構學材”的主體，但不是唯一的主體，學生同樣可以通過努力參與“再建構”，或者說教師要千方百計地創造條件，促成學生也能成為“再建構”的主體;“再建構學材”不是我們的目標，我們的目標是通過“再建構的學材”教“為學生準備的數學”，通過“再建構的學材”育人，育成具有學科核心素養的人.

參考文獻：

[1]李庾南. 自學·議論·引導教學論[M].? 北京：人民教育出版社，2013.