初中數學“模型建構”的實踐與思考

李海波

[摘? 要] 數學是一門“模型”的科學. 數學模型學習能力是學生數學學習能力的重要標識，也是學生數學模型素養的重要標識. 在初中數學教學中，教師要引導學生數學模型認知、數學模型修正和數學模型遷移. “模型認知”有助于促進學生模型理解，“模型修正”有助于促進學生模型建構，“模型遷移”有助于促進學生模型應用. 數學模型認知、理解、建構、完善、遷移、應用等都有助于學生數學模型創新.

[關鍵詞] 初中數學;模型理解;模型建構;模型應用

數學是一門“模型”科學. 一切數學概念、法則、公理、定理等，從最寬泛的意義上說，都是數學模型. 在初中數學教學中，教師要引導學生模型認知，促進學生模型建構，助推學生模型應用. 借助于模型認知、模型建構和模型應用，促進學生建模思想、建模素養的生成. 正如東北師范大學史寧中教授所說，“數學的核心素養主要有三：抽象、推理和建模”[1]. 數學模型的認知、建構與應用，能有效地提升學生的學習能力，發展學生的數學核心素養.

在“模型認知”中促進學生模型理解

模型認知是學生建構數學模型的基礎. 學生學習數學，首先就是對各種數學模型的認知. 模型認知，不是教師直接地呈現數學模型讓學生認識，而是學生在教師的引導下對數學模型的產生、發展的認識. 完整的模型認知，應當引導學生重新蹈入人類探索數學模型的關鍵步子，引導學生思考人類在模型建構中所提出的相關問題，從而助推學生對數學模型深度認知和理解. 可以這樣說，對數學模型的認知模糊會直接影響著學生數學學習的效能.

模型認知是一個逐步深化的過程. 在初中數學教學中，教師不僅要引導學生把握模型內容，更要引導學生把握模型形式;要讓學生自主提出相關的建模問題，自主思考相關的建模問題. 初中數學模型非常豐富，常見的有方程（組）模型、不等式模型、函數模型和幾何模型等，這些模型貫穿學生數學學習的始終. 以方程模型的認知為例，引導學生認識方程模型，不僅是讓學生認識各種不同的方程模型，重點是引導學生經歷將實際問題抽象成數學問題并進行解釋和應用的過程. 具體言之，認識方程模型，關鍵是引導學生將實際問題提煉、抽象、轉化成一元一次方程、一元二次方程、方程組和分式方程等. 以人教版七年級上冊的“一元一次方程”模型的建構為例，教學中教師給學生提供了許多生活化的素材，比如行程問題、盈虧問題等. 將實際問題抽象、提煉成數學問題，關鍵是要讓學生把握實際問題中蘊含的數量關系. 當學生在學習中借助于相關的、豐富的資源、素材等建構成方程模型后，教師就可以著力引導學生解方程. 模型認知是學生認識世界的基礎. 可以這樣說，學生頭腦中的數學模型越豐富，學生解決實際問題的能力就會越強.

數學模型的認知關鍵是對數學模型本質的認識和理解，對數學模型中蘊含的相關關系的熟悉和掌握. 數學模型的形成，是建立在學生對相關問題、素材、資源等的收集、提取、分析的基礎上的. 學生只有深刻地認識了數學模型，才能對數學模型的意義和價值形成深刻的、持久的體認.

在“模型修正”中促進學生模型建構

學生學習數學的過程不僅是模型的認知過程，更是模型的建構過程. 學生對數學模型的建構不是一蹴而就的，而是一個循序漸進的過程. 在這個過程中，學生需要不斷地對數學模型進行修正，從而促進數學模型不斷臻于完善;在這個過程中，教師還要引導學生進行模型辨識，要對數學模型進行宏觀和微觀的多層面思考與探究. 模型修正能促進學生模型建構.

應該說，一個科學的、合理的數學模型往往能反映、解釋現實問題的形態、特征和本質. 從某種意義上說，一個數學模型的建立是要經過形成、修正、實踐、再修正、再實踐的反復的過程的[2]. 作為教師，要引導學生積極主動地質疑、批判，培養學生的反思意識和態度. 在這個過程中，教師要善于激發學生的認知沖突，利用學生的認知沖突引領學生建構數學模型. 比如引導學生建構“最短路線”模型時，教師從著名的“將軍飲馬”問題入手，引導學生將軍營抽象成一個點，將河流抽象成一根線，將“將軍飲馬”問題抽象、建構成一個“最短路線”模型. 在這個過程中，通過諸多的軍營、河流的關系，教師不斷對“最短路線”模型進行補充、豐富、完善，從而幫助學生建立這一數學模型完善的解決思路. 比如有學生對兩點“同側關系”的“最短路線”問題進行了總結：首先明確同側的兩點;其次選取這兩點中的任意一點，然后以直線為對稱軸作該點的對稱點;再次連接對稱點和另一點，其與直線（即河流）的交點就是所求的點的位置. 這樣的一種模型建構，充分應用了學生的生活經驗，讓學生自主探究問題的背后本質，建立起能夠有效解決“這一類”問題的數學模型.

模型是人類認識世界、改造世界的工具. 在初中數學教學中，教師要找準學生數學建模的起點，把握好學生數學建模的具體學情，引導學生積極建構數學模型，主動修正數學模型，不斷地彌補數學模型，從而讓數學模型趨于完善. 實踐證明，好的數學模型有助于促進學生數學深度學習.

在“模型遷移”中促進學生模型應用

盡管數學模型對于學生的數學學習來說具有普適性的意義，但在具體應用數學模型的過程中，不同的數學問題、不同的現實情境面臨著不同的數學模型的應用. 在初中數學教學中，教師要讓學生認識到數學模型的內涵與外延，尤其是要把握“數學模型的應用域”，引導學生積極地進行數學模型的遷移，促進學生數學模型的應用. 數學模型的遷移不是數學模型的套用，而是要對現實問題和數學模型進行深度考量. 從中找到現實問題與數學模型的連接點、結合點等.

數學模型是學生數學學習過程的一種沉淀、生成. 從某種意義上來說，數學模型的認知、理解和建構對數學模型的應用有著重要的影響. 學生能否對數學模型進行有效的遷移、應用、創新等，是學生數學模型素養的重要標識. 數學模型應當指向哪里？數學模型指向的是現實應用，指向的是問題解決. 一個數學模型，如果它不能解決相關的問題，或者它解決的問題較少，這樣的模型就不是“好的模型”. “好的模型”具有較強的包攝性、普適性. 作為數學教師，不僅要引導學生將數學模型應用于問題解決之中，而且要通過對問題的適度變形，讓問題更適合應用相關的數學模型來解決. 從這個意義上來說，數學模型與數學問題的解決應當是相輔相成、相互匹配、相互促進的. 在解決一些問題時，模型是隱形的，教師要善于歸納，善于顯化. 比如教學“相似三角形”這一部分內容，當引導學生建構相似三角形判定定理的相關數學模型后，學生展開了積極的實踐練習. 在實踐練習中，學生根據所做的一些練習題，重點總結出了具體化的模型應用策略，如“A字形”“8字形”“雙垂直形”“母子形”“三垂直形”“手拉手形”等相關的數學模型. 如果說，相似三角形判定定理的數學模型的建構有助于深化學生數學認知，那么這些數學模型的建立則有助于學生解決數學問題. 如果說，相似三角形判定定理的數學模型是人類生命實踐智慧的產物，那么這些具有具體性、操作性的數學模型則是學生數學生命實踐智慧的結晶. 盡管數學問題千變萬化，但萬變不離其宗. 善于在實踐、應用中總結、提煉數學模型，有助于培育學生直觀的圖感、抽象的數感，能為學生綜合應用相似三角形相關的判定模型奠定堅實的基礎. 在實踐中總結、提煉數學模型，有助于學生發現、構造相似三角形，從而解決更加復雜的相關問題.

數學模型認知是數學模型理解的基礎，數學模型修正是數學模型建構的關鍵，數學模型遷移是數學模型應用的重要標識. 在數學教學中，教師要善于對相關的現實問題進行分析、推理，借助于模型予以證實或者證偽. 在學生的數學模型學習中，教師重點要引導學生認識數學模型的本質特征、構成要素及相互之間的聯系，引導學生把握數學模型與現實問題的關聯，促進學生對數學模型靈活的應用.

數學模型認知是學生模型學習的起點，而數學模型建構則是學生數學模型學習的關鍵，數學模型應用是學生模型學習走向成熟的標識. 只有打好堅實的基礎，把握好關鍵、核心，才能引導學生抵達模型學習更高的起點. 數學模型認知、理解、建構、完善、遷移、應用等都有助于學生數學模型創新. 數學模型創新，不僅是學生解決數學問題的綜合能力的重要標識，而且是學生數學學習能力的重要標識，更是學生數學模型素養的重要標識.

參考文獻：

[1] 葉笛. 基于深度學習的初中科學課堂教學重構[J]. 教學與管理，2019（22）：53-55.

[2] 程新展. 數學課堂問題情境引入設計的五個著力點[J]. 教學與管理，2020（10）：31-33.