初中數學教學中數學抽象素養發展的途徑探究

吳淑娟

[摘? 要] 數學是一門高度抽象的學科，在面向初中學生進行數學教學時，抽象往往意味著一對矛盾：從數學學科的角度來看，正是因為抽象，數學才能用最簡潔的語言與符號去描述最復雜的規律;從學生學習的角度來看，也正是因為抽象，學生才感覺到數學難學. 數學抽象素養的發展路徑概括為：結合具體的教學內容，研究學生的生活經驗，選擇與學生生活關系密切的素材作為課程資源，讓學生在數學抽象的過程中，通過對數與形及其關系的研究，得到與學習內容相一致的數學認識，且最終能夠用數學語言將這種認識表述出來.

[關鍵詞] 初中數學;數學抽象;數學抽象素養;發展途徑

不可否認的一個事實是，數學是一門高度抽象的學科，數學所研究的數與形都是十分抽象的. 在面向初中學生進行數學教學時，這種抽象往往意味著一對矛盾：從數學學科的角度來看，正是因為抽象，數學才能用最簡潔的語言與符號去描述最復雜的規律. 事實上，小到一個人的生活，大到國計民生，都可以用各種各樣的數學模型去描述，而這正是數學抽象的最終產物，學生學習數學的過程本就應當是一個體會數學抽象的過程. 從學生學習的角度來看，也正是因為抽象，學生才感覺到數學難學. 初中學生的思維方式多數以形象思維為主，在面對抽象的數與形時，學生思維加工出現困難幾乎是必然的事情. 通過這樣一個矛盾的分析就可以發現，在初中數學教學中，數學教師的一個主要任務就是協調好這個矛盾，既要讓學生認識到數學必然是抽象的，又要讓學生體會到數學學習過程不完全是抽象的. 從形象到抽象，應當是建立數學概念或規律的一個基本途徑，而這本身就是一個數學抽象的過程. 當前的學科教學強調培養學生的核心素養，數學教學當然就是為了培養學生的數學核心素養. 有人將數學核心素養界定為“學生通過學習要逐步形成的正確價值觀念、必備品格和關鍵能力”. 在數學學科核心素養要素中，數學抽象名列第一，從某種程度上講，數學抽象實際上是數學學習的一個重要基礎，因此數學教師要想方設法去發展學生的數學抽象素養，而這顯然離不開一個具體的途徑.

數學抽象是初中數學教學的重要內容

什么是數學抽象？從科學定義的角度來看，數學抽象是對空間形式和數量關系的抽象. 這樣一個定義與數學學科的基本特征是吻合的，因為數學教學原本就是研究空間形式與數量關系的，而對這兩者的研究過程都是從形象走向抽象的過程. 一般認為，數學抽象大體經由簡約階段、符號階段、普適階段等三個基本階段形成. 數學抽象是抽象的下位概念，以教學形態出現的數學抽象，遵循數學抽象的一般規律，同時又具有實物抽象、半符號抽象、符號抽象和形式化抽象四種表現形式. 這樣的界定超越了一般的經驗層面，對于數學教師可以引導其從經驗走向學術、走向智慧，同時也為數學抽象的具體教學提供了數學學科前提和思維訓練的教育基礎.

數學抽象是初中數學教學的重要內容，是總“閥門”. 這既是因為數學抽象是數學學科核心素養的重要組成要素，也是因為在學生數學學習的過程中，首先就是通過它去觸摸數學學科本質的. 如同上面所指出的那樣，數學抽象體現著數學學科最基本的特征，如果離開了數學抽象去談數學學習，那么無異于構造空中樓閣.

與此同時，學生學習數學，除為了積累數學學科知識外，還為了發展自身的能力、提升自身的學習品質，就是新課程改革中所強調的“用數學教”. 那么能力與品質怎樣得到提升呢？這就需要教師給學生創設一個能夠體驗數學抽象的空間，當結合具體的數學知識生成過程，讓學生體驗數學抽象時，學生眼中的“事物”就會抽象成“數”或“形”，“事物之間的聯系”就會抽象成“數的關系”或“空間‘形’式”. 如果能真正達到這個目的，那么數學抽象素養發展的途徑也就清晰了.

數學教學中數學抽象素養的發展路徑

從學理的角度來看，數學抽象可以理解為數學的基本思想，是反映現實世界中事物的本質、關系和規律的基本方式. 由于抽象的過程必然會剝離一些無關要素，只會留下與核心、本質相關的要素，因此數學抽象在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展的過程中發揮著獨特的、不可替代的作用. 結合上述分析，可以將數學抽象素養的發展路徑概括為：結合具體的教學內容，研究學生的生活經驗，選擇與學生生活關系密切的素材作為課程資源，讓學生在數學抽象的過程中，通過對數與形及其關系的研究，得到與學習內容相一致的數學認識，并且最終能夠用數學語言將這些認識表述出來.

例如，在“軸對稱”這一內容的教學中，筆者注意到教材中通常會列舉一些自然景觀、藝術作品、建筑物、交通標志以及生活中的常見物品等，然后對這些例子具有的對稱特征進行分析. 分析教材這一設計思路，對教師的啟發就是：教學前，要找學生熟悉的、能形成良好的直覺感知的例子進行教學設計. 考慮到學生在生活中本身已建立起了對“對稱”的初步認識，因此筆者教學設計的第一個任務就是：請學生結合自己的生活經驗，尋找具有對稱特征的事物.

事實證明，初中學生對這個任務非常感興趣，他們會將目光投向自己的生活，投向自己眼前所看到的事物，然后就能指出很多鮮活生動的例子，比如人的外表、人的臉、黑板、長方形白紙、一雙鞋、一副手套……這些例子可以說是五花八門. 這里有一個非常重要的有價值的細節，那就是學生在指出這些例子時，會自發地進行討論，而討論又伴隨著一個去偽存真的過程. 比如有學生指出“衣服”的例子，就有學生提出有些衣服是“不對稱”的. 這實際上是一個拓展，意味著學生在大腦中同時加工對稱與不對稱兩種事物.

這里加工的既是一個數學抽象的過程，又是一個對比的過程，學生會下意識地將所舉出的例子進行簡化——這實際上就是去除非數學元素、留下數學元素的過程，也就是一個數學抽象的過程. 抽象到最后學生大腦中留下來的是簡化后的“形”，而通過對比又可以發現，這些“形”有的是對稱的，有的是不對稱的. 這時教師就可以追問：你判斷對稱或不對稱的依據是什么呢？這實際上就是將學生的直覺感知轉化為數學思考的過程，也伴隨著高度的數學抽象. 學生依然會通過抽象與對比，結果發現：生活中常說的對稱也就是對折后能夠完全重合，而不對稱就是對折后不能夠完全重合. 要知道這只是學生在數學抽象后運用自己的語言進行的概括，而這個概括事實上已經高度接近于數學的軸對稱定義. 這也說明了上述學習過程是高效的！

在核心素養的背景下審視數學教學

很多的事實也確實能夠證明，只要給學生一個充分的思考空間，讓學生的思維有足夠形象的事物進行加工，再加上數學問題的驅動，那么學生在這樣的一個過程中，無論是有意識還是無意識，最終的學習過程與結果都會走向抽象. 因此從這個角度來看，初中學生的數學學習過程，對數學抽象的經歷有著必然性.

數學抽象作為數學學科核心素養的第一個組成要素，所體現出來的是其基礎性地位. 而今天的初中數學教學，顯然要在核心素養的背景下進行思考. 作為教師，既要尋找到有效的核心素養的培育途徑，又要根據學生的學習結果結合核心素養要素進行評價. 因此在核心素養的背景下審視當下的初中數學教學，應當意味著一些重要的變化必然會發生. 以數學抽象為例，教師就不能替代學生的思維與努力，而應當讓學生去經歷一個充分的數學抽象過程. 大量的教學經驗表明，只要學生有了這樣一個空間，能夠經歷這樣一個過程，那么養成數學抽象素養就是有保障的.

總體而言，教學抽象實際上體現了人類活動的最基本的特征. 無論是從教學的角度來看，還是從教學研究的角度來看，初中數學教師都要從數學抽象的背景、產生、內容、方法和形式等方面探究數學抽象活動的過程與結果、形式與實質之間的思辨關系，而這正是深化數學教育理論研究的需要. 面向學生的數學學習，只有滿足了這種需要，才能讓初中數學教學真正置于核心素養的培育環境，才能為初中數學教學開辟出一條新的途徑. 這條途徑的一端連接著當下的初中數學教學，另一端指向數學學科核心素養的落地. 筆者對這條途徑的探索才剛剛邁出第一步，以上只是為數學學科核心素養中的數學抽象的發展做了最初步的探究，對于初中數學教學同行，希望能夠起到拋磚引玉的作用.