線段圖在解形如ax±x=b 方程中的妙用

樓香君

[摘 要]解決數學題時，作圖是常用的利器，如集合圖、線段圖、象形圖等。學會畫圖，是形成解題謀略的基礎，尤其是線段圖，在解形如ax±x=b的方程中發揮著巨大的作用。

[關鍵詞]作圖法;作圖能力;低年級

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）05-0063-03

線段圖，就是通過線段長短來反映數量大小，通過多條線段長短比例和拼接關系來反映數量關系，具有直觀、簡潔、實用的特點，它在解決和差、和倍、分數（百分數）問題，以及路程問題等題型時優勢明顯。學生在解題時，先通過仔細審題，過濾掉其中的非數學因素，分析出各個數量結構和分解組合變化情況后，再畫出線段圖，然后根據線段圖直觀地概括出數量關系，便可列式解決問題。但在教學實踐中，部分教師，特別是中低年級的教師認為，面對簡單問題時畫線段圖純屬多此一舉，這造成學生的作圖解題能力長期得不到應有的鍛煉;到了高年級，問題變得繁復而不得不使用線段圖時，才臨時抱佛腳，卻為時已晚。學生常常因為畫的圖驢唇不對馬嘴，直接影響解題技能的發揮。

學會畫圖，是學生形成解題謀略的基礎，因此作圖能力的訓練培養應從低年級抓起。下面筆者以北師大版教材四年級下冊“解形如ax±x=b的方程”一課為例，分享作圖法教學的一些經驗。

一、課前思考

【例】“雙十一”時，支付寶交易額是微信交易額的3倍，全網線上購物成交額為180億。支付寶的交易額比微信的交易額多出90億。國內兩大電商巨頭的交易額各是多少？

<D：＼數據＼小學教學參考（數學）202202＼2s23.tif>[ ][ ][微信交易額+支付寶交易額=180億

][微信

支付寶][解：設微信的交易額為x億元，那么支付寶的交易額為3x億元。][答：微信交易額為45億，支付寶交易額為135億。][一個x加上3個x是4x][180億][x+3x=180

4x=180

x=45][3x=45×3=135] [x][3x]

上題是繼“認識方程”“等式性質”后安排在解方程中的例題。毋庸贅言，題中所給條件非常充足，編者意圖以豐富的條件誘導學生靈活自由地運用各種數量關系列方程，從多角度解答形如ax±x=b的方程。教材在題后呈現了線段圖，直觀揭示了數量關系“支付寶交易額+微信交易額=180億”。對于教材如此設計，筆者滿腹狐疑：新教材并未單設章節教學線段圖，線段圖先前只在四年級上冊的“行程問題”中驚鴻一瞥，馬上銷聲匿跡;之后在五年級上冊的“相遇問題”、五年級下冊的“分數混合運算”中也是“猶抱琵琶半遮面”。筆者查閱其他版本的教材也有類似現象，只有蘇教版教材在四年級下冊安排了“畫圖策略”的專題講解。這種躲躲藏藏的做法，不但破壞了教材的完整性，而且把解決問題和分析線段圖并在一起授課，勢必會加大任務量，造成課程超載。因為目前學生尚無能力根據題意繪制線段圖，而無法正確熟練地繪制線段圖，建立在圖解之上提取數量關系列方程就會成為空中樓閣。教學中，如何才能做到解題和作圖兩全其美、統籌兼顧呢？如何“榨干”線段圖這根“拐杖”的價值呢？為此，筆者對教材稍加改進。

線段圖作為一種直觀的教學手段，在小學數學教學中一直都有著舉足輕重的地位。這種教學法與學生平時所見所用的示意圖存在很大差異，它是經過幾何抽象化處理的示意圖，不但具有會意的作用，還有展示數量關系的功能。學生由一般的象形圖進入線段圖的世界，一下子很難適應。學生習慣用“和差倍分”來分析數量關系，對這種用線段長度表示數量多少與比例的表征還未能建立對應的思維接口。之前學生解決的一般都是代數問題，而線段圖其實就是相當于將代數問題幾何化，但又不是傳統意義上的數形結合。傳統意義上的數形結合中，數據屬性與幾何形態存在很大的相似性和可比性。例如行程問題中的路程本身就是直線路線，所以用線段表示路程再貼切不過了;如果是數量比較問題，就用幾何符號代替不同的事物。而線段圖則是抽象化后的數量，完全脫離實物形象，因此，學生需要一個循序漸進的“爬坡”過程。

二、教學過程

（一）呈現線段圖

1.直接出示

出示：

師：觀察上面2條線段，有什么發現？

（線段②長度有3份，相當于3條線段①的長度;線段②的長度比線段①的長度多出2份）

2.完善關系

師：如果用含有未知數的代數式來表示線段長度，你覺得應如何表示？（用x表示1個單位長度，線段②的長度可用3x表示）

板書：

師：如果已知兩條線段的總長是180，你能計算出單位長度x的具體值嗎？

（學生獨立思考）

3.初步解決

板書：x+3x=180 ? 4x=180 ? x=45

師：請談談你的思路。（數量關系：1個x+3個x=180）

此處，將線段圖表示數量關系與列方程有機結合起來：列方程解決問題的第一步是設未知數，然后分析題中的數量關系，再列出方程。而為列方程提供的數量關系需要先將未知數作為數量關系的一部分，再分析出包含未知量的數量關系，這與畫線段圖分析數量關系有著微妙的聯系：線段圖里不同線段之間有著包含與被包含的關系，可以根據需要設定其中任意一條線段為未知數，或者設定其中特定的一條線段為未知數，而且幾條線段之間的長度關系剛好就是等量關系，這為列方程做好了準備。

線段圖是從情境中抽離數量關系后的簡圖，具有一定的幾何直觀性，但是線段圖中不同的數量是用不同的線段表示的。因此，各個數量之間到底存在什么樣的縱向關系，僅僅從線段上是看不出來的，這就需要進行勾連。方程無疑是最好的連接鏈條，因為列方程需要等量關系，這個等量關系就是各條線段之間的縱向關系;而各線段之間的橫向倍比關系就是為了統一計量標準，也就是為了用含有同一個未知數的代數式表示各條線段的數量大小。這樣線段圖的橫向關系和縱向關系就被方程完美地聯結到一起，這比單純根據原題列方程容易得多。

（二）自主建構

1.情境對接

師：根據線段圖展開聯想，你覺得可以賦予它們哪些現實情境？

（學生眾說紛紜，有的說兩個施工隊的施工問題，有的說兩個商店某天的營業額問題，也有的說支付寶和微信某個季度的交易額問題。）

師：我們就用支付寶和微信交易額問題繼續研究。

學生對線段圖的模式掌握到一定程度后，教師就可以抽離具體情境，讓學生自己根據線段圖中蘊含的數量關系來賦予問題情境，編寫題目，這樣教學可以進一步深化學生對線段圖的理解。再加上直接在線段上寫未知數等于是跳脫了問題情境而列出方程的雛形，這對學生透過情境表象提取數量關系列方程大有裨益。

這一環節的設計可謂獨具匠心，為了讓學生接受線段圖的抽象性，先出示一幅線段圖，標識出各個數據及其縱向關系，然后讓學生根據這種帶有半方程半線段圖性質的“數形圖”來編寫情境。學生可以發揮自己的想象力，憑借自己的經驗，根據縱向和橫向的數量關系來合理編寫恰當的故事情節，只要合情合理，數量關系與“數字圖”吻合即可。學生通過不同情境的編排和設計，進一步發現線段圖的抽象性和簡練性，不僅對線段圖的特性有進一步的認識，而且在以后分析題意時，即使沒有線段圖，也能一眼洞穿數量關系這個“要害”，自動忽略次要因素。

2.深入研究

師：剛才列的方程“x+3x=180”在移動支付的情境中憑借的等量關系是什么？（支付寶交易額+微信交易額=180億）除了這個等量關系，還有沒有其他的？請繪出線段圖，然后根據線段圖來列方程。

（學生獨立操作，教師巡視）

3.展示分享

師（指名匯報）：說說你的構圖方略，并展示所列方程。

學生展示：

解法一：設微信交易額x億，支付寶交易額x+90億。

x+（x+90）=180?2x+90=180?2x=90?x=45?x+90=45+90=135。

解法二：設微信交易額x億，支付寶交易額3x億。

3x-x=90?2x=90?x=45?3x=45×3=135。

解法三：設支付寶交易額x億。

x+（x-90）=180?2x-90=180?2x=270?x=135?x-90=135-90=45。

4.對比反思

師：上述4種方法，你更鐘愛哪一種？你覺得線段圖在此處扮演著什么角色？今天所列方程與之前所列方程有何不同？（含有2個未知數）

原題為了訓練學生多維度分析線段圖的能力，給出了兩個表示縱向關系的條件，一個是“全網線上購物成交額為180億”，另一個是“支付寶的交易額比微信的交易額多90億”。有了這兩個重復的縱向條件，學生就可以基于不同的等量關系列出不同的方程。無論是哪種方程，都只是各線段的縱向關系發生調整，橫向的倍比關系并未發生改變。這種訓練不但拓寬了學生分析線段圖的視野，而且增強了學生分析線段圖的靈活性。

三、課后反思

如果把數量關系比作“根”，那么情境就是“枝葉”。

1.先扎根后披綠。為了體現線段圖的功用，可一改教材的通行做法，將情境之“枝葉”后置，直接出示線段圖，如此數量關系昭然若揭，方程也呼之欲出。直觀的線段圖一開始就刻印在學生的腦海中，再去思考“這個線段圖可以賦以何種情境”，前面深深“扎根”，后面自然會“枝繁葉茂”，各種合理有趣的情境如雨后春筍般冒出。教學實踐表明：學習解決形如ax±x=b的方程，提取等量關系是關口，難點是兩邊的數量里都含有未知數;而這個數量關系通過線段圖展示可一覽無遺，條分縷析，“扎根”成功了，再想象情境就如同開枝散葉。至此，學生對線段圖的作用和畫法也就略有所知了。

2.平穩過渡。在學生首次經歷從“線段圖”中提取數量關系后，筆者讓學生進一步嘗試“畫線段圖”，只需談畫法和感想，避免因難度陡增而嚇退學生。學生的思維方式不同，所作線段圖和所列方程自然不同，學生給出了三種方案，但是無一例外都是運用已有的數量關系。匯報交流的過程中，學生相互啟迪智慧，交換意見，對線段圖的畫法有了統一、成熟的認識，表述趨向規范，其體驗也愈加深刻。從“初識線段圖—繪制線段圖—解說線段圖”到最終“反思線段圖有什么作用”這層層遞進的活動，不但有效地培養了學生的畫圖能力，而且增強了學生的運用意識，成效斐然。

3.優勢盡顯。事實表明，從中低年級就開始引導學生畫線段圖是明智之舉。線段圖作為一種直觀手段，是幫學生從形象思維向抽象思維轉型的利器，它是數形結合思想的雛形，有助于培養學生數學核心素養。教師應不遺余力地幫助學生識圖、讀圖、作圖、釋圖，強化他們的圖形意識，提升他們的作圖能力，使他們可以在圖文間穿梭自如。更重要的是，教師應在長期的訓練中讓學生充分運用作圖優勢，讓作圖習慣深深植根于學生的潛意識里。唯有如此，學生到了高年級時才不會遭遇“巧婦難為無米之炊”的窘境。

綜上可知，切不可在中低年級教學時敷衍了事，跳過作圖教學，直接從文字層面分析數量關系。這樣做雖茍安一時，但后患無窮。

（責編 羅 艷）