基于波利亞“怎樣解題表”的習題教學案例研究

孟彩彩 鞏鎧瑋

[摘? 要] 本研究從波利亞“怎樣解題表”出發，以“函數的零點”習題教學為例，探析波利亞“怎樣解題表”在高中數學解題教學中的應用，并提出相應的解題教學優化策略：趣味性啟發教學，幫助學生弄清問題;系統性設計教學，助力學生擬定計劃;發展性實施教學，引領學生執行計劃;針對性反思教學，引導學生回顧要領.

[關鍵詞] 怎樣解題表;解題教學;核心素養;函數的零點

[?] 引言

數學思考是學生學習數學的必備素養，而解題是培養學生數學思維能力的首要路徑，故在解題教學中，數學教師要借助于適切載體、恰當方法、靈動處理等方式讓學生猜想與數學問題有關的知識或經驗，進而多角度、深層次探求數學問題解決的思路方法，提升學生數學思維的嚴謹性、敏捷性及批判性，助推學生思維方式和創新精神的發展，從而深度實現學生數學學科核心素養的培養. 波利亞的解題理論強調數學思維的教學，其“數學啟發法”是解題理論的核心內容，正如他所說：沒有一道題可以解決得十全十美，總存在值得我們探究的地方. 可見，波利亞視解題為一種手段，通過解題教學啟發學生的數學思維，掌握包括函數思想、數形結合思想等在內的數學思想和解題技巧，明晰系統性、實踐性等數學學習的基本原則，培養學生分析和解決問題的能力.

所謂“啟發法（探索法）”，波利亞在《怎樣解題》中指出：發現和發明的方法及規律，即對思維規則的明確描述. 那么，如何在高中數學教學中具體落實波利亞的解題思想呢？為此，本研究從波利亞“怎樣解題表”出發，結合蘭州市A教師開展的“函數的零點”習題教學，探析波利亞解題思想在高中數學解題教學中的應用，并提出相應的解題教學優化策略，以期為一線高中數學教師的有關解題教育教學工作提供一些理論借鑒和實踐參考.

[?] 波利亞“怎樣解題表”的基本內涵

波利亞積極倡導運用“數學啟發法”，其著作《怎樣解題》以“數學啟發法”為核心內容，充分肯定了解題的一般教育價值，為探析一般性的解題方式或模式，波利亞對解題過程中最富有特征性的智力活動進行了分析和歸納，凝練出了“怎樣解題表”，進而提煉出了分析和解決數學問題的四個階段，即弄清題目、擬訂計劃、執行計劃、回顧. 每一階段又提出了一系列問題啟發聯想，其充分應用了類比、歸納、化歸、特殊化、一般化等思維方法和技巧，構成了波利亞“數學啟發法”思想的核心內容[1]，具體如表1所示.

四個階段共同組成了一個完整的解題教學系統. 其中，“弄清問題”是認識問題且問題表征的過程，它是成功解題的必要前提;“擬訂計劃”是探索解題思路的發現過程，它是成功解題的關鍵環節;“執行計劃”是“擬定計劃”的實施過程，它是成功解題的核心內容;“回顧”是解題的魅力所在，它是成功解題的必要環節.

[?] 基于波利亞“怎樣解題表”的習題教學案例的解析

波利亞“怎樣解題表”是數學習題教學中的重要理論依據，筆者在蘭州市的一次數學教師培訓過程中有幸聆聽了A教師運用“怎樣解題表”這個模式開展的“函數的零點”高中數學習題教學，現將具體的教學過程重現并開展一定的教學評價.

1. 教學過程重現

2. 教學評價

整體來看，A教師在解題教學中運用“怎樣解題表”模式是完整的，即完成了弄清問題、擬定計劃、執行計劃、回顧四個階段. 然而，仔細推敲，發現A教師的習題教學存在諸多不足，具體如下：

（1）引導不夠聚焦，啟發流于形式.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：高中數學課程要具有基礎性、選擇性和發展性[2]. 對于A教師而言，未充分體現新課標的基本要求，如開始提出的問題：“已知量、未知量是什么？已知量與未知量存在哪些聯系？能否通過已知條件直接得出問題的答案？若已知量與未知量不存在直接聯系，那么連接它們的橋梁是什么？”這些問題沒有從學生的基礎出發，問題設置一般化，沒有聚焦具體的相關知識. 具體而言，解題過程中最基本的心理操作包括引入概念、推出性質、重新理解[3]，函數零點的知識是學生剛學習的新概念，若學生沒有完全消化新概念，則解題的第一個心理操作就會受阻，將直接影響問題的解決. 因此，教師應首先引導學生復習相關的知識點，深度理解并掌握數學概念. 此外，學生第一次接觸“怎樣解題表”這樣的解題模式，教師的引導應著眼于學生的思維發展方向. 總之，A教師并未充分了解學情，其教學節奏偏快，引導不夠聚焦，只是滿足了解題的四個步驟，使得教學啟發流于形式.

（2）問題跨度較大，學生思維被動.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》強調：教師要整體把握教學內容，情境創設和問題設計要有利于學生發展數學學科核心素養[2]. A教師第三次提出問題：“再次細心觀察方程，并回憶之前的學習經驗，對于復雜的函數是怎樣處理的？”此問題的設計是為了提醒學生對復雜的函數進行構造，但這部分知識內容對于大部分學生來說是困難的，并且此過程是“怎樣解題表”模式的第二個階段，即“擬定計劃”階段，它是成功解題的關鍵階段. 因此，教師不僅要有語言層面的提醒，還要幫助學生深刻回憶，引導學生對之前學過的函數構造問題進行梳理，借助于典型例題回顧并掌握其中蘊含的思想方法，為解決新問題做好鋪墊. 其次，教師直接讓學生觀察（5x+3）5+（5x+3）=-（x5+x）的特征，并未考慮一些抽象思維較弱或思維處于具體化的學生，他們難以將5x+3整體化，對于構造函數g（x）=x5+x更是一知半解，以致學習呈現出了形式而固化的狀態，學生認知能力的發展也受到了極大遏制.

（3）運用“題海戰術”，本質回歸不足.

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：教師要啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質[2]. 即教師不僅要指導學生積累解題經驗，更要教會學生如何積累解題經驗，同時明晰解題策略及經驗的積累主要在回顧的過程中獲得[4]. 對于本次課例而言，A教師只是讓學生闡述了問題解決的整個思路，檢驗過程是否正確、結果是否有誤，最后出示了4個例題及一些課后習題進行大量練習，并未引導學生體會、總結函數零點與方程根的聯系，感知數形結合、轉化等思想方法，以及積累反思性學習經驗，而這必然不利于學生數學核心素養的發展. 因此，數學教師要深刻領會波利亞的解題思想，要多維度、新角度、高層次審視解題教學的目標、內容和方法，從而實現深度教學.

[?] 高中數學解題教學的優化策略

波利亞“怎樣解題表”體現了數學思維層層遞進的過程. 基于此，在高中數學解題教學中，教師可以從以下幾方面加強對學生解題思維的引導，進而培養學生的數學解題能力和思維習慣，從而實現學生核心素養的有效落實.

1. 趣味性啟發教學，幫助學生弄清問題

課堂教學成功的關鍵在于學生具備積極的數學思維活動和濃厚的學習興趣，而富有趣味性的啟發教學可激發學生的學習興趣，促進學生數學思維邏輯的發展[5]. 數學解題教學，是學生持續積累解題經驗的教學過程，波利亞指出教師在教學時要遵循的三大學習原則——主動學習、最佳動機、循序漸進，其中的“最佳動機”指學生對所學的知識要倍感興趣，在學習活動中伴隨歡樂[6]. 因此，教師在解題教學時要對問題進行加工、設計，選擇性地預設各類問題，同時運用多媒體教學的優勢，把問題融入相關情境，賦予啟發教學的趣味性，讓學生充分體會數學與生活及其他學科的緊密聯系，在趣味中分析問題要點，發現問題中的已知和未知，從而理解問題，為深度實現教學目標提供有力保障. 如“函數的零點”習題教學，教師可借助于幾何畫板、希沃白板等軟件開展趣味性啟發教學，進而幫助學生分析問題、弄清問題，發展學生的數學核心素養.

2. 系統性設計教學，助力學生擬定計劃

數學知識不是孤立的“點”，數學教師要從整體上把握彼此聯系的基本命題或概念體系等[7]，而數學解題教學的關鍵目的在于將所學的知識系統化，讓學生靈活運用所學知識解決有關問題. 對此，教師在運用“怎樣解題表”模式啟發學生解決數學問題時，學生能快速地從大腦中提取以往所學的相關聯的知識至關重要，知識的有效提取直接影響著問題的高效解決. 因此，教師要系統化設計教學，有效解決課時的零散性與知識的孤立性、單元的割裂性與學科的無整體性等問題，從而培養學生梳理解題思路、發展思維方式的能力，進而以整體性、全局性看待問題的意識擬定計劃，促進學生學習的遷移類推，為學生的自我發展奠定基礎. 如“函數的零點”習題教學中，教師要建立舊知與新知的聯結點，讓學生體會函數零點與方程根的關系，進而剖析問題的核心點及關鍵點，助力學生擬定計劃，從而實現深度教學.

3. 發展性實施教學，引領學生執行計劃

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：高中數學課程要注重發展性，同時以學生的發展為本[2]. 對于數學教學而言，發展性主要體現在問題解決過程中學生數學思維的發展. 具體而言，教師在備課選擇教學策略時，發展性體現在對問題的性質、內容的深度分析，對學生已有認知結構的深入了解等方面;在解決數學問題的具體過程中，發展性體現在學生思維的清晰性、活躍性及具體實施時思維的準確性等方面. 因此，教師發展性實施教學，可以幫助學生掌握問題蘊含的數形結合、轉化、類比等數學思想方法以及解題的技能技巧，從而有效地執行解題計劃，解決相關問題. 如“函數的零點”習題教學，教師要借助于典型案例，通過師生互動、生生互動等方式，提煉其中蘊含的解題思路、思想方法，提升學生執行解題計劃的有效性，從而實現學生數學核心素養的發展.

4. 針對性反思教學，引導學生回顧要領

在“怎樣解題表”模式中，“回顧”階段具有舉足輕重的地位. 因此，數學教師要針對性反思教學，引導學生回顧課程內容的關鍵及要領，從而有效提高學生元認知水平. 所謂“元認知”，即學習主體對自身活動的過程與結果進行自我評價、自我調節、自我監控等，其包括元認知知識、元認知策略、元認知體驗、元認知監控[8]. 對此，教師通過及時的回顧反思，讓學生體驗學習過程、學習結果以及在認知活動中所使用的探究方法，實現探究方法的提煉和外化，助推學生核心素養的培養. 如“函數的零點”習題教學，教師要引導學生對問題解決過程中蘊含的數學思想方法等進行回顧，在總結中探析出通式通法，促進學生的數學思維多元化、深層次發展，提高學生的學習水平，增強解題教學的實效性.

[?] 結語

總之，高中數學教師要靈活運用波利亞“怎樣解題表”模式，從注重知識內容結構的整體性、數學本質的理解性、思想方法的滲透性等方面精準設計解題教學，并有針對性地選擇提問，將抽象問題具體化，引導學生分析問題的相關條件，梳理解題思路、挖掘思想方法、及時回顧反思等，最終有效解決數學問題，從而發展學生的數學核心素養.

參考文獻：

[1]? 波利亞. 怎樣解題[M]. 北京：科學出版社，1982.

[2]? 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[3]? 斯涅普坎. 數學教學心理學[M]. 重慶：重慶出版社. 1989.

[4]? 涂榮豹. 數學解題的有意義學習[J]. 數學教育學報，2001（04）：15-20.

[5]? 李保臻，鞏鎧瑋，陳國益. 數學運算素養下的計算課教學案例比較研究——以“三位數乘兩位數”的同課異構為例[J]. 數學教學研究，2020，39（04）：7-13.

[6]? 張奠宙. 宋乃慶. 數學教育概論（第三版）[M]. 高等教育出版社，2016.

[7]? 朱先東. 指向深度學習的數學整體性教學設計[J]. 數學教育學報，2019，28（05）：33-36.

[8]? 卓健民，古雯. 波利亞“怎樣解題表”的元認知分析[J]. 中學數學教學參考，2017（36）：61-63.