淺析如何利用高中數學創新題提升創造力

陳慶菊

[摘? 要] 為了更好地考查學生的自學能力和綜合知識運用能力，高考數學題中涌現出了許多立意新穎的創新題. 文章剖析了新定義、新運算等幾類常見的創新題，以期引起師生對創新題的重視，引導學生更好地適應創新題并發展獨創力，提高學生的核心素養.

[關鍵詞] 自學能力;獨創力;核心素養

隨著新課改的深入，高考所考查的內容也有所變化，數學創新題以其新穎別致、生動靈活等特點獲得了命題者的青睞. 創新題一般立意新穎，具有一定的深度和廣度，更能激發學生的潛能，更能彰顯學生的綜合能力和數學素養. 然要做好創新題需要學生具有良好的獨立思考習慣和自主分析能力，在面對不同的創新題目時可以選擇行之有效的方法和手段進行問題的分析和提取，并靈活運用所學知識進行合理的探究，從而創造性地解決問題. 為了學生能更好地適應創新題，筆者以幾類常見的創新題為例進行了簡單的剖析，以期引起共鳴.

[?] 定義新概念

所謂“新”是因為其在教材中不曾出現，其背景新穎，構思靈活，同時又蘊含著豐富的信息，可以更好地考查學生的綜合能力和綜合素質. 然而，雖表面上看是從未學過的概念或定義，但仔細閱讀后不難發現新概念或新定義往往可以轉化為熟悉的數學模型，結合新概念或新定義加以分析，往往可以輕松地解決問題.

例1 定義“等和數列”：在數列{a}中，若a與a的和均為常數d，那么數列{a}為等和數列，常數d為數列的公和.

已知{a}為等和數列，且a=2，公和d為5，則a的值為______，該數列的前n項和為______.

題目解析：雖然等和數列是學生從未接觸的概念，然學生有等差數列的學習經驗，在解題時可以將已有的等差數列的學習經驗遷移至等和數列，通過二者相類比而發現解決方法. 根據已知不難看出，a+a=5，已知a=2，故a=3，以此可知a=3. 當n為奇數時，a=2，S=;當n為偶數時，a=3，S=.

題目評注：本題定義了等和數列這一新概念，學生在求解a及其前n項和時就要充分利用好這一定義. 因為學生有學習等差數列的基礎，故可以充分利用a+a=d這一個本質特征. 解答此類問題時，學生首先要與已有知識進行類比和遷移，進而發現新概念的本質特征，然后圍繞關鍵點找到解題的突破口，利用原有認知將其內化，從而順利求解.

[?] 設計新運算

對于新概念或新定義的運用法則和運算方法，學生多因運算新穎而感覺該類題目變化莫測，無從下手，故在解決此類問題時教師要引導學生先進行觀察和分析，然后理解運算法則并挖掘出運算規律，進而為后期的推理打下堅實的基礎.

例2 設S為一集合（該集合至少含有兩個元素），在S上定義一個二元運算“?”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素a*b與之對應）. 若對于a，b∈S，有a?（b?a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式不恒成立的是（? ）

A. （a?b）?a=a

B. [a?（b?a）]?（a?b）=a

C. （b?b）?b=b

D. （a?b）?[b?（a?b）]=b

題目解析：由“a，b∈S，有a?（b?a）=b”可知，變量取任意值恒成立，故解此題可以直接應用賦值法.

①將已知條件中的a換成b，則有b?（b?b）=b，故選項C恒成立;

②將已知條件中的a換成a?b，則有（a?b）?[b?（a?b）]=b，故選項D恒成立;

③將已知條件中的a換成b，b換成a，則有b?（a?b）=a，于是選項D可變成（a?b）?a=b，故選項A不恒成立;

④對于選項B，[a?（b?a）]?（a?b）=b?（a?b）=a，恒成立.

題目評注：例2定義了新的運算法則，若不是新定義的內容，學生根據選項進行運算和推理就可以得到答案;然本題定義了新的運算法則，因此在解題前應先理解運算法則，理解后不難發現，其類似于抽象函數問題，故將其轉化為熟悉的數學模型后，賦值法的應用也就水到渠成了. 在解決新定義的運算法則和運算關系時，學生常感覺到陌生和壓力，因其更加新穎，而學生在日常的學習和訓練中已經習慣了套用，繼而產生了心理障礙，故在教學新概念或新定義時不妨以閱讀方式給出，讓學生自己去領悟新內容，從而培養學生的自學能力.

[?] 創設新探索

探索性問題因其具有一定的開放性，更能考查學生思維的廣闊性，然在長期應試教育影響下，師生過于追求解題效率，對探索性題目的關注度較低，使得學生在面對有不確定因素的開放性問題時常出現畏難情緒. 基于此，教學中教師應多引導學生進行自主探究和小組探究，引導其大膽猜想和假設，通過類比、拓展等思維活動提升學生的數學應用能力.

例3 已知兩相交平面α，β與兩直線l，l，在α內的射影為s，s，在β內的射影為t，t. s，s與t，t滿足什么條件時可以確保l，l為異面直線.

題目解析：本題看似較難，然若學生熟知兩直線的三種位置關系并擁有良好的作圖能力，則此題并不難求解. 作圖后容易得到使l，l為異面直線的條件為：s∥s，且t與t相交;或t∥t，且s與s相交.

題目評注：此題為探索性問題，其主要考查學生的觀察能力和分析概括能力，將已知與結論相結合，從整體觀察，將本題轉化為熟悉的平面問題，進而總結出條件. 探索性問題的結論大多不是唯一的，因此教學中應鼓勵學生多角度進行思考，應用好已知和結論，盡量多地找到滿足結論的條件，這樣不僅可以深入理解本題，而且可以培養思維的多樣性和廣闊性.

[?] 引導新類比

類比是探索問題、解決問題的重要手段之一，通過類比發現問題之間的區別與聯系，進而經過猜想、推理、驗證提出并解決新問題，其有利于學生自學能力和創新能力的提升.

例4 已知數列{a}是公差為d（d≠0）的等差數列，S是{a}的前n項和. 若S-S，S-S，S-S也是等差數列，且其公差為100d. 與上述等差數列相類比，若數列{b}是等比為q（q≠1）的等比數列，T是{b}的前n項積，則T，T，T，T可以得出什么樣的結論？

題目解析：與等差數列相類比不難知道，，是公比為q100的等比數列.

題目評析：本題乍看是新定義的題目，即定義S-S，S-S，S-S為等差數列，然細細品味卻不難發現，其為基本運算的描述，故求解并不難. 在解決此題時充分應用了類比，如“等差”與“等比”相類比，“和”與“積”相類比，展現的是學生良好的分析并解決問題的能力.

[?] 跨學科融合

隨著時代的進步，教育走向了多元化、開放化的道路，對人才的考核也從單一的應試型轉化為應用型和創新型，為了更好地實現學科融合，發揮各學科優勢，在教學中要注意學科之間的相互滲透，進而實現優勢互補，提升學生的綜合素質.

例5 已知從橢圓的焦點F發出的光線，遇橢圓發生反射，反射后經過焦點F. 現有一個橢圓形的桌球臺，點A，B為橢圓的焦點，橢圓的長軸長為2a，焦距為2c，放在點A的小球從點A出發，那么小球第一次回到點A時，小球所走的路程為（? ）（此題不需要考慮小球的半徑）

A. 4a B. 2（a-c）

C. 2（a+c） D. 均有可能

題目解析：本題在求解時不難發現，因題目未制定小球的具體運行軌跡，因此解題時需要進行分類討論.

①放在點A的小球從點A出發，沿直線運動，當碰到橢圓的左頂點后返回A，則其所走的路程為2（a-c），故選項B正確.

②放在點A的小球從點A出發，沿直線運動，當碰到橢圓的右頂點后返回A，則其所走的路程為2（a+c），故選項C正確.

③放在點A的小球從點A出發，沿直線運動，其并未經過橢圓的左右頂點，碰到橢圓壁后反彈經過橢圓的右焦點B，由焦點B再回到焦點A，則其所走的路程為4a，故選項A正確.

綜上可知，本題的答案為選項D.

題目評注：根據學生的反饋來看，大部分學生因受已知的干擾選擇了選項A. 本題是一個跨學科的創新題，其與物理的反射相結合，物理中的反射既是解題的已知，也是解題的干擾. 本題的順利求解需要學生仔細審題，不僅要找到學科之間的融合點，而且要靈活應用已有經驗對指代不明的問題進行分類討論，進而成功解決問題. 數學常與物理、化學、地理等學科內容相融合，要解決好此類問題學生應多關注生活，多角度進行思考，從已知中抽象出數學模型，用數學思維思考問題，用數學知識解決問題. 雖然各學科在教法和學法上有著明顯的不同，但學科之間互相交叉、相互融合不僅可以開闊學生的視野，也可以更好地提高學生的核心素養.

總之，創新題雖靈活多變，但其與已有經驗和已有知識是緊密相連的，只要認真思考、仔細觀察、找準方向，定能有所突破.