數學符號教學：基于原理，發揮價值

摘要：數學符號教學，應以“認知的歷史發生原理”為指導。同時，要充分發揮數學符號的教學價值：在新符號引入的過程中增強數學創造意識，在數學符號創設的完整過程中發展數學審美能力，在體悟數學符號的思維功能時感悟數學思想方法，在把握數學符號的意義、內涵時深度理解數學知識，在數學符號演變的過程中感受數學文化。

關鍵詞：數學符號;“認知的歷史發生原理”;教學價值;數學語言;數學思維

數學符號是數學的特殊文字，是表明數學的概念、運算、關系和推理的數學語言，它使得數學思維過程準確、概括、簡明，從而更容易揭示數學對象的本質。數學符號作為數學學科至關重要的內容，在數學教學中也具有很重要的價值。但是，從實際情況來看，數學符號的學習基本上是接受性、被動性的，引入符號的決定權在教師，用什么符號表示也由教師確定，教學方式就是“記憶（教師給出，學生記憶）+注意（教師說明幾個注意點）”。這樣的方式導致蘊含于數學符號中的教學價值無法發揮，學生對數學符號語言的理解、運用能力比較薄弱。這可以由考試中學生在運用新符號表述的問題上表現不佳得到佐證。

本文從數學符號的類別與來源出發，重點談一談筆者對數學符號教學的一些思考。

一、數學符號的類別與來源

了解數學符號的基本知識，有助于在教學中引導學生進行數學對象的符號創設或選擇。

從作用上，數學符號可以分為以下四類：

一是元素符號：表示數或幾何圖形的符號。如：表示數字的符號，如0、1、2、3、4、5、6、7、8、9;表示數的字母，如a、b、c、x、y、z;表示特定常數的字母，如e、i、π;表示三角形邊的字母，如a、b、c;表示三角形角的字母，如A、B、C;表示圖形類型的符號，如∠、△、⊙。

二是關系符號：表示數、式、形等數學對象之間關系的符號，如=、>、<、≥、≤、≈、∽、≌、、∈、。

三是運算符號：表示按照某種規定進行運算的符號，如+、-、×、÷、·、、∑、sin、cos、log、lim、∫，以及行列式符號、矩陣符號。

四是輔助符號。為了便于表達和運算，數學中還引進了一些符號，用于表示某些特定的式子或某種特定的意義。如：Δ（一元二次方程根的判別式）、n！、Anm、max、min;括號（）、[]、{};三角形全等的條件“SSS”“SAS”“ASA”;隨機事件的概率P（A），隨機變量的期望E（X）、方差D（X）;樣本的均值x、方差s2等。

數學符號也可以按照數學學科領域來劃分。各個領域中都要運用一系列專門的符號，如數理邏輯中等。

數學符號的創設或選擇沒有固定的規則，但也有某些規律。數學符號的來源主要有以下五類：

第一類：用英文、拉丁文單詞的第一個字母或前幾個字母，如表示概率的“P”即英文單詞“probability”（概率）的第一個字母，正弦函數“sin”即英文單詞“sinusoidal”（正弦曲線）的前三個字母。有時，還會用第一個字母的變形，如相似符號“∽”是英文單詞“similar”（相似）第一個字母s的平躺寫法，積分符號“∫”是拉丁文單詞“summa”（和）第一個字母s的拉長寫法。

第二類：從直觀形象上讓人望形生意，如∠、⊥等。

第三類：從結構、形狀上隱喻含義，如=、<、>等。

第四類：從相關的符號演變而來，如“×”由“+”斜寫而得。

第五類：由名人約定，如積分符號、階乘符號、∵、∴等。

不少數學符號蘊含了數學家們的奇異思想，如根號、積分符號等，都有著各自美麗的故事。

二、用“認知的歷史發生原理”指導數學符號教學

數學教學需要考察兩個層面的問題：一是學習內容，即數學知識的本質以及歷史發展過程;二是學習主體，即學生的數學認知規律以及認知發展過程。根據“認知的歷史發生原理”，個體的數學認知發展過程與對應的數學知識的歷史發展過程相一致，這兩個方面具有內在的邏輯關聯性（在認知邏輯上）。這一原理對符號教學有一定的指導意義。

例如，用字母表示數在數學符號史上是一個重要事件，并且隨著數學的發展，其意義、觀念也在發展和進化。用字母表示數的學習，也大致需要經歷這樣的過程。

大約在公元3世紀，丟番圖就開始用字母表示數，他用“”表示待定數，這里字母表示的數本質上是確定的。到了16世紀，韋達創立了符號體系，他用母音字母表示未知量，用子音字母表示已知量。后來，笛卡兒將其調整為用a、b、c等表示已知量，用x、y、z等表示未知量。從這時起，字母可以表示“任意”數，這就使得用a+b=b+a表示加法交換律成為可能，進而，數學就從算術時代進入代數時代。此外，韋達將一元二次方程的兩個根分別用符號x1、x2表示。這不僅擴大了字母表示數的范圍，豐富了表示方式，也使字母表示的數的類別得到了區分，條理得到了梳理。而雙下標、多下標的使用，將符號觀念從一維空間拓展到了二維、多維空間，使人類數學觀得到了進一步提升。這些素材在中小學數學教材中大量存在，厘清它們之間的關系，對數學教學如何根據歷史過程設計學習過程是十分有益的。

又如，數的概念及其符號表示是學生在小學剛入學甚至在幼兒園就開始學習的最基礎的數學知識，它與人類文明相伴而生。下面，筆者重點以這一內容為例，談談如何根據歷史過程設計教學。

據了解，在幼兒園，教師就開始教小朋友認識阿拉伯數字1、2、3、4、5、6、7、8、9，教學方式大多為“象形兒歌”：“1”像小棒，“2”像小鴨子……這種教學，是識字教學，不是有意義的記數教學。面對幼兒，可以進行有意義的記數教學嗎？回顧人類建立數的概念、建構數字的歷史過程，在初始階段，我們的祖先與現在的幼兒的認知水平基本相當（由于文化因素的影響，現在的幼兒可能比當初我們的先祖的認知基礎還要好一些）。因此，相應的歷史過程可以成為最好的啟發方式。基于幼兒的認知水平，通過游戲的形式再現數的概念及其符號表示的歷史過程，促進幼兒建構數的概念，通過“象形”語言逐步抽象出數字符號，應該是可能的，至少是可以做適當的嘗試的。

下面，是筆者設計的教學簡案：

【課題1】 手指記數

學習目標：認識數;用圖形（線條）表示數，初步符號化（圖形符號）。

師（出示一個蘋果的實物或圖片）這里有一個蘋果，一個蘋果如何用手指表示？怎樣將這種表示方法畫出來？一個蘋果對應一個什么？

師（出示兩個蘋果的實物或圖片）我們將現在的蘋果個數說成“兩”或“二”，如何用手指表示？怎樣將這種表示方法畫出來？一個蘋果對應一個什么？

【課題2】 結繩記數

學習目標：鞏固對數的認識;繼續用圖形（線條或點）表示數，初步符號化（圖形符號）。

師古時候，一個牧羊人是怎樣知道晚上回到山洞的羊的個數與早上出去的羊的個數相同的呢？出去時，每出一只羊，就在繩子上打一個結;回來時，每進一只羊，就數一個結。

師一只羊，在繩上打一個結，怎樣在紙上用圖形來表示呢？兩只羊呢？三只羊呢？……一只羊對應一個什么？

學生可以畫一條、兩條、三條……線，也可以畫一個、兩個、三個……點。展示學生的成果，讓他們表述自己的圖的意思（將數的概念與表征融合起來教學）。

【課題3】 算籌記數

學習目標：從線條表示到算籌表示，符號化水平適當提高。

給每個學生發一套算籌。以手指記數的圖形表示為基礎，介紹算籌（只介紹最簡單的記數，最多10以內）。

先讓學生設法用算籌分別表示數字1、2、3、4，并將自己用算籌擺的數畫到紙上。

再讓學生用算籌表示5、6……在肯定他們想法的基礎上，介紹我國古代是怎樣用算籌表示5、6……的。

【課題4】 算盤記數

學習目標：從點表示到算珠表示，進一步增強感性認識。

給每個學生發一個小算盤。以結繩（點）記數為基礎，介紹中國傳統計算工具算盤（只介紹10以內的數的表示方法）。從1、2、3這幾個最簡單的數開始，讓學生用算盤表示。

【課題5】 古羅馬數字

學習目標：用較接近圖形表示、實物表示的符號形式進行符號化。

在學生對數的概念有了足夠認識的基礎上，以用手指表示數的圖、算籌表示數的圖等介紹古羅馬數字1、2、3的表示方法;重點介紹5的表示法“Ⅴ”，先用一只手的記號表示5（整體觀），再將手的圖簡化為“Ⅴ”;再介紹6、7、8的表示方法;最后介紹10及4、9的表示方法。

如果有學生建議用“橫”表示“1”，也可以順便介紹漢語中的數字一、二、三等。

【課題6】 阿拉伯數字

學習目標：在對數的概念有了一定認識和對用符號表示數有了較多感性認知的基礎上，介紹最常用的數字表示法——阿拉伯數字。

首先說明人們總是希望符號越簡單、越方便書寫越好，然后介紹阿拉伯數字：逐一介紹，先看后寫，與古羅馬數字一一對照，并配以相應的兒歌，讓學生反復練習。

這里需要指出的是，筆者沒有教過幼兒和小學生，上述教學簡案是否可行，有待實踐檢驗。但是，如何從盡可能低的年齡開始，讓學生經歷人類知識起源與發展的過程，是值得研究的課題。

三、充分發揮數學符號的教學價值

數學符號的產生緣于相應的數學對象的抽象、概括過程中的自然需求，是相應的數學對象的本質特征、內涵的語言與圖形（字符）表征。好的符號應該能夠將過程與本質濃縮其中，在符合數學審美要求的前提下，做到望“符”生義。因此，數學符號在數學教學中有著非常重要的價值。

（一）在新符號引入的過程中增強數學創造意識

新的數學符號的引入伴隨著新的數學對象的確定，也就創造了新的數學知識。因此，幫助學生理解新符號引入的必要性、合理性，便可以激發學生“創造”新知識的動力，發展學生的數學創造意識。

例如，教學反正弦函數的概念時，如果只是由y=sin x在-π/2，π/2上存在反函數，就規定“其反函數叫作反正弦函數，記為x=arcsin y……”，那么學生毫無心理準備，對“arcsin”這一符號的出現感到很突然，對其含意的理解也就不會很透徹，更沒有任何數學創造的需求或沖動。筆者在教學中是這樣處理的：

師函數y=x2是否有反函數？能否縮小其定義域，使其有反函數呢？

由圖像，學生容易發現：在（-∞，0]或[0，+∞）上，函數y=x2有反函數。

師函數y=sin x有反函數嗎？在怎樣的區間上有反函數呢？

引導學生選取主值區間，并感受為什么要選取這一區間。

師正弦函數y=sin x在-π/2，π/2上的反函數叫作反正弦函數。

師若記反正弦函數為f-1（x），則其定義域是什么？值域呢？

根據定義，學生容易發現：反正弦函數的定義域就是上述正弦函數的值域，值域就是上述正弦函數的定義域。

師f-1（1）的值是多少？ f-1（-1）呢？f-1（0）呢？ f-112呢？ f-1-12呢？ f-132呢？f-1-32呢？

學生能直接寫出以上函數值。

師f-113呢？

學生寫不出這個函數值了。

師那么它存在嗎？它的意義是什么呢？

學生可通過與原函數的對應關系加以理解：在-π/2，π/2上使正弦值等于13的角。

師既然存在，而且不是可以直接寫出來的角，怎樣表示呢？

學生認為，需要引進新的符號。教師引入符號arcsin13，再用這個符號表示上述各式arcsin 1=π/2，arcsin 0=0，arcsin12=π/6……，讓學生逐步理解這個符號。最后，讓學生用求反函數的一般方法求反正弦函數的解析式：正弦函數y=sin xx∈-π/2，π/2→x=arcsin y→y=arcsin x。

這個過程是創造一類新函數的過程，是完善三角函數知識體系的過程，也是進行新知識建構的過程。數學中的很多內容都可以這樣處理，如對數、復數符號的引入等。

（二）在數學符號創設的完整過程中發展數學審美能力

數學符號的創設或選擇需要符合一定的規則要求，并且是在符號意識下產生相應的需求而進行的創造性思維活動。暴露數學思維過程包括暴露創設數學符號的思維過程，也就是符號化的思維過程：為什么要符號化（怎么想到用符號進行表示的）？如何符號化（選擇怎樣的符號）？在這一過程中，教師可以引導學生感受數學美，發展數學審美能力。

例如，在推導橢圓的標準方程時，化簡到最后都會得到這樣一個方程：x2a2 +y2a2-c2 =1。對此，通常的教學處理是：引進新的符號b，使b2=a2-c2。但是，如果不回答“為什么”“如何”這兩個問題，思維過程就暴露得不充分。從數學審美看，引入b使方程結構更簡潔、更優美;從數學本質看，引入的b有具體的幾何意義。

事實上，對于具體的a、c（即確定的橢圓）而言，方程中y2項的分母其實是確定的，方程結構也是簡潔的（因為a2-c2就是一個確定的數）。這便讓我們難以想到需要引進新的參數，甚至難以提出“為什么分母都要寫成平方形式？”這一問題（只有在考察一般情形時，才會出現a2）。而對于一些有整體觀的學生而言，他們也知道y2項的分母是一個具體的數，好像引進一個新的符號也就是個形式而已，沒有什么實際意義。

對此，可以從兩個方面啟發、引導學生：一方面，對于橢圓方程的一般結構而言，將分母結構統一、分子與分母的形式統一是數學審美的需要;另一方面，從橢圓圖形上看，x2項的分母的幾何意義是什么？類比于此，y2項的分母的幾何意義應該是什么？你能檢驗你的猜想嗎？這說明引進新的符號（參數），統一結構形式，更加必要。

經過上述過程，學生分別從數與形兩個方面，經過數學審美的思辨，對新符號引入的必要性與合理性有了充分的認識。

此外，經歷完整的數學符號創設過程，還包括留出足夠的時間和空間，讓學生經歷數學符號的改進過程。

例如，指數冪（n個a相乘）用怎樣的符號表示？在不看教材的前提下，讓學生自己創造符號，運用數學審美眼光、數學符號基本要求，在各種“創造”中擇優。教師可以通過對n個a相加的和的表示方法進行類比啟發，對a與n的可能的相對位置進行列舉分析，和學生一起選出最簡單、優美的表示方式，形成指數冪的符號形式。

（三）在體悟數學符號的思維功能時感悟數學思想方法

數學符號本身蘊含著豐富的思維信息，因此，數學符號教學無論是建構符號還是運用符號，都能讓我們體悟到其啟迪思維的功能。

首先，新的數學符號往往蘊含著新的數學思想、新的數學觀念。比如，用字母表示數，就使我們從算術思維走向代數思維，從算術計算走向方程思想，因此，學習用字母表示數，促進了學生數學思想、數學觀念的飛躍，其思維方式的變化使學生的數學認知能力得到極大的提升。同樣，用實數對構成的符號（x，y）表示平面內的點，使得學生的坐標思想得以確立，這也使得解析幾何的思想方法得以形成。

其次，同一對象用不同符號進行不同表征，既可以建構數學知識體系（如蘇教版高中數學必修第一冊第7章《三角函數》，就是通過圓周上點的不同表征方式及其之間關系的研究，引出三角函數這一刻畫周期現象的數學模型的），又可以實現不同符號系統下知識體系的轉換，為解決問題提供新的路徑（如直線方向的傾角表征、斜率表征和向量表征之間的關系，使之可以在幾何、解析幾何、向量等領域之間相互轉換），還可以通過結構聯想，找到解決問題的思路方法（如分式符號的結構，聯想其幾何意義，可以進行數形轉化，甚至可以轉化到能借助導數解決的問題）。

再次，符號推理可以簡化、顯化思維過程。比如，蘇教版高中數學必修第一冊第2章《常用邏輯用語》的章首語就是典型案例。其內容說的是：命題“兩個偶數的和是偶數”非常簡單，但是，如果要求加以證明，就不能說其“顯而易見”，而用普通語言又難以說清，但用符號語言進行推理，思維過程則非常清晰。實際上，在解決問題的過程中，通過符號化進行分析、探索，往往能簡化問題，揭示本質。著名數學家歐拉解決“哥尼斯堡七橋問題”就是數學史上的經典案例——不僅解決了著名的難題，而且誕生了新的數學分支，產生了新的數學思想方法。

最后，對數學式子進行符號變換（其實就是恒等變換），是進行化歸的重要途徑。比如，要研究函數y=xx的性質，直接求導是難以實施的，因為這不是基本初等函數，沒有直接的公式可供使用，但若將其等價轉化為z=ln y=xln x，則研究起來就非常簡單了。

（四）在把握數學符號的意義、內涵時深度理解數學知識

數學符號不是固化的，而是發展的。數學符號的教學，只有重視其發展中的關鍵要素，才能真正促使學生理解數學。比如，“0”作為一個特殊整數，其初始意義是“無”，即什么都沒有。但是，當我們將數域擴大到有理數集（在教學中是引入負數的概念）時，0的意義就突破了“無”的界定，而表示一種狀態（不僅表示“無”的狀態），如氣溫為0 ℃，并不是沒有氣溫，而是氣溫的一種特定的狀態。因此，教學中就要通過氣溫對“0”的意義進行重構，而不是輕易地滑過。現實的數學教學，經常忽視從概念原始含義到拓展含義的必要性與合理性的揭示，忽略拓展的過程展示。數“0”不是唯一案例，更典型的案例是將an中的指數n從正整數推廣到0、負整數時，基本沒有顧及原始概念的意義（n個a相乘）已經不能解釋所有情形了，更沒有關注學生可能的疑問：0個a相乘、-1個a相乘，有意義嗎？

數學符號不是靜態的，而是動態的，“表示過程”的特點讓其有了靈魂，表現出水一般的靈動。比如，函數符號f（x）表示的是一個變化的過程，因此研究函數就需要有運動的觀點。更一般地，符號表達式都具有兩重性：從結果看是靜態的、確定的（如數的算式的結果就是一個值，定積分式的結果也是一個值）;但是，其又表示求出這個值的過程，或者說，要求出其所表示的值，需經過某個求解的過程。數學教學中，一定要將“兩重性”揭示出來，只有這樣，才能真正讓學生理解相關意義。數學符號的靈動還表現在同一個符號表示式可以有多個意義，可以是代數的意義，也可以是幾何的意義。比如，最簡單的符號“1”，就可以用多個形式表示它，如橢圓方程、同角三角函數的關系、底數與真數相同時的對數值等;也可以作出多種不同的解釋，如初始元、單位元、真命題等。

由于對符號表達的意義（概念的本質）沒有理解，或對符號的理解能力不強，對一些新穎的問題，學生的表現不盡如人意。比如，1984年全國高考數學卷中出現過這樣的問題：已知函數H（x）=0，x≤0，

1，x>0，畫出函數H（x-1）的圖像。當時，因為學生沒有見識過這種題型，結果幾乎沒有學生能夠解答出這道題目（近30年過去了，現在這道題的得分率可能比1984年要好一些，但不是說現在學生的素養比過去好，而是這類題已經是訓練過的常規題了）。究其原因，就是在函數概念的形成階段，特別是函數符號f（x）的意義建構階段，思維過程暴露不夠，導致學生對函數f（x）的本質理解不到位。因此，在建構函數概念時，要充分暴露定義域A、函數值所在集合B及對應法則f的形成過程，讓學生分別對表格、解析式、圖像表示的函數，明確A是什么、B是什么;并在指出對應法則如果用f表示的情況下，讓學生分別對三個函數中指定的自變量，用符號表示其對應的函數值;然后過渡到一般的自變量x對應的f（x）的含義;接著討論“如果用符號表示其對應的函數值，這里的x的取值范圍是什么？f（x）的取值在什么集合中？”……在此基礎上，再讓學生建構函數的一般概念。有了這樣的過程，學生就會對函數符號f（x）產生深刻的認識。

前面的案例“反正弦函數”展示的就是通過細化的過程，促進學生對數學符號及其對應概念的深度理解，這在數學符號教學中是非常重要的。我們要突出對符號理解的過程暴露，對符號的語義分析、結構剖析、名稱剖析以及對符號使用的有效訓練。

（五）在數學符號演變的過程中感受數學文化

數學符號除了具有數學上的科學價值外，還具有豐富的文化價值。數學符號教學要盡可能將這種文化價值有機融入學生數學學習的過程中，根據教學實際，分別用建構式或欣賞式的教學方法讓學生感受精神、觀念等文化層面的價值。通常，在教學過程中可以通過以下三種方式讓學生在數學符號演變的過程中感受數學文化：

一是在正常的數學教學過程中，有機融入一些數學家創造數學符號的故事，引導學生進行數學符號的設計;或用簡要的篇幅介紹數學符號的演變過程，促使學生在深刻理解數學符號含義的同時，感受數學的文化價值。比如，教學“分數指數冪”時，可以介紹大數學家牛頓當初的發現與建構過程，讓分數指數冪與根式之間的思維關聯得到充分呈現。否則，難以回答“為什么節標題是‘分數指數冪’，小節的標題卻是‘根式’呢？怎么想到它們之間的聯系的？”這個自然生成的問題。這一過程包括兩次數學符號的推廣（乘方符號中指數范圍的推廣和根式中根指數的推廣），能使符號的發展與數學知識的生長之間的關系得到充分體現，促進學生數學觀念的提高。

二是提供一些閱讀材料、科普書籍，讓學生通過閱讀，了解數學符號的演變過程，感受其中有價值的數學觀念和數學精神，特別是數學符號優化過程中的價值追求。蘇教版高中數學教材已經提供了這樣的示范。比如，必修第一冊中的“不等號的演變”，從使用文字表示大小關系，到使用純粹的記號約定不等關系，再到使用上下線段的長短“形象化”地表示大小，再到通過添加數字（2，3）由數字大小聯想對應元素的大小，再到哈里奧特引入的“>”“<”逐漸得到廣泛使用，直到近代的“≥”“≤”的完整過程。小小的不等號有著漫長的發展、優化過程，從中可以管窺數學發展規律和數學家求美、求善的精神。建議教師在教學過程中，適度補充、豐富這類素材。

三是布置課后實踐性作業、研究性活動，讓學生對某個（些）數學符號的歷史過程進行研究，或結合數學符號，學習研究符號學、數學符號學相關理論，或撰寫數學小論文、數學文化小論文，從而提升文化素養、學術素養和藝術素養。比如，蘇教版高中數學必修第一冊中的閱讀材料“歐拉”，介紹了歐拉創設的許多數學符號，這些符號在中學數學教材中被廣泛使用。大數學家創設這些符號不是隨意的，我們可以從多個角度研究這些符號的意蘊、價值。這種研究的教育價值可能遠遠超過多做幾道常規的數學題目。

欣賞數學符號的演變過程，要突出數學家們的偉大思想，突出符號創設推動數學發展的動力作用，突出數學家們求真、求善、求美的理性精神。

綜上，筆者認為，強化數學符號教學，是優化數學教學過程的基本要求;提高學生的符號理解能力，增強學生創設和運用符號的意識和能力，是數學教學的重要任務，應得到充分重視。

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