“長時間思考”及其教學落實

摘 要：“長時間思考”具有連貫性和條理性、嚴謹性和批判性、策略性和關聯性，能幫助學生學會數學地思維，通過數學學會思維，并有效地提升學生的思維品質。促進學生“長時間思考”，可以從強化問題設計、夯實交流互動、做好回顧反思等方面著力。

關鍵詞：長時間思考；思維品質；問題設計；交流互動；回顧反思

*本文系江蘇省蘇州市教育科學“十四五”規劃課題“核心內容視角下小學數學育人價值及其實現研究”（編號：2021/LX/02/272/11）的階段性研究成果。

鄭毓信教授在詮釋“深度學習”的含義時，提到“應特別重視長時間的思考”，并指出，在數學教學中應當特別強調這樣幾個方面：聯系的觀點，變化的思想，總結、反思與再認識。它們都可被看成“長時間思考”的表現。如何正確地認識和理解“長時間思考”，并在數學教學中引導學生開展“長時間思考”呢？

一、“長時間思考”的內涵

著名數學家、菲爾茲獎獲得者廣中平佑在《創造之門》一書中寫道：“我認為思考問題的態度有兩種：一種是花費較短時間的即興思考型，一種是較長時間的長期思考型。所謂的思考能人，大概就是指能夠根據思考的對象自由自在分別使用這兩種類型的思考態度的人……沒有長期思考型訓練的人，是不會深刻思考問題的……無論怎樣訓練即興性思考，也不會掌握前面談過的智慧深度?！惫P者認為，“長時間思考”的內涵主要體現在以下幾個方面。

（一）連貫性和條理性

嚴密的邏輯性是數學學科本質特征之一，無論是數學問題的解答過程，還是數學知識之間關聯的建立過程，都是環環相扣、層層遞進的。而“長時間思考”首先體現在解決一個問題或一組問題時持續不斷地思考，這其中必然包含思維的連貫性和條理性。比如，口算“25-9”時，我們是這樣思考的：先看個位，5-9不夠減，向十位借“1”當作個位的10，10和原來個位上的5合起來是15，15-9=6；再看十位，原來是“2”，被借走了“1”還剩“1”；最后，十位上的1個十和個位上算出的6合起來是16。可見，即使是這樣一道簡單的口算題，解決時也會產生一條清晰的“思維鏈”，連接著“判斷—退位—相減—合成”這一系列的思考步驟。學生能夠連貫而有條理地經歷這一完整的思考過程，就能正確地完成兩位數減一位數的退位減法。其后，再通過練習逐步簡化其中的思考步驟，達到“自動化水平”，慢慢地形成相應的運算能力。如果在這個過程中，學生的思維缺乏連貫性，就會顧此失彼、順序顛倒，最終得出錯誤的答案。比如，有的學生在計算“15-9”這一步時錯算成“4”；有的學生算完個位后忘記十位退位而錯算成“26”，等等。思維不連貫或缺乏條理性的學生往往不能較好地掌握“退位減法”，甚至到高年級仍然不能正確、快速地運算。

解決數學問題的每一步之間都是密切關聯的，這就要求學生能夠連續不斷地接著往下想，遵循嚴格的順序，講究邏輯的起點、過程和結果（前因后果）進行“有序思考”。

（二）嚴謹性和批判性

學生初學小數知識時，常常會認為“小數都比整數小”。類似這樣的錯誤判斷在其他一些數學知識的初學過程中也頻頻發生，如“一個數的因數都比這個數小”“兩個數的積一定比這兩個數大”等。這也是“即興型思考”給數學學習帶來的障礙之一，即“用案例完全取代類的分析”：學生往往只以一個例子或少數例子得出數學結論?！伴L時間思考”則與之相反，需要“聰明人下笨功夫”，用不同的例子、從不同的角度不斷分析同一個問題，經歷從特殊到一般的概括過程。這個思考過程伴隨著很強的嚴謹性和批判性，需考慮所有情形，包括各種特例、非常規情況等。這種思考方式是由數學研究對象的特殊性，以及“數學思維是揭示事物之間抽象的形式結構和數量關系的”這些本質特征決定的。

（三）策略性和關聯性

首先，“長時間思考”體現為元認知調控之下的策略性思考。也就是說，個體能夠對自身在當下所從事的思維活動具有清醒的自我意識和自我分析（評估），并能及時作出必要的調整，包括糾正可能的錯誤，以使思維活動更有效地往正確的方向開展。比如，分析問題時思考“是否充分利用了所有條件”“是否有遺漏的條件”，尋求方法時思考“是否解答過類似的問題”“如果換一種思路想會怎樣”，完成解答后思考“答案是否完全符合題意”“這樣的解答方法是否最佳”。顯然，這樣的自我思維監控優于一般思維，體現為一種具有策略性的優化思維形式。

其次，“長時間思考”還體現為一種具有關聯性的“再認識”思維形式。在結束了一個階段的學習以后，對所學習的內容與全部的學習過程作出總結和“再認識”，從而不斷優化認識。這是“長時間思考”的另一重要意義。不斷的優化是數學學習的本質。數學的研究總是謀求用統一的理論概括零碎的事實，這樣既便于簡化研究，又能洞察到事物或現象的本質。在這個“再認識”的過程中，個體超越各部分內容并從總體上開展進一步分析，特別是充分揭示各相關知識之間的聯系，進行更高層次的抽象概括，并形成知識結構。

綜上可見，“長時間思考”是一種更為理性而可控的、高層次的思維方式。而且，它具有超越數學學科的普遍意義，適用于任何學習與研究活動。

二、“長時間思考”的價值

對于學生而言，“長時間思考”的最大價值在于：學會數學地思維，通過數學學會思維，不斷提升思維品質。

（一）學會數學地思維

數學教學要引導學生通過觀察與實驗、比較與分類、分析與綜合、抽象與概括、歸納與演繹、類比與猜想等數學活動，發展數學思維能力，學會用數學的眼光觀察世界。“長時間思考”能夠有效地幫助學生深入理解數學知識，掌握數學技能，積累數學活動經驗，感悟數學思想與方法，學會數學地思維。

（二）通過數學學會思維

學會思維，不是指想得更快，而是要從自然狀態的思考走向愿意思考、善于思考。它具體表現為：（1）能認識并體驗數學思考的基本方法，如歸納、類比、猜想與論證等；（2）能根據已有的事實進行數學推測和解釋，養成“推理有據”“論述有理”的習慣；（3）能理解他人的思考方式和推理過程，并能與他人溝通；（4）能反思自己的思考過程，通過解決問題的活動，發展探索精神和創新意識。

（三）提升思維品質

“長時間思考”所具有的連貫性和條理性、嚴謹性和批判性、策略性和關聯性，實質上就能有效地促進思維品質的提升。雖然這一過程“不容易”，但通過潛移默化、日積月累，就會逐漸成為一種自覺的思維習慣和思維方式，學生的思維也將因此走向深入和深刻。

三、促進“長時間思考”的教學策略

促進學生“長時間思考”，要從“思考如何發生”“思考如何持續”“思考如何深入”和“思考如何延伸”這幾個方面入手，設計教學過程中的“思考點”，串接學生數學學習的“思考鏈”。

（一）強化問題設計

思考隨時都在發生，但只有真正的數學問題才能引發數學學習中的“長時間思考”。怎樣的數學問題才稱得上“真正的數學問題”？章建躍博士認為，“真正的數學問題”應該滿足一些基本條件，如反映數學本質，與重要的數學概念和性質相關，不糾纏于細枝末節，體現基礎知識的聯系性，解題方法自然、多樣，具有發展性，表述形式簡潔、流暢且好懂，等等。

例如，《角的初步認識》一課，教師設計了這樣的問題：如何畫出一個和已知角同樣大小的角？這個問題看似只是在引導學生開展動手操作，其實隱含著帶動學生“長時間思考”的“思考鏈”：學生首先要通過觀察形成已知角的大小的初步表象，然后要選擇手邊的一些工具（學具）將這個角的大小表示出來，接著要借用這種“表示”畫出一個大小相同的角，畫完后還要想辦法將自己畫出的角與已知角進行比對。在這樣的過程中，學生經歷了觀察、判斷、想象、比較和反思等活動，“看角—比角—畫角—再比角”的操作活動體現出嚴密的思維邏輯。

（二）夯實交流互動

1.適時而恰當的引導

教師的組織和引導是學生思考得以持續和深入的關鍵。“長時間思考”，就需要更多地關注“結果是怎么來的？”“是否還有其他方法？”“從這個結果出發還能聯想到什么？”這些問題。適時而恰當的引導下的交流互動，則是有效解決這些問題的“法寶”。

例如，教學“積的變化規律”，學生對于“一個乘數不變，另一個乘數乘幾，積也乘幾”這個猜想深信不疑——學生具備一定的運算經驗，因而對這一運算規律有著強烈的直覺判斷。這時，教師引導學生討論：這條規律真的成立嗎？你能用舉例或畫圖的方法驗證嗎？學生或舉出具體的計算的例子，或結合實際情境中的問題加以說明，或畫圖示意。這個“既知其然，也知其所以然”的交流過程，引導學生“反芻”思維過程：（1）強調全面的分析，如要求更多的實例、更多的理由，加強比較等；（2）更好地認識和處理特殊與一般之間的關系；（3）學會“客觀地研究”，從而切實避免主觀情感的影響。得出“積的變化規律”后，教師繼續引導學生討論：由這條規律，你還能想到什么？學生的思維空間再一次被打開，產生了更多的猜想：一個乘數不變，另一個乘數除以幾，積也除以幾；兩個乘數都乘上一個數，積就乘上它們乘的這兩個數；一個乘數乘幾，另一個乘數除以相同的數，積不變……

2.深度的對話

戴維·伯姆認為，思維這一現象從其根本上說，是集體性的而非個體性的。聚焦“長時間思考”的深度對話中，學生都能積極參與思考、傾聽、表達。

比如，《質數和合數》一課，教師請學生挑選3個自然數并寫出它們的所有因數，然后根據學生自主探索的結果，展開對話。教師提問：“自然數根據因數的多少可以分成幾類？”學生回答：“可以分成兩類，只有2個因數的是一類，有3個或3個以上因數的是一類?！苯處熥穯枺骸坝袥]有在這兩類以外的自然數呢？”學生思考后回答：“還有0和1這兩個自然數，0沒有因數，1只有1個因數?！苯處熡忠鲈掝}：“2、3、5、7等數，只有1和它本身兩個因數，像這樣的數叫作質數（或素數）；4、8、9、12、21、36等數，除了1和它本身還有別的因數，像這樣的數叫作合數。你們說，1是質數嗎？是合數嗎？為什么？”學生回答：“因為1只有一個因數，所以它既不是質數也不是合數。”另一位學生補充道：“我們討論因數和倍數時就沒有包含0這個自然數，所以0也既不是質數也不是合數。”教師再問：“現在再請你們回答剛才的問題——自然數根據因數的多少可以分成幾類，你們會怎樣回答呢？”學生回答：“分為四類——0不考慮；1只有1個因數，它既不是質數也不是合數；只有2個因數的是質數；有3個或3個以上因數的是合數。”

正所謂“理越辯越明”，古希臘哲學家蘇格拉底創立的“產婆術”，就是在他與學生對話的過程中，通過問答甚至辯論的方式來揭露學生認識中的矛盾，逐步引導學生自己得出正確答案。

（三）做好回顧反思

思維的發展不可能僅僅通過反復的實踐與經驗的簡單積累得以實現，而主要表現為由較低層次上升到更高的層次，這就是反思的價值所在?，F實中，很多學生往往樂于解題而疏于反思。促進學生“長時間思考”，就要引導學生針對所解決的問題本身、解決問題的過程、解決問題的結果進行反思：“解決的是什么問題？”“是如何解決問題的？”“是怎樣收集信息、處理信息的？”“為什么這樣加工信息？”“分析時是從哪里入手的？”“解決問題的思路為什么是這樣的？”……通過這樣的反思，將解決問題的方法提升為策略，進而更自覺地回望思維方法與過程、學習路徑與進程，從而有效地調控自己的學習，發展元認知。而在一個階段學習之后的反思，能讓看似零散的數學知識串聯起來，建立起知識之間的聯系，形成認知結構，使得學生能從更高的結構視角反觀所學知識，提綱挈領，全面把握。這樣，不僅有利于舊知的鞏固，也有利于新的認識的生發。

例如，《表面涂色的正方體》一課，教師這樣引導學生反思：“今天發現的規律和以前學過的知識有什么聯系？”“除了規律以外，這節課上你還有哪些收獲？”“表面涂色的正方體的問題解決了，你有沒有產生新問題呢？”第一個問題，將表面涂色的正方體的規律與學生已經學習的正方體的特征關聯，揭示現象背后的本質，實現單元學習內容的整體貫通。第二個問題，將學生的關注點從知識層面轉向方法層面，引導學生提煉、概括探索數學規律的一般方法，讓學生在探索規律的過程中學會探索規律。第三個問題，引導學生提出新問題，并由此感受到問題的解決會帶來新問題的產生。三次不同層次的反思引導，打通了學生的“任督二脈”，學生會在課后興致勃勃地運用所學知識和方法研究自己提出的“表面涂色的長方體”問題，進一步延伸“長時間思考”。

在思維中學會思維，比思維本身更具意義。布魯納曾指出：我們應當盡可能使學生牢固地掌握學科內容；我們還應當盡可能使學生成為自主而自動的思想家。這樣的學生，在正式學校教育結束之后，將會獨立地向前邁進。數學教學中，應當很好地處理學生思考的快與慢、多與少、熱鬧與安靜以及獨立思考與合作學習、積極交流之間的關系，努力引導學生“長時間思考”。

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（仲秋月，江蘇省蘇州工業園區東延路實驗學校，郵編：215021）