數學手賬：學生數學實踐的智慧表達

[摘? 要] “數學手賬”能有效地激發學生的數學思維，催生學生的數學想象，提升學生的數學學習力。“數學手賬”可以分為“學前手賬”“學中手賬”和“學后手賬”。“學前手賬”能記錄學生數學學習的問題，“學中手賬”能記錄學習的過程，“學后手賬”能記錄學習的感悟。作為教師，要根據數學知識內容的特質以及學生的具體學情，合理設計、研發“數學手賬”。借助“數學手賬”，讓學生成為愿學者、慧學者、善學者、智學者。

[關鍵詞] 數學手賬;實踐;智慧表達

所謂“數學手賬”，通俗地說就是學生記錄自己的問題、想法，反思自己的學習過程、結果的一種個性化的學習載體。在小學數學教學中，教師借助“數學手賬”，能有效地激發學生的數學思維，催生學生的數學想象，提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。從某種意義上說，學生的“數學手賬”是學生數學實踐的智慧表達，凝結著學生的數學生命實踐智慧。“數學手賬”能讓學生的數學學習有方向、有活力、有趣味。

一、學前手賬：記錄學習的問題

“數學手賬”從時間上可以分為“學前手賬”“學中手賬”和“學后手賬”。在數學教學中，教師要引導學生備學、預習，而“學前手賬”，則是記錄學生預習、備學中的感受、體驗、認識、認知的媒介，也是記錄預學、備學中所遭遇的問題、困惑、障礙、迷思的載體。可以這樣說，“學前手賬”是學生備學、先學、預學情況最為真實的表達，可以讓學生成為一個自主性學習者。

比如教學“比的認識”（蘇教版六年級上冊）這部分內容前，筆者讓學生先行預習。在預習的過程中，學生認識到“比”與“分數”和“除法”的關聯，認識到三者的相似性。同時，有學生在“學前手賬”上記錄下在預習中獲得的知識以及產生的問題，也有學生在“學前手賬”上寫下問題，諸如“比與除法、分數有什么聯系和區別？”“教材中的兩個例題的比有什么區別（同類量的比和不同類量的比）？”“數學中的比與生活中、比賽中的比是否相同？”“比的前項、后項是否可以為0？”在文字記錄之外，還有學生在“學前手賬”上繪制表格，將整個表格分為“比”“除法”“分數”三行，并分別從“意義”“聯系”“區別”“性質”等方面進行建構;也有學生在“學前手賬”上畫出了思維導圖，將比與分數、除法進行類比，進而從“商不變的規律”“分數的基本性質”類推出“比的基本性質”等。從實際情況來看，學生的“學前手賬”內容全面、主題突出，有效地展示了在預習中所獲得的知識、所經歷的思維歷程、所產生的探究困惑。這樣的“學前手賬”，讓學生的先學、預學、備學“痕跡化”，也讓學生內在的數學思維、思考“可視化”。

數學“學前手賬”能不斷提升學生的觀察力、思維力、探究力和創造力。教師應改變傳統的師本教學方式，轉而引導學生進行自主性學習。在這個過程中，教師要適度介入，對學生的備學過程進行引領。數學“學前手賬”讓學生的數學學習從經歷走向經驗，從認知走向感受和體驗。

二、學中手賬：記錄學習的過程

在數學教學中，教師不僅要致力于讓學生獲得新知識，更要讓學生獲得新的思維方式、探究路徑、解題策略等。對于關鍵性的數學知識，數學知識誕生過程中的關鍵節點，整體的知識結構以及在數學思考、探究中的真實過程，學生也有必要將之記錄在“數學手賬”中。“學中手賬”能有效地記錄學生的學習過程。總體而言，“學中手賬”不僅能體現學生數學思維的深度，而且能體現學生參與的廣度以及學生數學思考、探究的效度等。

“學中手賬”能讓學生的數學思維可視化，也能讓學生探究的過程痕跡化，還能讓學生問題解決的策略多樣化。教師的指導不應局限于數學知識的形成過程，還應注重數學知識所蘊含的數學思想方法等。比如在“圓的面積”（蘇教版五年級下冊）一課的學習過程中，有學生在“學中手賬”中記錄下了“圓轉化成長方形的過程”，并通過箭頭圖，將圓和長方形進行比較，從而演示了圓的面積公式的推導過程;有學生在“學中手賬”中將長方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形和圓形的面積集結在一起，形成了一個平面圖形面積公式的知識網，將平面圖形面積公式的學習流程、脈絡、邏輯關系等清晰地展示出來;有學生在“學中手賬”中，嘗試將圓轉化成三角形、梯形等平面圖形，從而找到了其他獨特的圓的面積推導過程，等等。從實際效果來看，“學中手賬”讓學生的數學學習有滋有味，它不僅拓寬了學生數學學習的廣度，而且拓展了學生數學學習的深度。對于學生的數學學習，“學中手賬”能發揮強本固基、拓展思維的作用。通過“學中手賬”，學生在數學學習中能舉一反三、觸類旁通，進而能有效地遷移數學知識，感悟數學思想方法，運用數學知識。

“學中手賬”讓學生的數學學習走向深入。在小學數學教學中，教師可以引導學生對數學“學中手賬”進行深度加工，進而讓“學中手賬”真正成為數學思維、數學探究、數學表達的良好載體。

三、學后手賬：記錄學習的感悟

很多學生，之所以學不好數學，究其根本是因為不善于反思。而“學后手賬”則主要用于學生在數學學習之后記錄自己的所思所得、所悟所感，反思數學學習過程——對數學學習經驗、得失進行總結。通過“學后手賬”，教師能更有效地培養學生“數學的眼光”和“數學的大腦”。

“學后手賬”中的反思不僅包括事實性的反思，而且包括價值性的反思。事實性的反思是對自我學習路徑、方法等的反思，比如“我做得對嗎”“我問得對嗎”“我想得對嗎”“我學到了什么”等;價值性反思是對自我學習的意義、價值等的反思，比如“我的方法是最優化的方法嗎”“我的探究路徑是最佳的嗎”等。比如教學“化簡比”（蘇教版六年級上冊）這部分內容，很多學生在學習中都運用了新知——“比的基本性質”。有部分學生在“學后手賬”中記錄了自己的反思，如一位學生這樣寫道，“我覺得用求比值的方法化簡比更加簡單，也不容易出錯”;另一位學生寫道，“我覺得可以將整數比寫成分數形式，這樣化簡比就相當于約分”;還有學生這樣寫道，“化簡比的方法應該是多樣的，既可以運用比的基本性質化簡比，也可以運用求比值的方法化簡比。在化簡比的過程中，應根據比的特點來運用各種方法”，等等。顯然，學生將方法、經驗等記錄在“學后手賬”中的這些行為，既是對自身學習經驗的提煉、總結，也是教師引導學生進行有效數學交流的體現。

“數學手賬”有呈現方式圖文并茂、主題類型豐富多元等特點，既能反映學生的數學學習困惑，又能體現學生的數學思維方式和學習經歷。就筆者看來，“數學手賬”不僅僅是一種數學學習工具，其本身就是學生數學學習的重要組成。“數學手賬”能激發學生的創造性思維，催生學生的數學創新性活動。

“數學手賬”是學生數學學習的一種新形式。作為小學數學教師，我們應當多嘗試、多思考、多探究，充實學生“數學手賬”的內容，豐富學生“數學手賬”的形式。在小學數學教學過程中，在自己設計、研發之外，教師也要根據數學知識內容的特點以及學生的具體學情，讓學生合理設計、研發“數學手賬”，并借助“數學手賬”，使其成為愿學者、慧學者、善學者、智學者。

作者簡介：施永輝（1977—），本科學歷，中小學一級教師，從事小學數學教學工作。