設計開放性問題，提升學生數學思維品質

劉玉華 呂延芳 薛兵

[摘要] 在課堂教學中設計具有不完備、不確定特征的開放性問題有助于提升學生的數學思維品質。以高三一輪復習課中的開放性問題教學為例，設計問題時要注意精心選擇，問題開放需有序、有度，教師評題要有高度;在課堂教學中讓學生編題，讓問題開放，讓教學更有趣、有效，有品、有味，讓學生更有思、有為，讓課堂有變、有新。

[關鍵詞] 高中數學;一輪復習;開放性問題

提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅僅是一個數學上或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看待舊的問題，卻需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步。由此，明確數學課程目標：“提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）。”[1]

在課堂教學中，老師出題學生做題，好像是教學的常態。學生習慣于刷題，但很少考慮題目是怎樣來的，題目為什么這樣做。為了培養學生的“四能”，筆者在課堂教學中探索讓學生編題、讓問題開放，這對于培養學生的問題意識起到了較好的作用。下面筆者就以在課堂教學中如何通過設計開放性問題，培養學生的數學思維，呈現策略思考。

一、學生編題讓教學更有趣、有效

一提到數學題，老師出題學生做題，老師講得天花亂墜，學生聽得昏昏欲睡，這種現象屢見不鮮。如何讓數學課堂煥發活力，真正激發火熱的思考，讓學生編題就是有效手段之一。

在高三一輪復習課“導數與函數的單調性”中，最初的教學設計是設置一道題目：（2020年全國卷Ⅰ理，21）已知函數f（x）=ex+x2-x，討論f（x）的單調性。

經過數學組的反復研討，教師們一致認為，若只是讓學生單純做這道題，學生不知道背后的來龍去脈，就會印象不深，也喪失了認識高考題來源的機會。高考中導數題目中的函數均源自基本初等函數，為了讓學生深入認識到這一點，學會提出問題，把題目修改如下：

[例題1]將下列基本初等函數通過適當的運算得到新的函數，再研究其單調性。

（1）y=x;（2）y=x2;（3）y=ex;（4）y=lnx;

（5）y=sinx

學生積極踴躍地編出來更多的題目。例如：

（1）f（x）=ex+sinx（x>0）

（2）f（x）=ex-x-2（2020年全國Ⅰ卷文，20）

（3）f（x）=ex+x2-x（2020年全國卷Ⅰ理，21）

（4）f（x）=lnx-x（2016年全國Ⅲ卷文，21）

（5）f（x）=lnx+x2+c

（6）

（7）

（8）

（9）（2018年全國Ⅰ卷理，21）

……

讓學生自己編題，學生必須自己去想從哪個角度編題，平時做過的題目有哪些類型，高考題是以怎樣的形式出現的，如何編出有新意的題目，進而激活深度思維。所以，讓學生編題是教學的有效途徑之一，它對培養學生的問題意識，進而學會學習頗有效用。

二、教師評題讓教學更有品、有味

學生編題有時是盲目無序的，很多情況下并不知道自己為什么這樣編題，只是跟著感覺走，目的性不強。所以，編完題后如何處理這些題目，這就要看教師的主導作用如何發揮了。如果教師只是簡單地就題論題，那會在很大程度上失去學生編題的意義。教師應該在學生思考的基礎上順勢而為、點撥升華，讓學生的思維上升到一個新的高度。

仍然以上面“導數與函數的單調性”一課為例，學生編出了30多道題目，教師引導學生，判斷函數單調性的關鍵是判斷其導函數符號的正負。根據判斷其導函數符號正負的方法，把這些題目分為以下三種類型。

類型一：導函數的正負可直接觀察確定

（1）f（x）=ex+sinx（x>0），

f '（x）=ex+cosx>0（x>0）

（2）f（x）=lnx+x2+c（x>0），

類型二：導函數f '（x）的符號可由基本初等函數單調性確定

（3）f（x）=ex-x-2（2020年全國Ⅰ卷文，20），

f '（x）=ex-1，容易看出：當x>0時，f '（x）>0;當x<0時，f '（x）<0。

（4）f（x）=lnx-x（2016年全國Ⅲ卷文，21），

，容易看出：當x>1時，f '（x）>

0;當0

（5）f（x）=ex+x2-x（2020年全國卷Ⅰ理，21），

f '（x）=ex+2x-1，可根據基本初等函數單調性觀察得出，也可以二次求導確定。

設g（x）=f '（x）=ex+2x-1，則g'（x）=ex+2>0，所以f '（x）=ex+2x-1在R上是增函數。又因為f '（0）=0，所以得：當x>0時，f '（x）>0;當x<0時，f '（x）<0。

通過以上分類梳理，讓學生得出判斷導函數符號正負的基本思路：

通過對學生所編題目的歸類梳理，教師啟發引導、分析點評，引領學生深度思考，在紛繁蕪雜的題目中追根溯源，總結出判斷導函數符號正負的基本步驟，滲透了程序化的思想，發展了學生的邏輯推理素養，讓教學變得更有品、有味。

三、問題開放讓學生更有思、有為

開啟學生的創造潛能，培養學生的創新意識，是當前數學教學改革的主旋律。開放性問題對學生具有挑戰性，能有效激發學生的好奇心和求知欲。因此，依據教學內容恰當地設計開放性問題是體現學科寬度，培養學生創新意識的重要途徑[2]。在高三一輪復習課“數列的概念”中，我們設計了這樣一道題目，有效激發了學生深度思考，建構了求數列通項公式的知識網絡。

[例題2]設數列{an}滿足a1=1，且an+1=an+ 。請補充完整條件，并求數列{an}的通項公式。

學生編出了許多題目，主要有以下幾種：

（1）a1=1，且an+1=an+1

（2）a1=1，且an+1=an+n

（3）a1=1，且an+1=an+2n

（4）a1=1，且

（5）a1=1，且

（6）a1=1，且an+1=2an

（7）a1=1，且an+1=2an+1

（8）a1=1，且an+1=2an+2n

學生在分析（1）（2）（3）（4）（5）題的過程中，會發現假如遞推公式an+1=an+ f（n），只要f（n）能求和，數列{an}的通項公式便可求。對于（6）（7）（8）題，an+1=an+an+ f（n），在（6）題中，f（n）=0，就是特殊的等比數列;（7）（8）題顯然用構造法，通過變形構造出特殊的等差、等比數列，進一步求通項公式，能夠認識到轉化與化歸思想的重要性。

還有的學生在以上題目的基礎上進一步思考，認為數列是對各項之間的關系進行研究，除了能對各項進行加減運算，還可以對各項進行乘除運算，又得到以下題目：

（9）（c為常數，且c≠0）

（10）an+1an=an+1-an

（11）an+1+an=c（c為常數）

（12）

（13）

……

在這個環節中學生持續地思考，不斷地嘗試，積極地探索，發現新的規律，得出新的結論，充分享受到了成功的喜悅，感覺到自己有思、有為。

四、問題開放讓課堂有變、有新

問題是探究之本、思維之源。高三一輪復習課不是新授課的簡單重復，不能一味追求高難度，基礎知識是數學解題的基石，同樣也是高考命題的依據。因此，從基礎知識入手，把封閉的問題變開放，為學生的思維生長搭建腳手架，會讓課堂發生意想不到的變化，讓創新思維在課堂中生根發芽。

如教學“數列的概念”一課，通過上面題2這樣一個看似簡單的題目，學生多角度思考，總結出求數列通項公式的常用方法：觀察法、公式法、累加法、累乘法、迭代法、構造法等。學生通過不斷探索求數列通項公式的規律和方法，領悟求通項公式的本質就是轉化與化歸，進一步體會數學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性、思維的系統性，達到“做一題，通一類，會一片”的學習效果，有效地提高了發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力。

數學教學需要不斷變化和創新，教師要善于采擷學生思維的創意，能夠站在思維的高度幫助學生解決數學問題，讓學生通過數學學習提高理解知識的思維能力和研究知識解決問題的能力。我們要明確，思維能力的培養才是提高數學成績的關鍵，教數學就是啟迪學生的思維。

五、問題開放需有序、有度

誠然，問題開放、學生編題能夠激發學生的學習興趣，強化對知識的鞏固和靈活運用，但問題開放并不是每一個問題都可以開放，而應該是精心選擇問題。例如，上面題2就是抓住“研究數列是通過數學運算揭示規律”這一本質特征進行設計。學生編題也不是胡編亂造，而是讓學生能從一個簡單的問題（最好選自教材原題）出發。例如上面題1，對基本初等函數進行不斷運算，得出新的函數，深入探究問題的本質。一般情況下，一輪復習要從教材上的定義、定理等基本知識出發設置開放性問題，培養學生思維的發散性、創新性和深刻性，建構知識網絡。

開放需有序。在問題開放、學生編題的初期，教師要從基礎題目出發，對學生如何編題、從哪些角度編題進行適當的指導。隨著學生編題能力的不斷增強，視野逐漸擴大，所編的問題就會多姿多彩，編寫的題目會具有靈活性、探究性、創新性等特性，學生也會對題目進行重新審視和反思，真正有效地體現學生編寫習題的價值[3]。

編題需有度。編題的過程是把解題引向深入的研究過程，是探究創新的過程。讓學生自主編題能促使學生把與問題相關的知識點、知識結構理解并掌握得更準、更全、更深、更透，從而達到融會貫通的境界[4]。并且，學生編題要注意根據學情控制難度和深度，適可而止，否則會事倍功半。

開放性的學生自主編題活動是一個循序漸進的過程，它的形式多種多樣，旨在實現學生興趣的提高、解題能力的提升、創新思維的發展。編題栽活知識樹，開放育好數學林，讓我們在這條道路上繼續努力探索。

[本文系山東省教育科學“十四五”規劃課題“高中數學‘一題一課’教學模式的實踐研究”（項目編號：2021zc285）和濱州市“學科育人工程”研究專項課題“如何實現高中數學育人價值的研究”（項目編號：BZXKYR-216）階段性研究成果]

[參考文獻]

[1]劉忠新.“開放性”問題的多角度設計[J].中學數學教學參考，2017（17）：57-60.

[2][3]陶然.學生編題 有效創新[J].上海中學數學，2014（11）：36-37.

[4]俞昕.例談學生自主編題探究活動[J].數學通報，2016，55（01）：31-33，37.

劉玉華? ?山東省濱州實驗中學，正高級教師。山東省特級教師，齊魯名師，山東省創新班主任，齊魯名師領航工作室主持人，山東省特級教師工作坊主持人。

呂延芳? ? 山東省濱州實驗中學。

薛 兵? ? 臨沂大學數學與統計學院。