高中數學建模:先理解,后實踐

張新艷

[摘 ?要] 在2017年版《普通高中數學課程標準》發布之后，數學建模更是凸顯出了其重要地位. 教師的主要任務就是理解數學建模的內在機制與功能，結合具體的教學內容去培養學生的數學建模能力，提升學生的數學建模素養. 對數學模型的認識一定要充分，要認識到高中數學教學內容當中有很多數學建模教學契機. 在高中數學教學中，數學建模的成功教學建立在正確的理解基礎上，只有了解了數學建模的內在機制及其基本環節，那么在具體的實踐過程中才能做到心中有數，才能在學生學習的每一個環節中給予恰到好處的引導.

[關鍵詞] 高中數學;數學建模;理解;實踐

相信每一個高中數學教師對數學建模的概念都不陌生，這很大程度上是因為數學建模幾乎伴隨著數學教學的始終. 而在2017年版《普通高中數學課程標準》發布之后，數學建模更是凸顯出了其重要地位，原因在于數學建模是數學學科核心素養六個要素之一，是“用數學語言描述事物”的關鍵. 正是因為數學建模有著如此重要的地位，所以才有不少教師以及數學教育研究者呼吁將數學建模的思想融入數學類主干課程[1]. 實際上，在日常教學中，尤其是在日常數學教學研究的視野里，數學建模原本就是一個常提的概念. 那么這是否意味著在日常教學中數學建模就落實得十分到位呢？答案恐怕并非如此. 首先從教學目的的角度來看，無論是教師還是學生，更多的時候仍然將注意力集中在解題能力上，而這一能力的養成又是通過刷題來實現的，數學建模顯然并不是此種教學的直接目的;其次是對數學建模的理解，更多的時候仍然停留在“建立數學模型”這一認識上，對于模型如何形成、應當經歷怎樣的過程才能促進模型建立等，實際上認識并不是十分清楚. 在這樣的背景下，要想落實數學建模會有著更大的挑戰.

應當說在當前評價體制下，培養學生的解題能力并應付高考是必然的選擇，但這并不影響數學建模素養的落地，如果教師能夠理解數學建模的內在機制與功能，那就可以在切實有效培養學生數學建模素養的同時，增強學生的解題與應試能力.

[?]高中數學教學中的數學建模理解

一般認為，數學模型運用于數學問題解決的過程，其中涉及數學的基本原理、數學思想方法、數學語言的運用. 這里所說的數學問題，不僅包括數學習題或者與數學相關的問題，也包括數學概念與數學規律的建立過程，因此數學模型的外延除了常說的模型外，數學概念與數學規律也被認為是一種模型. 當形成對數學模型的認識后，再來認識數學建模，通俗地說，數學建模是建立數學模型，但是更為核心的問題在于“應當經歷怎樣的過程才能建立一個數學模型？”從認知發展的角度來看，數學建模本身就是一個復雜的認知活動，需要學生思維的深度參與.

對于教師來說，理解數學建模的內在機制與外在表現，是實施數學建模教學的前提. 從外在表現來看，數學建模作為一種問題解決方式，是數學與現實世界之間溝通的橋梁. 可以肯定的一點是，當下數學課堂上的數學建模實際上已經被高度簡化，很難讓學生經歷一個完整的建模過程，學生在這樣的過程中不可能有效提高建模能力[2]. 要解決這個問題，只有將研究的視角轉向數學建模的內在機制，目前公認的觀點是：數學建模就是從實際問題出發，經過數學抽象與相應的簡化形成數學問題，進而建立數學模型，然后利用建立起的數學模型去解釋或解決實際問題. 如果成功，那么這樣的數學模型就是有效的;如果不成功，那么這樣的數學模型就需要修正——重新經歷上述過程.

由此可見，數學建模實際上與數學抽象以及邏輯推理是有關系的，在不同的知識點當中，還有可能涉及數學運算、數據分析以及直觀想象等. 因此，數學學科核心素養的六個要素中，數學建模才是綜合性最強的那個要素. 對建立數學模型的內在機制的理解，本質上要認識到數學建模的過程，是學生通過自己的思維與認知對實際問題進行抽象、運用數學邏輯進行推理，進而形成一個內在邏輯關系明確且能夠解決新的問題的過程.

認識到這一點后，在具體的數學建模過程中，教師就應當努力引導學生將數學思維與實際問題聯系起來，去除非數學因素，留下數學因素，然后尋找其邏輯關系，進而形成數學模型.

[?]高中數學教學中的數學建模實踐

有了如上的理解，教師的主要任務就是結合具體的教學內容去培養學生的數學建模能力，學生形成數學建模素養. 特別需要再次強調的是，對數學模型的認識一定要充分，要認識到高中數學教學內容當中有很多數學建模教學契機. 著名數學教育家張奠宙先生曾經指出，“就許多數學內容來說，本身就是一種數學模型……在這個意義上，我們每堂課都在建立數學模型”. 教師在研究探索數學建模教學的過程中，要以具體的課例研究為載體，從學生的角度去思考，幫助學生建構數學模型和應用數學模型[3].

例如，函數作為高中數學知識體系中最為重要的概念之一，本身就是一個數學模型. 學生在此前數學學習中形成的函數認識，是一種相對膚淺模糊的認識，在高中數學教學中，教師的主要任務就是在學生已有認識的基礎上，建立起函數模型. 根據上述對數學建模內在機制的理解，在函數概念這一教學過程中，可以設計以下幾個環節：

環節1：利用現實問題創設情境，引導學生進行數學抽象.

這里的現實問題主要是指題材來自現實、內在邏輯指向數學的問題. 比如：某電器維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天. 如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資呢？

對于這樣的一個實際問題，學生應當通過數學抽象，去除情境中的生活元素，留下數學元素，于是每周工資數額、每天工資數額以及工作天數，就是剩下來的三個數學量.

環節2：基于數學抽象的結果，通過問題變式，借助分析與歸納，概括出函數模型.

在上述問題情境中，數學抽象后三個數學量之間的邏輯關系已經比較清晰了. 實際上，學生借助最基本的數學關系就可以建立起等量關系，即y=350x（y為每周工資數額，x為工作天數）. 在這里有一點必須明確，那就是x的定義域，具體可以表示為A={1，2，3，4，5，6}. 有了這樣的推理后，自然也就可以得出y的值域，即B={350，700，1050，1400，1750，2100}.

其后，可以通過其他素材繼續創設情境，讓學生通過數學抽象和邏輯推理得出類似的結果. 通過分析與歸納，就可以概括出函數的基本內涵. 此時的教學還有一個重要環節，那就是學生最初的認識是用自己的語言來描述的，而最終的函數是要用數學語言來描述的，從前者到后者有一個過渡，需要教師做好引導. 這個過程同人都比較熟悉，此處只強調一點就是對定義域、值域及對應關系這三個要素的理解. 如果學生能夠結合此前提出的實例去理解這三個關鍵要素，那么函數概念也就會建立起來.

環節3：運用數學模型去解決問題.

這個環節的主要任務是讓學生結合對函數的認識，判斷一些新的素材當中所表現出來的是不是函數關系. 相對前面創設的情境，此時提供給學生的應當既有正例也有反例，這樣有助于學生從正反兩個角度強化對函數概念的認識，從而讓函數模型更加牢固.

[?]高中數學教學中的數學建模反思

在上述函數概念教學的過程中，學生所經歷的學習過程有兩個理解：一是知識層面的理解，學生獲得的是對函數概念及定義的記憶;二是模型層面的理解，學生通過對生活實例的抽象，借助邏輯建立等量關系，發現這一關系可以描述生活中的多種情形，于是得出函數概念，自然也就建立起了函數模型. 在解決新問題的過程中可以檢視這一模型，學生發現生活中的復雜關系，既有可以用函數來描述的，也有不能用函數來描述的，而這實際上就是基于定義域、值域以及對應關系三個要素強化學生理解函數概念的過程，從而讓學生形成的函數模型更加牢固.

進一步反思上述分析尤其是實踐過程，發現在高中數學教學中，數學建模的成功教學一定建立在正確的理解基礎上，只有理解了數學建模的內在機制及基本環節，那么在具體的實踐過程中才能做到心中有數，才能在學生學習的每一個環節中給予恰到好處的引導. 這種引導不僅可以讓學生學習數學知識的過程變得更加簡潔，也可以讓數學建模的過程變得更加高效.

有人說，數學教育本質上是一種素質教育，數學建模的教學是實施素質教育的有效途徑[4]. 如此理解數學建模的意義，就意味著教師更要重視對數學建模的理解與實踐.

參考文獻：

[1] ?李大潛. 將數學建模思想融入數學類主干課程[J]. 中國大學教學，2006（01）：9-11.

[2] ?朱雨姝. 使用費米問題來引入數學建模[J]. 中學數學雜志（高中版），2020（03）：3-7.

[3] ?何瑞林. 數形結合培養學生數學建模能力[J]. 江西教育，2020（14）：36-37.

[4] ?李大潛. 數學建模與素質教育[J]. 中國大學教學，2002（10）：41-43.