課堂探究“應然而生”思維發(fā)展“自然而然”

李桃 沈玲丹

［摘? 要］ 文章以“兩角差的余弦公式”教學為例，嘗試從知識聯(lián)系性及方法統(tǒng)一性出發(fā)，從數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展的合理性、學生思維過程的合理性兩個角度構(gòu)建學習過程，以問題引導學習，探索發(fā)展學生核心素養(yǎng)的路徑.

［關鍵詞］ 課堂探究；思維發(fā)展；余弦公式

著名的數(shù)學教育家斯托利亞指出：“數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學，而不僅是數(shù)學活動的結(jié)果——數(shù)學知識的教學.”因此，教師應注重在理解領會教材知識結(jié)構(gòu)的基礎上整合教材，遵循知識發(fā)生發(fā)展的過程及學生的認知水平、思維規(guī)律，設計系列教學活動，引導學生參與學習過程，習得知識的同時發(fā)展數(shù)學思維. 基于以上認識，筆者分析人教A版新教材（2019年版）“兩角差的余弦公式”教學內(nèi)容后進行了教學重構(gòu)和實踐.

[?]教學內(nèi)容分析

由于和角、差角、倍角的三角函數(shù)之間存在著緊密的內(nèi)在聯(lián)系，人教A版新教材必修第一冊（后面簡稱“新教材”）“5.5 三角恒等變換”一節(jié)內(nèi)容的編排順序為C→C→S→T→C，S，T［1］. 以兩角差的余弦公式為基礎，推導其他和（差）角公式，以和角公式推導倍角公式，一系列三角恒等變換公式形成了命題系［2］. 另外，兩角和（差）公式是誘導公式的上位知識. 因此，教學兩角差的余弦公式作為本節(jié)內(nèi)容的起始課，具有承上啟下的重要地位.

新教材為突出編寫的整體立意，力圖體現(xiàn)圓的對稱性與三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，選擇利用旋轉(zhuǎn)對稱性證明兩角差的余弦公式. 這樣證明的好處是不需要利用圖形本身的直觀性質(zhì)，即證明過程不受圖形大小、位置變化的限制. 實則，旋轉(zhuǎn)對稱僅作為閱讀材料，在人教版教材九年級上冊的“閱讀與思考”板塊出現(xiàn)過，學生并沒有積累運用該性質(zhì)解決問題的經(jīng)驗. 顯然，新教材上“連接AP，AP”，以及“把扇形OAP繞著點O旋轉(zhuǎn)β角”，這兩步操作都不是學生自主思考容易獲得的. 如此探究公式，不僅不利于學生理解公式中角的任意性，還扼殺了學生的自主思維. 教師應該從學生實際出發(fā)，精心設計教學活動，讓課堂探究“應然而生”.

[?]教學重構(gòu)

1. 教學新設計

基于知識的上下位關系及方法統(tǒng)一性來設計本節(jié)課. 誘導公式與兩角和（差）公式是特殊與一般的關系，學習本節(jié)課屬于上位知識的學習. 那么，一方面，教師可引導學生以誘導公式的探究經(jīng)驗來探究兩角差的余弦公式. 借助終邊與單位圓的交點坐標表示三角函數(shù)值，由“數(shù)”到“形”；學生自主探究圖形變化過程中的不變關系，將不變關系代數(shù)化，由“形”到“數(shù)”，得到公式. 進一步滲透數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學生的直觀想象素養(yǎng). 另一方面，教師有必要引導學生關注兩角差的余弦公式在探究過程中發(fā)現(xiàn)的不變關系在誘導公式推導中也成立，進一步讓學生感受數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系及方法統(tǒng)一性.

2. 教學過程

（1）創(chuàng)設情境，提出問題

問題1：已知α為任意角，請化簡以下式子.

①cos（α-π）=__________；

②cos

α-

=__________.

③cos

α-

=__________；

④cos

α-

=___________.

學生利用誘導公式能夠化簡①②兩個式子，對于③④兩個式子有著多種不確定的猜測. 教師引導學生認識：①運用誘導公式有特殊限制，有必要去探索任意兩角差公式. ②誘導公式是任意兩角差公式的一類特殊情況. 教師再提出本節(jié)課的中心問題：對于任意角α，β，cos（α-β）與α，β的三角函數(shù)值有什么聯(lián)系？

（2）重溫經(jīng)驗，搭建探究支點

問題2：請同學們回顧一下，我們是如何推導誘導公式的？

在學生回答的基礎上，引導學生理解：借助單位圓的對稱性，利用定義推導誘導公式（α-π的三角函數(shù)值），其含有三個步驟：第一步，作圖，以形助數(shù)，即將任意角α的終邊旋轉(zhuǎn)作出角α-π的終邊，用終邊與單位圓的交點坐標表示角α，α-π的三角函數(shù)值；第二步，直觀分析圖中與兩角終邊相關的不變關系，并用信息技術手段進行驗證；第三步，將幾何性質(zhì)代數(shù)化，以數(shù)釋形，即利用點的對稱性建立等量關系.

通過重溫誘導公式的推導步驟，類比得到探索兩角差余弦公式的可能思路.（教師作圖，并將步驟板書，便于學生進行類比學習）

（3）任務驅(qū)動，自主探究

任務1：記單位圓與x軸的正半軸相交于點A（1，0），請同學們以x軸非負半軸為始邊任意作角α，β（先考慮兩個角的終邊不重合的情形，即α≠β+2kπ，k∈Z），記它們的終邊與單位圓的交點分別為P，P，并作出相對應的角α-β的終邊，記其終邊與單位圓的交點為P.

即使學生忽視了角β終邊的意義，也能夠正確作出角α-β的終邊. 教師要在此處指出內(nèi)在邏輯：β的終邊相同，卻表示無數(shù)個角，β=2kπ+β，k∈Z，β∈［0，2π）.由α-β=α-β-2kπ，k∈Z，知角α-β的終邊與角α-β的終邊相同，因此只需要將角α的終邊順時針旋轉(zhuǎn)角β就可以得到角α-β的終邊.

任務2：結(jié)合圖2中的3個角（角α，β，α-β）的始邊、終邊，請同學們找一找有哪些不變的等量關系.

生1：根據(jù)剛才的旋轉(zhuǎn)過程，可以知道圓心角∠POP=∠POA.

生2：沿著生1的思路，還可以發(fā)現(xiàn)圓心角∠POP=∠POA.

生3：根據(jù)圓的性質(zhì)，圓心角相等就有對應的弦長相等和弧長相等.

在學生回答的基礎上，引導學生認識：圓中的等量關系的核心要素是圓心角相等.

追問1：對于任意角α，β，以上的等量關系（等角）是否始終成立？

活動1：學生在各自作圖中進行驗證.

活動2：教師引導學生去驗證當β=π時的特殊情形是否也是成立的.

學生經(jīng)過驗證發(fā)現(xiàn)β=π也是成立的，教師引導學生理解：由于π終邊的位置特殊，此時的等角關系也反映出了對稱性.誘導公式的推導正是抓住了一般性中的特殊性來刻畫三角函數(shù)值的聯(lián)系.

活動3：教師借助信息技術驗證“改變α，β的終邊，等角關系依然成立”.

追問2：請同學們思考，如何利用等量關系建立三角函數(shù)值的聯(lián)系？

生4：將三角函數(shù)值聯(lián)系起來，關聯(lián)角的終邊與單位圓的交點，我們可以利用弦長相等或弧長相等建立聯(lián)系.

生5：生4說得有道理，但是弧長的計算還是與圓心角相關，所以應該用弦長相等建立聯(lián)系.

生6：但是弦長不會求呀.

任務3：已知弦長的計算公式，請同學們將以上分析的兩組弦長的相等關系代數(shù)化.

學生展示運算的兩種結(jié)果：

生7：根據(jù)PP=PA，由弦長計算公式整理得cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ.

生8：根據(jù)PP=PA，由弦長計算公式整理得cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=cosβ.

由教師整理第二個等式，讓學生感受不同視角下的不變關系揭示出的是一致關系. 令α-β=γ，那么第二個等式等價于cos（α-γ）=cosαcosγ+sinαsinγ.

追問3：剛才，我們考慮的是兩個任意角的終邊不重合的情形，那么當兩個任意角的終邊重合，即α=β+2kπ，k∈Z，請問等式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ依然成立嗎？

學生利用誘導公式以及同角三角函數(shù)關系式，能夠證明等式依然成立.

（4）公式鞏固

教師采用直觀化策略幫助學生認識公式：①強調(diào)α，β的任意性，例如將公式形象地書寫為cos（Δ-□）=cosΔcos□+sinΔsin□（Δ，□表示角的數(shù)或式）. ②對公式的結(jié)構(gòu)形式進行分析.

（5）公式應用

題1：利用公式C證明①cos

-α

=sinα；②cos（π-α）=-cosα .

題2：利用公式C求值或化簡①cos15°；②cos72°cos42°+sin72°sin42°；③cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ.

題3：已知sinα=，α∈

，π

，cosβ= -，β是第三象限角，求cos（α-β）的值.

題1直接應用公式C，以證明的方式讓學生進一步明晰誘導公式與公式C之間的聯(lián)系，幫助學生在認知結(jié)構(gòu)中形成命題系，有助于知識的貯存和提取. 題2和題3一方面是公式C的簡單應用，使學生掌握公式C的結(jié)構(gòu)形式及功能；另一方面是訓練學生有序的思維習慣，發(fā)展學生的數(shù)學運算素養(yǎng).

（6）歸納小結(jié)

①反芻探究路徑及蘊含的思想方法；

②深化對公式的認識.

（7）作業(yè)設計

教材課后練習第1題、第4題、第5題.

[?]教學思考

1. 整合教材，讓知識自然生成

教材僅是教學的資源，教師應該立足新課標和新課程理念，站在學科核心素養(yǎng)的角度，合理整合教材，從教學的實際出發(fā)，精心設計教學活動，優(yōu)化知識的生成過程，凸顯思維活動的完整過程，使學生真正理解數(shù)學知識和方法的產(chǎn)生過程，由此不斷深化思維，提升數(shù)學素養(yǎng).

2. 問題引領思考，促進學生思維提升

“學起于思，思源于疑”. 問題是課堂教學過程的靈魂，問題是數(shù)學的心臟. 有意義的教學活動是把知識設計成針對學生思維最近發(fā)展區(qū)而提出的問題，讓思維從問題開始，思維活動又形成新問題，這種遞進式的問題能引領學生思考，讓學生在解決問題時領悟知識、發(fā)展能力、學會學習.

總之，教師實施課堂教學的精髓在于站在學生終身發(fā)展的角度去思考如何理解數(shù)學知識、理解學生，如何設計數(shù)學活動，如何幫助學生獲得知識與技能，如何發(fā)展學生的數(shù)學能力，進一步落實學科核心素養(yǎng)，實現(xiàn)育人價值.

參考文獻：

［1］? 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心. 普通高中教科書教師教學用書（數(shù)學必修第一冊）［T］. 北京：人民教育出版社，2019.

［2］? 喻平. 數(shù)學教學心理學［M］. 北京：北京師范大學出版社，2018.