基于建模教學的課程設計與思考

朱維珺

[摘? 要] 新課標賦予了數學建模與模型思想明確的含義，它是數學核心素養的重要組成部分之一. 建模是實踐的產物，它能幫助學生快速解決實際問題，提高解題效率. 文章以“實際問題與一元二次方程”的教學為例，著重從課程分析、教學設計與教學反思三方面談一些看法.

[關鍵詞] 建模;一元二次方程;教學反思

初中數學中，有不少內容涉及數學模型類問題，有些教師對于模型的形成過程常一帶而過或干脆忽略，出現“重目標，輕過程”的教學現象[1]. 殊不知，謀求在數學學科上的發展，應經歷一個礪沙成珠的過程，各項能力與素養的培養都需要經歷長久、點滴的滲透.

數學模型帶給我們的不僅是解題步驟與程序，還具有啟發思維的重要作用. 數學教學要實現知識與技能目標，更重要的是培養學生的數學思維，讓學生能自主地用數學的眼光看待身邊的一切事物，從而形成高階思維與良好品質，為核心素養的產生奠定基礎.

基于這個角度，我們應將數學模型作為一種重要的教學資源，啟發并引導學生感知模型的建構過程，在教學中不斷地滲透模型思想，讓學生學會用數學語言模擬現實問題，讓模型思想成為解決與研究數學問題的一種演繹思想.

提煉、內化數學模型思想必然要經歷一個建模過程，這就需要教師精心設計鮮活且具有借鑒意義的案例來展示建模過程，這對提升課程價值和落實核心素養具有重大意義. 為此，本文以“實際問題與一元二次方程”的教學過程為例，具體談談數學建模教學在課堂中的實施過程與思考.

課程分析

在我們的生活實際中，通過存在的數量關系可將某些問題抽象成數學中常用的“一元二次方程”來解決. 本節課的教學核心是將源自生活的問題與數學中的“增長率”相結合，在分析中建構數學模型. 本節課的主要教學流程為引導學生感知生活情境，分析其中存在的一些數據，并親身經歷建模活動過程（情境—建構—驗證—應用）. 學生可在此過程中深刻體驗數學與生活的關系，有效地發展自身的應用意識.

教學設計

1. 創設情境（引發思考）

課堂導入環節，用豐富的情境，不僅能快速吸引學生的注意力，讓學生將目光集中到課堂中，還能有效地激發學生的探究興趣. 本節課，筆者選擇以播放視頻的方式來引發學生的探究欲，并快速切入教學主題.

播放視頻：病毒復制百萬大軍

一位學生因感冒打了一個噴嚏，流感病毒隨著飛沫進入空氣中，其他人吸入帶有病毒的飛沫. 剛開始僅僅是一個病毒侵入人體細胞，但這個病毒很快就進行了大量復制，最終產生了數百萬個病毒.

思考：（1）一個流感病毒經復制后，形成多少個病毒？

（2）求流感病毒在體外的傳播速度.

設計意圖? 數學本就由生活實際事物抽象而來，以流感病毒這個常見的生活問題來創設情境，貼合學生的認知經驗，容易吸引學生的注意力，同時也讓學生充分認識到病毒侵入人體的途徑、方法與復制情況，為提高生活知識儲備量奠定基礎. 通過視頻展示數百萬個病毒的復制過程，讓學生直觀形象地感知生活與數學的關系，從而燃起對問題的探究欲望.

2. 問題探究（建構模型1）

探究1：若某人患了流感，兩輪后合計感染了121人，求每輪傳染過程中，平均每人傳染了幾人.

問題1：此問中涉及哪些已知量與未知量？

追問：填寫表1，思考在這兩輪的病毒傳染過程中，數量具有怎樣的變化規律.

在學生完成表1后，引導學生對相關數據進行思考分析，并填寫表2. 第一次建模則在表格的分析與完善中完成.

問題2：觀察以上探究過程，思考傳染源、患者和被感染人群之間具有怎樣的等量關系.

結論：患者=傳染源+被感染人數;第二輪患者人數為（1+x）2.

設計意圖? 當遇到認知之外的問題情境，且涉及多個數量時，引導學生用圖表的形式進行數據的整理與分析，這對抽象出數據之間的關系具有直接促進作用. 而表格中的數據也能幫助學生感知從具體到一般的數學思想.

問題3：若病毒以這種速度繼續傳播，三輪后會有多少患者？

問題4：若每輪每個傳染源都傳染給了x人，那么當傳染源為1，2，3，…，a時，第3，4，5，…，n輪時的患病人數是多少（完成表3）？

[傳染源 第一輪患病總人數 第二輪患病總人數 第三輪患病總人數 第四輪患病總人數 第n輪患病總人數 1 2 3 … a ][表3]

總結：在第n輪時，被感染的總人數為a（1+x）n，a代表初始傳染源數量，x代表每輪每人傳播幾人，n為輪數.

設計意圖? 學生對問題的分析與解決能力，應從教材走向寬泛的生活中. 當學生經初步探究后，筆者又帶領學生思考與之相關的衍生問題，啟發學生分析、探究第3，4，5，…，n輪被傳染的總人數.

分析過程運用到不完全歸納法和分析法等方法，讓學生學會分別從n，a的變化維度去推理問題. 這讓學生對該探究活動產生了更為深刻的認識，在積累探究經驗的同時獲得良好的數學思想方法，為后期的“數到式”“特殊到一般”的提煉奠定了基礎.

3. 目標檢測（模型1的應用）

問題1：若某種病毒在復制過程中，在確保自身穩定的前提下，每半小時能繁衍出許多新的病毒. 若第一個病毒經過一小時的復制，變成了1024個同樣的病毒，假設每個病毒每半小時的復制數量是x，由此可列出怎樣的方程？

問題2：已知剛開始有3人確定被流感病毒感染，經過兩輪傳染后，發現一共有363人被流感病毒感染，假設每一輪傳染過程中，平均每人傳播給了x人，由此可列出怎樣的方程？

問題3：廣場舞領舞自編了一套舞蹈，在第一次課上，她教會了幾個同伴;第二次課上，已經學會的阿姨與領舞又教會了其他阿姨，每人都教會了相同數量的阿姨，最后一共有36人學會了這套新動作，若第1次和第2次每人教會的人數均為x，則可列出怎樣的方程？

設計意圖? 準確地找出問題間的數量關系，是建模的核心思想. 此傳染病問題主要涉及傳染源、傳播輪數和傳播速度等量，學生在探究過程中自主建立了等量關系（即方程），使其進一步熟悉方程模型.

4. 問題探究（建構模型2）

探究2：王老師在排練體操時，第一節課教會了幾名學生，第二節課由會做的同學教其他學生，每個會做的學生都教會了同等數量的學生，算上王老師當前共有31人學會了這套體操，求每次教會了多少名學生.

問題1：探究2中存在哪些等量關系？

問題2：本探究問題與以上目標檢測的第三題有什么區別嗎？其本質是什么？

設計意圖? 探究2所蘊含的數量關系和探究1中的數量關系特別容易混淆，如此設計的目的就是引導學生學會觀察，主要是從類似的情境中，類比出傳染源在第二輪過程中有沒有參加傳播的關鍵點，由此會反映出不同的數量關系. 對于探究2，學生只有在正確審題后才能獲得準確的數量關系，以此培養自身規范、嚴謹的審題能力.

5. 目標檢測（模型2的應用）

問題1：若一種樹木的主干能長出一定數量的枝干，而長成的每根枝干又可以長出相同數量的分支，已知主干、枝干、分支的總量為91，求每根枝干所長出的分支數量.

問題2：若某種病毒具有較快的傳播速度，若一個人被感染，兩輪傳播后則有81人被感染. 結合本節課所學內容，分析每輪傳播每個人會傳給幾個人？若控制不力，經三輪傳播后，被感染的人數會不會大于700？

設計意圖? 這兩道檢測題主要是為了讓學生辨析兩個模型的區別，并學會應用所學模型來解決生活實際問題.

學生經獨立思考與合作探究后，進一步熟悉了如何應用“一元二次方程”來解決生活實際問題，并逐步形成規范的解題格式和步驟，為解題能力的形成與發展奠定基礎.

6. 課堂小結

引導學生再次回顧本堂課所研究的兩個傳播問題，通過總結、提煉，尋找出知識與知識間的聯系和區別. 經總結，學生對于病毒傳播問題，提煉出兩個式子：①a（1+x）2，a（1+x）n;②1+x+x2，1+x+x2+…+xn. 在此基礎上，筆者要求學生思考以下幾個問題.

問題1：選擇用一元二次方程來解決生活實際問題時，需經歷哪些過程？與用一元一次方程來解決問題有哪些異同點，有哪些地方值得注意？

問題2：通過以上探究活動的踐行，大家對此類傳播類問題中存在的數量關系有沒有新的感悟與體驗？

問題3：若我們自己在生活中，不小心得了某種具有傳染性的疾病，該采取怎樣的措施？

設計意圖? 正確的方法是解決問題的基本依托，這幾個問題的設計，主要是為了引導學生對本節課的探究活動進行一個回顧、總結. 最后一個問題的提出是引導學生將目光從解決數學問題轉移到處理生活問題，為提高學生的生活能力夯實基礎，這也是塑造人格品質與世界觀的過程.

教學反思

1. 科學選材，激發興趣

創設豐富的教學情境是如今廣大教育工作者信手拈來的課堂導入手法之一，而情境選擇卻對課堂的成敗有著直接影響. 本節課以流感病毒傳播作為情境的素材，與如今“新冠病毒”的存在相呼應. 雖然這是兩種病毒，但它們之間有著較高的相似性，以此作為情境素材，更契合當下的社會熱門問題，能引發學生心靈的共鳴.

一般在情境選材時，我們可從以下幾個角度加以思考：（1）源自教材. 教材是教學的根本，教材中的每個問題都是編者經過精心挑選與慎重思考過的，更具代表性與嚴謹性. （2）貼近生活. 數學與生活一直有著密不可分的聯系，從生活中選取情境素材，更容易激發學生的探索欲，讓學生產生積極的情感傾向. （3）趣味性、層次性、探究性. 結合學生的認知發展規律，逐層遞進、趣味十足且充滿探究性的情境素材，往往能起到事半功倍的引導效果.

2. 問題引領，引發探究

建模是初中數學教學的重要環節之一，也是學生用來解決實際問題的核心手段. 感知模型的形成過程，能夯實學生的思維基礎，幫助學生熟練應用模型，實現知識與生活實際應用的有機融合[2]. 本節課，教師結合學生的認知結構與教學內容的實際特征，引導學生全程參與、分析、體驗、歸納建模過程，使得學生的思維得以螺旋式上升. 同時，以問題驅動的預設方式，使得學生在獨立思考、合作交流等環節，一直保持著積極的情感狀態.

筆者在本節課的實踐中，充分體會到預設對動態生成的直接影響. 學生是課堂的主體，因此，教學任務的探究主體為學生，學生通過對問題的思考、分析自主建模，在問題的驅動下應用相應的模型. 這讓學生深刻感知了模型的建立與應用都是在問題的引領下而形成的能力.

3. 抓關鍵點，自主建模

課堂教學過程中，在探究傳染源為2人，第二輪的被傳染人的總數量時，呈現出了一個建模的關鍵點：部分學生仍然以常規思維列式為：被感染總人數=傳染源+被傳染人數，由該式來分析第二輪的患病總人數;同時也有個別學生認為，當首個傳染源為1人時，那么第二輪被感染的人數應為（1+x）2，由此將2個傳染源分解為“1+1”的形式，獲得傳染源為2人時第二輪的被感染者數量為2（1+x）2. 這是一種縱向思考，與常規思維方式有所差別，這種分析方式對傳染源為3，4，…，a人，經過第3，4，…，n輪的傳播后被感染者的數量的獲得，具有推波助瀾的作用. 教師在引導學生建模過程中，應留有充足的時空給學生思考、表達，讓學生的思維隨著思考的深入而綻放光彩.

4. 善于小結，總結提煉

不論多么精心的設計，多么優秀的教師，都很難在課堂中面面俱到，也不可能將每個知識點都剖析給學生. 小結，不僅是對課堂整體的回顧，還能發現教學中的不足，引發更多的思考與拓展. 同時，小結還具有承上啟下的功效，它可將知識的上下內容聯系起來，讓學生對知識做到脈絡清晰. 本節課的教學核心是幫助學生建模，在小結時可針對建模過程與模型的應用多加思考，主要內容為：（1）建模過程中，應緊扣的關鍵詞是什么？（2）主要數量關系是什么？

總之，在新課改日益深化的當下，初中數學建模雖不是一種常態化的教學內容，但它確確實實改進了教學效果，讓學生的思維變得更加靈活，課堂變得更有生命力. 我們應注重數學模型的研究與推廣，讓廣大師生積極參與到建模的研究中來，使得課堂更具生命力與活力.

參考文獻：

[1]孫翔宇. 上海市高中生數學建模能力的調查與分析[J]. 教育測量與評價，2016（06）：44-49.

[2]徐斌艷，LUDWIG Matthias. 中學生數學建模能力水平的實驗分析[J]. 中學數學月刊，2007（11）：1-2+30.