高中生數學建模素養培養策略

摘 要：數學建模能夠直觀體現數學知識的本質規律，將抽象概念與具體現象聯系起來，作為核心素養的組成部分，數學建模素養對于學生的思維和能力發展具有不容忽視的作用.數學建模是一個漫長的過程，需要學生能夠運用數學思想與方法從具體的現象中發現數學的主要規律，忽略次要因素的影響，體現出數學與生活的聯系.所以筆者從日常數學教學課和數學建模課分別對培養策略進行研究討論.

關鍵詞：高中數學;核心素養;數學建模

中圖分類號：G632?? 文獻標識碼：A?? 文章編號：1008-0333（2022）27-0029-03

1 數學建模素養認知

數學建模是將現實世界的具體現象運用數學思想進行分析、概括，探索其中蘊含的共性和本質規律，它既是推動社會也是推動數學自身發展的動力.在核心素養的背景下，數學建模受到教師和學生的重視，是核心素養不可或缺的內容之一，可見其在高中階段的重要性.結合數學建模的全過程，不難看到，數學建模具有豐富的內涵與外延，能夠體現數學與現實的聯系，與其它素養渾然天成.數學問題的提出和發現需要數學抽象、直觀想象能力，在分析問題和建立模型的關鍵環節需要邏輯推理能力，在參數確定和實際運算時運算能力就顯示出其特有的價值，在檢驗結果和解決問題的最后步驟需要數據分析能力.培養數學建模素養不僅能夠簡化紛繁復雜的數學知識，也有利于培養創新意識.

2 數學建模素養培養重要性

數學建模在其產生和發展過程中，一直與實際生活密切相連，數學建模連接數學抽象與現實生活，能夠便捷、高效的構建模型解決生活中的實際問題.生活中我們可以看到各類數學模型在各個學科領域百花齊放，例如，微生物種群的增長曲線模型，醫藥學中的疾病靶向模型，經濟學投資最優組合模型，社會學中人口增長與拐點模型等等.數學建模不僅能夠幫助學生學習數學知識，而且能夠聯系社會，體現數學知識的價值，培養學生能力和素養.數學建模過程給學生創造獨立猜想、驗證和實踐的機會，提升了學生的數學能力與水平.

3 數學建模素養培養策略

3.1 常規課中數學建模素養培養策略

3.1.1 將問題情境化

數學建模能夠體現數學知識和規律，反映數學模型各個因素之間的相互關系和作用，對現實生活中的具體問題或現象進行抽象處理是建模的首要任務.筆者認為在數學教學中，將問題情境化，讓學生建立數學與實際的聯系，不僅能提高學生的抽象能力，還可以增強學生對數學建模的感知能力.

例1 新授課：函數y=Asin（ωx+φ）.

函數y=Asin（ωx+φ）是描述周期現象的數學模型，在實際生活中應用十分廣泛.對于本節課的教學方案一：研究函數圖像與性質，然后應用解決實際問題.方案二：用新媒體技術對存在于中國古代很長時間的簡車從河道中取水進行灌溉的過程有效展示，并進行相關介紹，創設情境.然后對簡車灌溉的各個因素進行分析和設定：河中的水流速度是一個定值、簡車灌溉主要依靠水流推動簡桶將水從低處運輸到高處，因此，簡桶在恒定水流的推動下做圓周運動，在此基礎上進行各項數學關系梳理.隨著時間t，簡桶離開水面的相對高度H如何變化，是否二者具有一定的函數關系，可以構建數學模型嗎？簡桶運動的速度和軌跡與哪些因素相關？

經過對比可以發現，以生活中的簡車灌溉為基礎探索其中的數學關系，可以建立數學函數模型y=Asin（ωx+φ），聯系實際，活化數學符號A，ω，φ的生活意義，這樣數學符號數值的改變就能夠引起相關各個數據的改變，從而能夠探索出簡車最優效率的參數，解決實際的問題，體現數學本質.該問題情境的創設，讓學生對此函數模型的性質和應用有了具體感知，然后運用數學原理解決生活中的實際問題如：游樂場的摩天輪數學模型、潮汐發電運動模型、海水漲潮與退潮模型、交變電流模型等等，學生可以發現都是y=Asin（ωx+φ）模型，這樣就解決了一類數學建模問題.在教學過程中將問題情境化，讓學生感受數學模型形成的全過程，真實體驗通過數學來觀察和分析現實世界中的一些事情，理解數學建模的本質和實際價值.數學建模過程也是學生體驗數學價值和運用數學思想解決問題的過程，有助于學生學習熱情的提升.

3.1.2注重信息的提煉

現階段對數學建模的實際應用題，學生會遇到一個非學科性問題：題目看不懂.每句話學生都知道什么意思，但是全部放在一起，條件與條件就“打架”，也就是對于需要解決的問題，學生不會區分，排除干擾條件，正確運用關鍵條件.數學建模能夠假設出理想化模型，就需要區分因素對問題影響的主次，所以筆者認為信息的提煉是正確建立模型的關鍵.筆者認為造成信息提煉的障礙有：專有名詞概念不清，內在邏輯不順，不會用數學語言轉換問題.所以除了強調數學素養，也不能忽視語文等其他學科素養的培養.

例2 習題課：（2021新高考全國卷改編）某數學興趣小組對剪紙藝術產生了濃厚的興趣，發現剪紙中蘊含著豐富的數學知識，可以通過模型來體現剪紙的對折過程和效果.如20dm×12dm規格的紙，進行1次對折的時候面積減半，而所得的圖形有兩種規格，即10dm×12dm，20dm×6dm，二者面積和為S1=240dm2，對折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三種規格的圖形，三者面積之和S2=180dm2，以此類推.則對折4次共可以得到不同規格圖形的種數為;如果對折n次，那么∑nk=1Sk=dm2.

本題分為兩空，考查的知識點就是運用錯位相減法求等比數列的前n項和，對學生而言應該是基礎知識，但此題的正確率不高，問題出現在什么地方呢？首先從問題分析，只要明確第一空是特殊情況，那第一空就可以通過實際操作，折疊四次得到，沒有難度.第二問，折疊n次的情況，討論一般性，這就需要學生能夠從已給條件提煉出有用信息：由具體到一般找規律，折k次擁有k+1種規格圖形，且每個圖形的面積為20×122kdm2，從而構建等比數列前n項和模型.在上述過程中，解題的關鍵在于學生是否能夠提取有效信息，完成等比數列模型的建立.因此在教學過程中，教師始終要關注對學生閱讀提取信息能力的培養，這是數學建模的基礎.

3.1.3 應用信息技術

數學建模是用數學來回答復雜的并基于現實的問題，所以有很多內容高中生只能論證其特殊性，然后直接推廣，即只作理論分析，這其實不利于學生的求真.而信息技術的精確性和對大數據的應用，為豐富數學建模內容、驗證研究結果等提供了條件.計算機軟件的應用在數學建模計算求解和檢驗結果環節必不可少，所以在數學課堂中引導學生對于復雜的數學計算或抽象模型可借助計算機軟件解決問題，而并非無從下手或無解.

例3 導數在研究函數中的應用——單調性.

情境1 動畫視頻引入，直觀感知：在漆黑的夜里，你能否僅僅依據其燈光對汽車的運動狀態進行判斷，如上坡或下坡？

情境2 幾何畫板或GeoGebra演示，猜想結論.

導數和函數的單調性都是非常抽象的概念，所以利用生活中的常見問題，引導學生發現切線斜率和函數增減之間的聯系，配合課本已知結論，這樣只情境1已經可以讓學生建立導數與函數單調性的關系.接下來學生自然會產生這樣的疑問：如何證明這個結論？這個結論的代數論證需要運用極限，現有知識講不清，那是不是告訴學生只要記住結論，大學再證明？這樣既沒有代數論證，也沒有精確數據的支撐，違背數學學科的嚴謹性，不利于學生素質發展.

在情境1的基礎上，添加情境2，為高中生以后能夠完成數學建模提供了無限可能.運用幾何畫板或GeoGebra的演示，我們可以精準得到圖象上每一點處切線的斜率隨函數單調性的變化情況，雖然不能代數論證，但從“數”的角度，引導學生由特殊到一般提煉一般結論，同時為學生可能產生的懷疑，提供了論證工具.以信息技術輔助學生探索與猜測，全面具體的展示數學建模整個過程，對于培養學生的科學理性思維方式，數學素養的形成和發展具有積極意義.

3.2 數學建模課中數學建模素養培養策略

數學建模對學生的綜合運用知識的能力提出了較高要求，而學生從獲得知識到知識的實際應用是一個長期實踐積累的過程，高中階段的學生，其建模能力的不足決定數學建模教學不是以學生獲得數學模型為依據判斷學生是否具備數學建模素養，而是在學生體驗數學建模的全過程中，提高學習興趣，促進合作交流，激發創新思維.

首先，學生需要體驗完整的數學建模過程，只有經歷感受過，學生才不會片面的認知數學建模，才能理解什么是數學建模素養，進而提升素養.

其次，數學建模課需要充分遵循教師的主導作用與學生的主體地位.數學建模的現實情境包含大量信息，通常會與化學、物理、生物等學科相關，解讀的視角多樣，這就需要學生提前搜集材料做好準備工作，才能厘清問題的實質，提出有價值的問題.影響現實問題的因素通常是非常復雜的，需要學生梳理各因素間聯系，才能明確干擾因素與關鍵因素，進而體驗排除干擾因素，保留關鍵因素，理想化實現問題.簡化問題后，讓學生體驗用數學語言表達問題，搜集相關數據，刻畫變量間關系，提出模型假設，這是建模的關鍵步驟.模型初步建立，讓學生體驗運用數學理論知識得到問題的解，教師可以提供信息技術輔助學生進行數值計算和檢驗，最后交流討論，優化模型.整個數學建模過程都必須遵循學生是數學建模活動的主體，否則建模就容易失去其獨特性與創造性，變成應用題教學.數學建模是學生的研究活動，教師不能過度指導，當然教師的指導和幫助也是必不可少的，這也對教師的教學能力提出了更高要求.

最后，小組合作學習應該是數學建模課堂教學的主要模式.我們知道數學建模一般有六個環節，每個環節都是復雜、繁瑣的，且都具有開放性，而高中生的時間和精力都是有限的，所以小組合作必不可少.在數學建模過程中，小組交流可以促進學生想法和觀點的開拓和整合，培養學生的創新意識，而小組工作分配，有利于全面高效的開展建模工作，給學生一個展示自我能力的平臺，展現自我價值.

數學建模走進高中課程，就是要對傳統學習方式進行革新與改變，提高學生的主動性和培養數學思想方法，增強創新與合作意識，提升數學素養.培養高中生的數學建模素養是一個循序漸進的過程，需要教師不斷地實際探索，要在教學內容、策略、方法等方面不斷反思、不斷改革、不斷提升.

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[責任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-06-25

作者簡介：欒文靜（1994.5-），女，江蘇省鎮江人，研究生，從事高中數學教學研究.