依托模型 類比探究 培育素養(yǎng)

陳學圓

[摘? 要] 在新課程標準的指引下，一線教師的教學理念不斷更新，依據(jù)課本進行大單元教學設計，整體化的教學設計更加有利于培育學生的核心素養(yǎng). 案例中“二項式定理”的教學設計結合了教材中常用的摸球模型，引導學生進行類比探究，實行數(shù)學抽象，獲得新知，提升素養(yǎng).

[關鍵詞] 課程標準;大單元教學;數(shù)學模型;核心素養(yǎng)

[?]教學背景

“二項式定理”是蘇教版選修2-3中第一章第五節(jié)的內容. 筆者確定這個課題時，覺得內容比較簡單，應該會比較好設計;但經(jīng)過前期的備課后，筆者認為這節(jié)內容上承完全平方公式和排列組合，下啟概率分布. 如果設計不好，就會失去一次培養(yǎng)學生素養(yǎng)的好機會.如何讓學生在學習的過程中能夠主動探究、深度思考，充分感受定理發(fā)現(xiàn)的必要性，經(jīng)歷定理發(fā)生、發(fā)展的全過程，感悟用數(shù)學的眼光觀察問題、用數(shù)學的思維思考問題、用數(shù)學的語言表達問題，培養(yǎng)和提高學生的核心素養(yǎng)，成了本節(jié)課設計的焦點.筆者在備課前有如下幾點思考：

思考一，前面一直在學習排列組合的計數(shù)原理，為什么要學習二項式定理？一方面，學生剛剛學習了計數(shù)原理，可以從計數(shù)原理的視角來理解多項式展開中的項，進而理解并證明二項式定理，體驗計數(shù)原理的應用價值;另一方面，二項式定理自身有著重要的應用，可以解決整除問題、近似值問題、組合數(shù)的性質問題等，更是后續(xù)學習隨機變量及其分布、二項分布的重要知識基礎，也是大學學習微積分的知識基礎.

思考二，如何讓學生學習本節(jié)課感覺不唐突？問題情境的創(chuàng)設是關鍵.從計數(shù)原理自然地過渡到二項式定理的學習，既要體現(xiàn)計數(shù)原理的應用性，又要體現(xiàn)二項式定理學習的必要性. 筆者想創(chuàng)設一個較好的情境來進行過渡.

思考三，課本上對二項式定理的推導采用的是歸納推理法，在展開（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的基礎上，讓學生觀察發(fā)現(xiàn)各項產生的規(guī)律，用計數(shù)原理理解各項產生的原因，進而推廣到n次方的情形，再用說理的方式進行證明. 筆者認為，高二學生雖然有一定的抽象概括、邏輯推理的能力，特別是對（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4的展開，學生可以直接利用完全平方公式進行，如利用2次方乘1次方得到3次方的式子，利用2次方乘2次方得到4次方的式子，但他們或許并不能從這三種式子的推導過程中體會到各項是如何產生的，很難感受到從計數(shù)原理的角度進行理解的必要性，因此教師有必要進行合理的設計引導學生理解，否則難以實行歸納！

基于這些思考，筆者創(chuàng)設了一個計數(shù)原理中常見的摸球模型，從形象到具體進行類比、歸納、猜想，進而再進行證明，讓學生成為定理學習的主角，在整個學習的過程中不斷提高自身的素養(yǎng). 現(xiàn)將教學過程整理如下，請各位同行批評指正！

[?]教學過程

1. 創(chuàng)設情境，引入問題

牛頓，被譽為人類歷史上最偉大的科學家之一. 他不僅是一位物理學家，還是一位數(shù)學家. 今天我們就一起來學習他的一個研究成果！

問題1：在2個同樣的口袋中，分別裝有大小相同、質地相同，標號為a，b的2個小球. 在每個口袋中各取1個小球，共有幾種不同的結果？

生1：4種.

師：怎么得出來的？

生1：利用分步乘法計數(shù)原理：N=C×C=4.

師：哪四種？

生1：aa，ab，ba，bb.

師：同學們，看到這4種結果，你們能聯(lián)想到哪個代數(shù)式子？

生2：完全平方式！

師：是嗎？請寫出（a+b）2的展開過程.

筆者請了一位學生到黑板上進行演算，這位學生直接根據(jù)記憶寫出了（a+b）2=a2+2ab+b2，這無法讓學生感受到多項式展開及合并的過程特點. 于是筆者追問道：“該展開式的項是如何產生的？”進而引導學生總結出展開式的每一項都是從每個括號中取一個字母相乘得來的，而摸球問題的每一個結果都是從每一個口袋中各取一個球得來的，它們的形成過程是一樣的！不同的是，摸球結果無須繼續(xù)計算，而多項式需要合并同類項化簡！也就是說，我們可以把2個口袋都抽象成（a+b），剛才的摸球過程可形象地展示（a+b）2的展開過程.

問題2：如果有3個口袋，共有幾種不同的結果？可展示哪個式子的展開過程？能寫出它的展開式嗎？

問題3：如果有7個口袋，共有幾種不同的結果？可展示哪個式子的展開過程？能寫出它的展開式嗎？

……

師：你能提出怎樣的問題？

生3：（a+b）n的展開式是什么？

師：這就是我們今天要研究的課題——二項式定理！

設計意圖：從學生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，學生能夠熟練地運用計數(shù)原理解決摸球問題，再引導學生聯(lián)想相應的多項式，直觀感受它們的相似性，實現(xiàn)數(shù)學建模，進而讓學生發(fā)現(xiàn)問題并提出問題，最后引出課題，為后續(xù)分析和解決問題打下了基礎.

2. 類比探究，逐步深化

師：剛才我們通過問題1形象地展示了（a+b）2的展開過程. 下面請同學們自己來探究一下問題2.

幾分鐘后，筆者在巡視過程中看到大部分學生是通過計算得到展開式的，少部分學生通過摸球實驗列出了8種結果. 筆者請了一位學生到黑板上進行展示，本以為他列出了8種結果（aaa，aab，aba，abb，baa，bab，bba，bbb），就能直接把（a+b）3的展開式寫出來，但他還是通過多項式與多項式相乘的方式進行展開的！

雖然學生沒有完全類比出最終的結果，但他們摸索出了初步經(jīng)驗，通過類比得出了項數(shù)和項的種類，項的系數(shù)規(guī)律還沒有發(fā)現(xiàn). 此處學生還沒有感受到項的系數(shù)可以通過其他方式獲得的必要性，筆者在此并沒有進行追問，而是讓學生繼續(xù)探究問題3.

幾分鐘后，筆者觀察發(fā)現(xiàn)不少學生還是想通過多項式與多項式相乘的方式得到展開式，但在展開的過程中遇到了困難……也有部分學生在苦苦尋求新的方法進行展開……這正合筆者的設計，于是筆者開始追問：

師：這個實驗可以展示哪個式子的展開過程？你研究到了哪一步？

生4：可以展示（a+b）7的展開過程，但展開式?jīng)]有能夠寫出來！展開過程太復雜了，我只能發(fā)現(xiàn)其中的項和項數(shù)，可是系數(shù)還沒有確定……

師：說說你的成果！

生4：項應有以下規(guī)律：a7，a6b，a5b2，a4b3，a3b4，a2b5，ab6，b7，共8項……

師：那你有什么樣的思考？

生4：隨著n繼續(xù)變大，展開過程會越來越繁，難以從多項式與多項式相乘的視角找到合并后項的系數(shù)……

師：那還有別的方法嗎？

學生陷入了困境，于是筆者提醒學生，解決復雜問題不妨回到原始的簡單問題去再次思考和感悟：回到最初的2個口袋去看看！如aa+ab+ba+bb=a2+2ab+b2.

師：各項系數(shù)是如何產生的呢？只能相乘展開或枚舉嗎？還有沒有別的方法？

組織學生進行討論交流，集思廣益，幾分鐘后……

生5：分類. 第一類，沒有b，即2個口袋中都不取b，有C種取法;第二類，1個b，即從2個口袋中的1個口袋取b，有C種取法;第三類，2個b，即2個口袋都取b，有C種取法.

師：很好！那這種想法可以推廣嗎？

生5：可以. 如果是3個口袋：第一類，沒有b，即3個口袋都不取b，有C種取法;第二類，1個b，即從3個口袋中的1個口袋取b，有C種取法;第三類，2個b，即從3個袋中的2個口袋取b，有C種取法;第四類，2個b，即3個袋都取b，有C種取法.

師：非常棒！那么有7個口袋呢？（a+b）7=？

幾分鐘后，不少學生已經(jīng)能夠寫出（a+b）7的展開式了，展示后讓學生進行展開式的一般化，歸納出二項式定理并說明理由.

3. 知識建構，形成定理

寫出（a+b）n的展開式：（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*）.

證明：an即0個b，即從n個括號中取0個b，取法數(shù)為C;

an-1b即1個b，即從n個括號中取1個b，取法數(shù)為C;

……

an-rbr即r個b，即從n個括號中取r個b，取法數(shù)為C;

……

bn即n個b，即從n個括號中取n個b，取法數(shù)為C.

綜上可得，（a+b）n=Can+Can-1b+…+Can-kbk+…+Cbn（n∈N*）.

接下來帶領學生回顧發(fā)現(xiàn)二項式定理的過程，歸納其項數(shù)、項的特征規(guī)律、系數(shù)（二項式系數(shù)）以及通項公式.

設計意圖：通過層層設問，引導學生逐步地探究發(fā)現(xiàn)，通過多項式乘法法則得到展開式，其方法在理論上雖然是可行的，但隨著次數(shù)的增加會越來越麻煩，這必須另辟蹊徑. 通過復雜問題簡單化的研究思路，從2次方、3次方開始換視角，即通過由摸球實驗進行類比的方式試探性地理解和發(fā)現(xiàn);再逐步推廣到7次方，通過深度思考、感悟，逐步歸納發(fā)現(xiàn)展開式的項和項數(shù)的構成;最終突破項的系數(shù)等于摸球的取法數(shù)即組合數(shù)，進而歸納出二項式定理及其證明. 整個過程中，學生的思維逐步地深入，能夠體驗到新知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)展和完善的過程.

4. 鞏固新知，提升能力

例1 寫出下列二項式的展開式：

（1）（a-b）6;（2）

1+

.

例2 求（1+2x）7的展開式中第4項的二項式系數(shù)以及含x3的項的系數(shù).

5. 回顧反思，歸納總結

用波利亞的話進行概括：數(shù)學有兩個側面，一方面是歐幾里得式的嚴謹科學，從這個方面看數(shù)學是一門演繹科學;但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學看起來卻像一門試驗性的歸納科學. 即數(shù)學有經(jīng)驗與演繹二重性.

設計意圖：讓學生利用所學知識進行應用求解，體會知識的應用價值.回顧整節(jié)課的學習過程，積累學習新知識的研究經(jīng)驗，掌握基礎知識和基本技能，領悟其中的基本數(shù)學思想方法.

[?]教學反思

（1）用好《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標》），體會核心理念、做好教學設計.好的教學需要好的教學設計，好的教學設計需要先進的教學理念. 《課標》正是當下指導一線教師教學的最先進的教學理念. 《課標》中除了與時俱進的教學理念外，還有具體的教學指導意見，作為一線教師務必認真研讀，并結合自己的教學實踐做好教學反思，不斷改進自己的教學設計，實行更多、更好、更貼近學生實際發(fā)展的教學設計，以進一步培養(yǎng)和提高學生的綜合素養(yǎng). 本節(jié)課在《課標》理念的指引下，將前期的摸球實驗與抽象的歸納問題進行了聯(lián)系，讓學生在實驗中思考問題，在思考問題中學會用數(shù)學的眼光觀察問題、用數(shù)學的語言表達問題、用數(shù)學的思維解決問題，學生的素養(yǎng)在數(shù)學課堂的基本活動中得到了有效的滋潤和發(fā)展.

（2）用好課本做好大單元設計.課本教學內容的設計編排是專家們精心設計的，是科學的、合理的，符合學生認知規(guī)律. 一線教師應基于教材的整體設計，理解教材的整體編排，做好大單元教學設計，切不可只見樹木不見森林，從而影響學生對整體知識的理解. 筆者基于對《課標》中大單元設計的理解，認為應充分理解課本，在二項式定理的教學中不可割裂與前面知識的聯(lián)系. 于是筆者以排列組合中的摸球實驗為依托進行類比探究，幫助學生發(fā)現(xiàn)并證明了二項式定理，實現(xiàn)了自然過渡，培養(yǎng)了學生數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算以及數(shù)據(jù)處理等素養(yǎng)，取得了很好的教學效果.

（3）用好課堂做好素養(yǎng)培育. 學生素養(yǎng)的培育是目前教學的主要目標，而培育素養(yǎng)的主陣地就是教學課堂. 教師在精心的備課下，創(chuàng)設數(shù)學實驗模型，設置系列問題引導學生探究，將素養(yǎng)培養(yǎng)的要求落實到具體的問題、情境和活動中去，點點滴滴地為培育學生的素養(yǎng)增加養(yǎng)分;學生在教師的引導下通過積極參與每一節(jié)課吸收著這些養(yǎng)分，日積月累下，素養(yǎng)的培養(yǎng)終究會水到渠成.