基于核心素養的高中數學分類討論教學研究

牛偉

[摘? 要] 應用分類討論思想不僅有利于幫助學生快速形成解題思路，提高解題效率，而且有利于培養思維的全面性和深刻性，有利于發展學生的邏輯思維能力，進而提高學生的核心素養. 文章闡述了分類討論思想的意義及作用，也談了幾點存在的不足，教學中可以有針對性地采取一些行之有效的應對策略來提升和強化學生的分類意識，進而促進學習能力提升.

[關鍵詞] 分類討論;核心素養;分類意識

談起分類討論思想大家都不陌生，其是一種重要的數學思想方法，當遇到復雜的或存在不確定因素的問題時，常常需要將問題進行拆分，轉化為熟悉的、簡單的基礎性問題，進而通過完成基礎性問題的解答最終完成求解. 高中學段，數學知識從難度到容量都有了很大程度的提升，為了確保學生能夠準確理解，靈活運用已有經驗求解問題，教師在教學過程中應注重分類討論思想的滲透. 然從學生的學習反饋來看，部分學生的分類意識不強，因此在應用分類討論思想解決問題時顯得有些生疏，為了引起師生對分類討論思想的重視，筆者從分類討論思想的作用出發，針對分類討論思想中出現的一些問題，淺談了幾點應用策略，供參考！

[?]意義及作用

分類討論在學習和生活中都有重要的作用，以數學學習為例，當所研究的數學問題存在多種可能性不能按照統一的解決方案來求解時，往往需要按照所有出現的可能性進行分類討論，將問題劃分為若干小問題，將小問題的結果進行整合、總結和歸納，最終得到完整的結果. 從分類過程可以看出，通過分類將問題進行拆分，使復雜的問題更具條理化、系統化，便于學生更加深入地研究. 同時，通過分類討論有利于培養思維的縝密性和綜合性，更能訓練學生的探究能力和概況能力. 因此，學會應用分類討論思想解決問題，將會大大提高學生的思維水平.

在高中解題教學中，因學生的思維存在差異，故觀察問題的角度會有所不同，解題時可能出現不同的分類情況，這樣在一定程度下可以拓展學生的解題思路. 同時，應用分類討論思想需要嚴格遵照分類原則，可以有效避免學生解題時出現“丟三落四”的現象，培養思維的縝密性. 另外，問題分類后可能會應用不同的知識進行求解，便于學生知識體系的建立和完善，促進學生綜合能力和數學思維品質提升.

可見，應用分類討論思想在提升學生解題能力、發展學生思維水平、提高學生數學素養上有著重要的現實意義，應引起師生足夠的重視.

[?]問題及不足

雖然分類討論思想作為發展學生數學素養的有效工具，其在數學教學中得到了足夠的重視，但其在教學中還存在一些不足. 從教學反饋上可以看出，學生的分類意識不強，有時忽視分類討論，有時因分類不當而造成遺漏或重復，有時不需要分類討論的問題卻強行進行分類，等等，從而在求解時走了很多彎路. 那么，是什么原因使學生在分類時出現了誤區呢？筆者認為，首先，教學中缺乏系統的專項練習. 在數學教學中，部分教師只關注數學思想方法的滲透作用，而未經歷后期的強化和提煉，使得學生對相關知識點的學習不夠系統化，所以并沒有形成下意識的思考，并沒有潛移默化地形成能力. 其次，教師在選題時針對性不強，缺乏一定的深度，進而使學生分類時難以找到分類標準，并未理清分類的真正目的，使分類過于盲目和隨機，缺乏嚴謹性. 最后，教師在分類討論問題的設計上過于保守，解題思路過于機械，難以激發學生的興趣，使學生缺乏分類探究的主動性，這樣就難以發揮分類討論的優勢，學生也難以提升學習能力和數學素養.

[?]應用策略

1. 準確分類確保討論全面、有序

科學合理的分類是實施分類討論的首要條件，只有保證分類的準確性、層次性、有序性和全面性，才能避免因分類不當而造成的錯解. 因此，在高中數學教學中，教師要先引導學生學會分類. 例如，面對分類題時，首先根據已知條件確定分類標準，在討論同一問題時必須制定統一標準，確保既能涵蓋所有情況又能做到不重復、不遺漏，使每個層次都清晰、有序，從而使討論更加全面、具體，減少錯誤率.

例1 求y=x2+4x（x≤-2），

（x>-2）的值域.

分析例1的函數表達式容易發現，在定義域不同的情況下，函數解析式不同，因此求值域時需要根據定義域的范圍進行分類討論：當x≤-2時，y≥-4;當x>-2時，y>-1. 所以該函數的值域為{yy≥-4或y>-1}，即{y

y≥-4}.

本題是一道基礎題，引入此題的目的是讓學生理解為何分類，按照什么標準分類，用簡單的、熟悉的內容進行激發，便于學生理解. 在運用分類討論時，確保分類的準確性和全面性是保證分類實施的前提和關鍵. 因此，分類問題時應抓住問題的關鍵點，找準分類參數，進行科學分類，保證求解過程有序高效.

2. 立足基礎確保討論合理有效

在高中的一些概念、公式、定理中蘊含著豐富的數學思想方法，因此教學時要利用好這些基礎知識，通過對基礎內容的挖掘、抽象，達到深化理解、夯實基礎的目的. 然在數學學習過程中部分學生好高騖遠，不重視“雙基”，忽視了公式中的一些限定條件，從而出現了公式濫用的情況. 在分類討論中亦是如此. 由于學生的基礎知識不扎實，分類時缺乏一定的邏輯性，出現了模棱兩可的情況，甚至討論同一問題時應用了不同的分類標準，使分類出現了重復和遺漏，陷入了分類誤區. 因此，在數學教學中必須立足基礎，只有這樣才能確保討論合理有效.

例2 在數列{a}中，a=1，a+2a+3a+…+na=a（n∈N*），求通項公式a.

由已知容易得到：數列{na}（n≥2）是首項為2，公比為3的等比數列，即na=2·3n-2（n≥2）. 在此對n需要進行分類討論：當n≥2時，a=·3n-2;當n=1時，a=1. 這樣根據等比數列的概念，分情況得出了通項公式a，避免了因遺漏而產生錯解.

數列是高中數學的一個重難點內容，雖然求解數列問題基本集中于通項公式或前n項和公式，但由于題設較復雜和抽象，所以部分學生遇到數列問題時容易產生畏難情緒，若遇到需要分類討論的數列問題時更是不知如何入手. 因此，為了消除學生的畏難情緒，首先要培養學生扎實的基礎，只有這樣在面對復雜的問題時才能做到繁而不亂. 當然，在夯實基礎的條件下，教師可以通過一些專項訓練強化技能，便于學生在解題過程中提煉出分類技巧，從而提高解題效率.

3. 合作探究促使討論深入高效

分類討論的應用較廣泛，教師也常常重點講解涉及分類的問題，然部分學生在分類時還是會丟三落四. 為了改變這一現象，教師可以鼓勵學生進行合作交流，通過合作交流突破個體思維的局限性，培養思維的深刻性和全面性，促進解題能力提升.

例3 已知集合A={x-2≤x≤a}，集合B={yy=2x+3，且x∈A}，集合C={z

z=x2，且x∈A}. 如果C?B，求實數a的取值范圍.

因為例3中的參數a存在不確定性，所以解答此題時需要進行分類討論：若a<-2，集合A為空集，此時集合B=C=，滿足C?B，此時a的取值范圍為（-∞，-2）. 若a≥-2，因為y=2x+3在區間[-2，a]上為增函數，故B={y-1≤y≤2a+3}. 同時，由z=x2可知集合C為二次函數的值域，因此需要分段考慮函數z=x2的單調區間. 于是需要將a分三種情況再次進行討論：①-2≤a<0;②0≤a≤2;③a>2. 經過合作交流，確定了分類標準后問題也就迎刃而解了.

本題是一個集合問題，集合是高中數學的一個重要概念，很多集合問題往往需要通過分類討論來解決. 因此，教學中教師可以精選一些典型性練習，引導學生通過合作交流的方式進行深入討論，從而掌握解題技巧、強化分類意識. 另外，通過合作交流可以淡化數學的抽象感，讓學生在積極的交流合作中實現優勢互補，提升解題信心.

總之，滲透分類討論思想、強化分類討論意識不僅關乎解題思路和解題效率，其更重要的是可以培養學生嚴謹的學習態度，這對后續學習也將起到不可估量的作用. 因此，教師應將分類討論融入教學內容，以此提高學生的學習能力和數學素養.