有效挖掘，讓課本習題“物超所值”

章啟平

[摘 ?要] 對課本習題的有效挖掘是對教材的創造性使用，把一道普通的教材課后習題進行一般化的處理，進行模型概括后，經過延伸、拓展、變式探究旨在培養學生思維的多樣性、發散性和深刻性，也是對學生進行數學素養的熏陶，教學中應對課本習題精心設計與編排，讓課本習題“物超所值”.

[關鍵詞] 課本習題;相似;拓展;變式探究

立足課本，回歸課本，是中考命題的主要方向;充分挖掘課本習題的典型作用，是課本習題價值最大化的具體體現.課本習題通常具有典型性、示范性和探索性的特點，依托課本習題，進行適當的延伸、拓展與變式探究，可以更好地幫助學生理解所學的知識，也是培養學生思維的深刻性與發散性的重要途徑.下面以一道課本習題為例，談談個人體會.

浙教版九年級數學上冊“第四章 ?相似三角形”，有這樣的一道課后習題：

有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120 mm，高線AD=80 mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分別在AB，AC上. 問加工成正方形零件的邊長為多少毫米？

習題解答

分析與解 如圖1所示，設高AD與正方形EFGH的邊EF交于I，顯然△AEF∽△ABC，可利用相似三角形對應邊上高的比等于相似比的性質列式，即：=.

設正方形的邊長EF=x mm，又EF=FG=ID=x，AD=80 mm，AI=80-x，BC=120 mm，所以=，解得x=48. 所以加工成正方形零件的邊長為48 mm.

這是一道非常典型的利用相似三角形性質解決的問題，上面的解法非常具有代表性，在三角形中內接正方形（正方形的一邊與三角形的一邊重合，其余兩個頂點分別在三角形的另外兩邊上）涉及線段計算問題，通常采用以上方法.

習題結論一般化與拓展

以上問題與問題的解法都具有典型性，代表性，因此，有必要對問題及其結論進行一般化的研究.

問題1 如圖1所示，正方形EFGH的邊HG在△ABC的邊BC上，頂點E，F分別在△ABC的邊AB，AC上，設BC=a，邊BC上的高為h. 求正方形EFGH的邊長.

分析與解 同前面的課后習題，在圖1中，△AEF∽△ABC，設EF=x，=?=?x=.

問題2 問題1中其他條件不變，若在△AEF中，繼續作類似的正方形MNPQ，如圖2所示，求正方形MNPQ的邊長.

分析與解 設正方形MNPQ的邊長MN=x，在△AEF中， 設EF上的高為h，由問題1中的結論可知：x=.

因為EF=x=，EF上的高h=h-x，所以x====·

h-=.

上面過程是借助問題1的結論，不難推出.

其實，這里仍然可以利用“相似三角形對應線段的比等于相似比”的性質來計算.線段MN與EF是△AEF和△ABC這兩個相似三角形中的一組對應線段，因此=，即=.

所以x===.

以上相似三角形性質的利用，簡單明了，一目了然！

問題3 如圖3所示，如果繼續在MN的上方作類似的正方形，其邊長x又是多少？照此下去，第n個正方形的邊長x是多少？

分析與解 運用問題2中的第二種解法，可得=，

所以x===.

以此類推，不難得出：x=.

問題4 對于銳角三角形ABC的余料，設三邊分別為a，b，c，且a≤b≤c，將該正方形加工成正方形零件，使正方形的四個頂點都在△ABC的邊上（圖1的方式），則正方形的兩個頂點同時放在哪條邊上可使加工出來的正方形零件面積最大？

分析與解

①當正方形的兩個頂點同時在△ABC的邊a上時，設正方形的邊長為x，邊a上的高為h，則：x=.

②當正方形的兩個頂點同時在△ABC的邊b上時，設正方形的邊長為x，邊b上的高為h，則：x=.

③當正方形的兩個頂點同時在△ABC的邊c上時，設正方形的邊長為x，邊c上的高為h，則：x=.

要使加工出來的正方形零件面積最大，即比較x，x，x的大小，可采用作差比較的方式進行，設△ABC的面積為S，則S=ah=bh=ch，所以h=，h=，h=. 則：

x-x=-=-=-====.

上式中，2S>0，b-a≥0，△ABC為銳角三角形，ab-2S>0，（a2+2S）（b2+2S）>0，所以有≥0，即x-x≥0，這說明當正方形的兩個頂點同時在△ABC的邊a上時，其邊長較大，由于a≤b，所以，當正方形的兩個頂點同時在短邊上時，其邊長較大.

特別說明：（1）當△ABC為直角三角形時，ab-2S=0，x=x，即正方形的兩邊同時落在Rt△ABC的兩條直角邊上. （2）當△ABC為鈍角三角形時，此時在△ABC內部只能作出一個正方形，即正方形的兩個頂點同時落在最長邊上.

習題的變式探究

變式1 如圖4所示，點E是△ABC的邊AB上一動點，過E作EH⊥BC，垂足為H，EF∥BC交邊AC于F，過F作FG⊥BC，垂足為G，設BC=a，邊BC上的高為h. 問當點E運動到何位置時，四邊形EFGH的面積最大？最大值是多少？

分析與解 當點E在邊AB上運動時，通過E點的位置情況，找到四邊形面積的最大值，有一定的困難. 故可以通過先找四邊形面積的最大值，再來確定E點的位置.顯然四邊形EFGH是矩形，其面積S=EH·EF. 點E在邊AB上運動時，EF，EH的長度均在變，故考慮尋找EF，EH的數量關系，將面積S關于EH，EF兩個變量的關系式轉化為只含有一個變量的關系式.

如圖5所示，作△ABC邊BC上的高AD，交EF于點M. 設EH=x，EF=y.

因為△AEF∽△ABC，所以=?=?y=a-x.

四邊形EFGH的面積S=EH·EF=xy=x

a-x=-x2+ax.

當x=-=時，S=ah.

由于EH==MD=AD，所以M為AD的中點. 因為EM∥BC，所以E為AB的中點.

綜上所述，當點E運動到AB的中點時，矩形EFGH的面積最大，最大值為ah，即為△ABC面積的一半.

此問題中，根據上面的推理過程可以知道，不論矩形EFGH的邊HG與△ABC的哪一條邊重合，矩形EFGH的面積的最大值始終是三角形面積的一半，EF也一樣是三角形的中位線.

變式2 如圖6所示，點E是△ABC的邊AB上一動點，過點E作EF∥BC交邊AC于F，點H是邊BC上一動點，連接EH，過點F作FG∥EH交邊BC于G.

問題1 當點E運動到何位置時，四邊形EFGH的面積最大？最大值是多少？

分析與解 易得四邊形EFGH是平行四邊形，不難把EFGH的面積轉化為矩形的面積，如圖7所示，過點E作EM⊥BC，垂足為M，過點F作FN⊥BC，垂足為N，顯然△EMH≌△FNG，所以S=S.

由變式1中的結論可得，當點E運動到AB的中點時，矩形EFNM的面積最大，即?EFGH的面積最大，最大值為△ABC面積的一半.

問題2 如圖6所示，設△ABC的面積為S，△AEF的面積為S，△EBH的面積為S，△FCG的面積為S，?EFGH的面積為S，請探究S，S，S，S，S之間的關系.

分析與解 如圖8所示，將△FCG平移至△EMH的位置，所以S=S，S=S+S，因此，圖8可簡化為圖9.

根據相似三角形的性質可得：

==

2?=.①

==

2?=.②

① +②得：+=+==1.

所以+=1?+=.

繼續對上式進行變形：（+）2=（）2?S+S+S+2=S.

又因為S+S+S+S=S，所以S=2.

根據上面的推理過程，在圖10中，若△ABC的面積為S，△AEF的面積為S，△EBH的面積為S，△FCG的面積為S，?EFGH的面積為S，我們可以得到如下的三個結論：

=+，S=S+S+S+2， S=2.

在圖11中，若△ABC的面積為S，△AEF的面積為S，△EBM的面積為S， ?EFCM的面積為S，可以簡化上述結論：=+，S=S+S+2，S=2.

問題3 運用上面的探究方法及結論，可以解決變式1中的問題嗎？

分析與解 如圖12所示，將△FCG平移至△EMH的位置，所以S=S.

根據前面推導的結論，

S+S+2=S=ah. ③

2=S.

根據基本不等式a+b≥2（a>0，b>0）有：

S+S≥2.

代入③式得：2+2≤S=ah，

即4≤S=ah?2≤S=ah. 當且僅當S=S時，等號成立，此時2取最大值ah.

而2=S=S，所以矩形EFGH的面積最大值為ah，即△ABC面積的一半. 此時S=S，而△AEF∽△EBM，所以兩個三角形的相似比為1，因此△AEF≌△EBM，所以AE=EB，即點E為AB的中點.

問題4 在圖1中，正方形EFGH的邊HG在△ABC的邊BC上，頂點E，F分別在△ABC的邊AB，AC上，設BC=a，邊BC上的高為h. 正方形EFGH面積能等于ah嗎？

分析與解 由于正方形EFGH的邊長x=，所以S=x2=

2=ah.

進一步計算得：=?（a+h）2=4ah?（a-h）2=0?a=h.

可以發現，正方形同樣通過△FCG的平移，轉化為平行四邊形，而平行四邊形面積的最大值為三角形面積的一半，因此正方形面積要達到三角形面積的一半，需滿足△ABC的一邊與該邊上高相等，此時正方形的兩個頂點同時落在這條邊上時，可以實現面積最大，這與前文中“當正方形的兩個頂點同時在短邊上時，其邊長較大，則面積較大”相吻合，可以運用基本不等式的知識加以說明，這里不再贅述.

結束語

對課本習題的有效挖掘是對教材進行創造性使用的具體體現，上文中，通過對一道課本習題結論的一般化處理，并且對其進行延伸、拓展與變式探究，就是極大限度地利用好教材，充分挖掘教材習題的潛在價值，讓課本習題“物超所值”. 對習題進行一般化結論的概括，抽象化地進行數學問題的處理，是構建數學模型解決問題的策略，運用不斷地產生新結論的模型去解決新問題，是對數學知識運用的進一步升華.得到一些數學結論或是進行變式探究不是真正的目的，其目的是更有效地引起學生的思考，訓練學生的解題能力，培養學生思維的多樣性、發散性和深刻性，對學生進行數學素養的熏陶.因此，習題教學不應依題講題，特別是課本例、習題，它們是題目中的精品，教學中，應精心設計與挖掘，以提高學生靈活運用知識的能力.