GeoGebra與高中幾何教學深度融合的實踐探索

王清清

摘 要：幾何是高中數學教學的重要組成部分。由于過去數學教師的教學方法單一、教學內容固定等問題，導致學生對幾何概念的理解和探究不足，無法在學習幾何的過程中獲得直觀想象、邏輯推理等良好素養。為了進一步提升高中幾何教學的質量，培養學生的數學核心素養，高中數學教師應當對GeoGebra的功能進行充分的開發利用，使用直觀、動態的教學手段來增進學生的理解，激發學生的學習興趣，全面提升高中幾何教學的質量。

關鍵詞：高中數學;幾何教學;GeoGebra

GeoGebra是一種完全免費，并且集合了眾多幾何功能的動態軟件，能夠有效地支持學生在高中階段的幾何學習，為學生的幾何探究提供更加理想的平臺。高中階段的學生面臨著高考壓力，而幾何是高考數學的重要組成部分，只有讓學生真正理解幾何的本質，掌握幾何知識的學習方法，才能夠更好地面對高考的挑戰。但是在實際的教學中，由于部分教師過于強調幾何知識的考試作用，在教學中使用了灌輸式的手段，導致學生只記住了套路化的解題模板，卻沒有形成良好的能力、思維及素養，給學生的高效學習帶來了很大限制。在新課程改革的背景下，高中數學教師應當加強對軟件的開發和利用，使用軟件強大的直觀展示功能來激活學生的學習興趣，讓學生能夠充分參與到幾何探究中來，了解幾何知識產生的過程，掌握幾何學習的方法，從而讓學生不僅可以掌握幾何方面的知識，更能夠收獲能力、素養、情感等方面的成長，落實核心素養的教學目標。

一、GeoGebra在高中幾何教學中的應用優勢

（一）操作簡單，容易學習

GeoGebra是一種十分容易使用的軟件，能夠更好地滿足師生的需求，讓教師和學生在不使用說明的前提下就能按照自己觀測到的功能制作出簡單的幾何圖形，從而為教師的教以及學生的學提供更多的便利。GeoGebra繼承了傳統的幾何畫板功能的優勢，可以完成幾何畫板上所有的功能，并且聯系中小學數學教學的實際情況，對各種功能進行了優化，改善了傳統幾何畫板在應用過程中容易出現的教師費時費力的情況，讓教學取得事半功倍的效果。另外，這一軟件是完全免費的，因此不僅教師可以使用，學生也可以根據自己的實際情況，在課下簡單學習軟件的操作，并且借此對比較復雜的幾何問題進行探索，讓學生擺脫傳統學習方式中大量重復性的操作，在更加直觀、動態的學習環境中收獲成長，養成良好的課后學習習慣。

（二）數形結合，同步觀察

GeoGebra的功能十分豐富，并且對各個功能進行了劃分，將整個工作區分成了繪圖區、代數區等區域，同時還可以根據需求來制作表格，而在幾何教學的過程中，教師和學生不僅可以利用軟件的繪圖功能來制作相關的圖形，還可以從代數的角度了解圖像的相關信息[1]。比如，當我們在繪圖區畫出來一個二次函數圖像時，代數區也會同步出現這個圖像的解析式，而當我們拖動圖像變化時，也會發現代數區中的數據也在發生變化，如此，有助于學生對幾何知識進行更深層次、精細化探析，強化學生對幾何知識的動態觀察能力。

（三）多元功能，快速展示

GeoGebra的功能是十分強大的，教師及學生能夠根據教學的實際需求，在命令框中輸入具體的指令，從而對圖形進行計算或者更改。在使用指令的過程中，教師和學生甚至不需要動用鼠標就可以輕松地利用軟件的集成功能來完成圖像的性質、圖形的面積計算等討論工作。另外，軟件充分考慮到了教師在教學中的實際需要，當教師輸入一個指令之后，軟件會使用自動聯想的功能，為教師展開和輸入與指令相關的其他命令，方便教師進行操作。如此，可以極大地節省課堂上的操作時間，提升使用軟件進行幾何教學的效率，讓教學自然而然地進行下去。

二、GeoGebra在高中幾何教學中的應用原則

（一）有利性原則

隨著教育信息化的快速發展，為了進一步提升高中數學的教學質量，培養學生良好的數學核心素養，越來越多的信息技術也進入了高中數學課堂，而GeoGebra作為一種專門應用到數學課堂中的教學軟件，也引起了教師們的足夠重視。但是在使用GeoGebra進行幾何教學時應當正確認識到，只有在課堂上有動態演示、節省繪圖時間等需求時才需要用軟件來進行教學，從而讓軟件真正起到支持學生探究的作用。教師絕不能過于依賴軟件，如果為了追求課堂的新穎有趣而濫用軟件而導致課堂教學效果不理想，那就失去了使用軟件進行教學的意義，得不償失。

（二）整合性原則

GeoGebra軟件在高中數學教學中的應用具有強大的優勢，可以從多個角度彌補傳統課堂的不足，但是傳統的幾何教學方法同時也有很多優點值得我們繼承，因此，教師應當將軟件教學與傳統幾何教學的優點融合在一起，維持兩種教學手段的平衡，讓教師和學生都能夠形成靈活的思維，避免對一種特點的教學手段產生依賴[2]。總之，教師一方面要發揮出軟件在動態呈現信息等方面的優勢，幫助學生更好地理解抽象的概念;另一方面也要加強實物展示、口述等傳統手段的使用，完善學生的認知。

三、GeoGebra在高中幾何教學中的應用設計

在高中幾何教學中，關鍵在于培養學生良好的空間觀念，挖掘學生的思維潛能，落實對學生數學核心素養的培養目標。學生空間觀念的發展需要學生多個感官都參與到幾何知識的探索中來，如果不為學生提供必要的手段進行輔助，很難讓學生真正理解幾何知識的形成過程。通過實現GeoGebra和高中幾何教學的深度融合，利用信息技術強大的圖形繪制、化靜為動等優勢，可以讓學生在動態中學習，在應用軟件的過程中積累豐富的經驗，有助于學生空間觀念的發展。

（一）動態展示圖形的生成過程

在過去的高中幾何教學中，教師大多數時間是使用課件或者現場繪圖等方法，課件的手段雖然可以呈現給學生比較規整的圖像，但是卻無法讓學生了解幾何圖形形成的過程，而現場繪圖往往因為時間不足的原因，效果也十分有限。通過將GeoGebra軟件應用到高中數學幾何教學中來，可以很輕易地繪制出課堂上需要的圖形，并且根據學生探究學習的需要，對圖形進行任意調整，幫助學生更好地了解幾何知識形成的過程，增添課堂教學的趣味性[3]。

比如，在講授《雙曲線》這一節內容的過程中，學生在前面已經學習了橢圓的相關知識，了解幾何知識的一些基本探究方法。由于學生在前面學習到的圖形大多是封閉的，橢圓也是學生在現實生活中經常會看到的圖形，而雙曲線則是學生最新開始接觸的一種幾何圖形，很多學生無法想象雙曲線的圖形如何用式子表示出來，因此，讓學生了解雙曲線的形成過程十分有必要。在實際的教學過程中，筆者首先向學生展示了一個問題，讓學生思考：在某片區域里面，一共設置了三個監測站，監測站A在監測站B的正東方向，兩個監測站之間的距離是6千米，監測站C在監測站B的北偏西30度的方向，兩個監測站之間的距離是4千米，假設點P是敵方所在的位置，在某一個時刻，監測點A監測到P有所行動，并且在4秒鐘之后，監測點B和C也監測到了這種信息，那么點P究竟在哪里？在學生了解了問題的大概含義之后，筆者首先按照題意，將點A、B、C畫在了GeoGebra的繪圖區域上，接著再引導學生去思考問題，讓學生進行合作討論，想一想這個情景究竟是讓我們去解決什么問題。經過一番討論，學生發現點P到監測點B和監測點A之間的距離之差是一個定值，因此問題的關鍵就在于“這個定值的點會形成什么樣的圖形”。有了這樣的認識之后，筆者接著調用GeoGebra的功能，將相關的數據輸入進去，得到了雙曲線的圖形，同時在代數區上也出現了雙曲線的方程。

（二）模擬實驗促進學生深度探究

前面已經提到，GeoGebra有著十分強大的功能也十分便于操作，不僅可以讓教師使用軟件來進行授課，學生也可以有效地參與進來，使用軟件進行探究性的自主學習，讓學生真正地成為課堂上的主人。在高中幾何教學中，由于條件的限制，教師經常是通過演示實驗的方式來代替學生的自主探究，難免會影響學生數學探究的積極性。而通過軟件的使用，教師可以幫助學生更好地掃清空間識別上的障礙，有助于學生突破學習難點[4]。

比如，在講授“拋物線”的過程中，筆者首先讓學生簡單回憶GeoGebra的使用方法，接著進行操作，讓學生思考問題：確定一個定點F，這個平面上，畫出一個不過定點的定直線，接著假設有一個點M，如果這個點到F的距離及到定直線的距離之比是一個常數e，并且e正好等于1，那么這個M的軌跡是什么樣的圖形？學生在前面已經學習了橢圓和雙曲線的知識，很快想到當e處在0和1之間范圍時的圖形以及當e大于1時的圖形，但是當e正好是1時，這個圖形又會是什么呢？針對這個問題，筆者將學生分成了幾個小組，讓學生使用軟件來進行實驗性的學習，嘗試著理解在拋物線制作過程中的關鍵所在，讓學生更好地理解拋物線的性質，促進學生的實踐性學習。

（三）模擬解決生活中的實際問題

幾何知識在現實生活當中有著廣泛的應用，但是受限于學生的思維、能力以及教師的教學方式，學生對如何利用幾何知識來解決生活中的實際問題存在著嚴重的缺失，給數學核心素養培養的落實帶來了巨大阻礙。數學教育應當回歸于學生的現實生活，幫助學生明確數學學習的意義。因此，在實際教學過程中，教師可以利用GeoGebra的功能來向學生展示幾何知識在現實生活中的應用，為學生的幾何探究提供實際的情境，加深學生的印象，提升學生幾何學習的成就感。

比如，在講授“解三角形”的過程中，筆者在課堂上向學生展示了本節內容學習的背景：嫦娥奔月是我國流傳已久的神話故事，展現了中國古代人民的浪漫情懷，讓人心向往之，當我們仰頭遙望月亮，總是會產生無盡的遐想，那么你知道月球距離我們的地球有多遠嗎？我們可以怎樣去計算這個距離？在給學生講述這一背景的過程中，筆者同時使用軟件來進行操作，在繪圖區畫出幾個球體，分別代表著月球、地球、太陽等星球，并且展示出一些已經獲得的數據，引發學生的思考。這樣，通過直觀想象功能的使用，能夠為學生創造出更加真實的學習環境，讓學生產生代入感，充分認識幾何知識的學習意義，有助于提升教學的效果。

四、促進GeoGebra和高中幾何教學深度融合的建議

（一）加強對GeoGebra的學習

GeoGebra軟件的操作相比于其他幾何教學軟件來講更加簡單，能夠為教師和學生提供更加直接的幫助，但是要想使用軟件來促進學生學習復雜性操作，需要教師深刻地理解腳本的設計，比較熟練地在課堂上向學生展示幾何知識的形成過程，讓軟件發揮出更大的作用。

（二）教師要深刻理解幾何知識的本質

在教育信息化發展的過程中，容易出現教師濫用信息技術的問題，GeoGebra作為一種便利的幾何教學工具，更是能夠在很大程度上減輕教師的工作負擔。但是需要注意的是，只有教師對幾何知識的本質形成深刻的理解，并且在應用過程中將核心內容以恰當的方式呈現在學生面前，才可以使軟件的作用真正發揮出來，讓學生自然而然地投入幾何探究活動中。因此，教師應當從教材以及課程標準的角度出發，對上面的幾何知識進行充分的探索，多了解這些知識發生和發展的過程，提升自身的教學素養，在設計和操作軟件的過程中提升教學質量。

（三）給學生提供更多的實踐機會

將GeoGebra和高中幾何教學深度融合在一起，對于幫助學生適應現代化的學習環境也有著十分重要的意義。教師要從這一點出發，結合課堂上的安排，給學生提供利用軟件進行幾何實踐的機會，讓學生能夠真正地參與到數學知識發生的過程中，理解幾何知識是如何形成的，激發學生的探究興趣，讓學生真正成為課堂上的主人，自覺落實新課程改革提出的自主、合作、探究的教學目標。

結束語

在高中數學幾何教學過程中，教師要充分地利用軟件，給學生提供適合探究的環境，讓學生能夠對幾何文化展開深層次的探索，優化學生的認知框架，提升學生的學習效率。教師要對軟件的功能進行充分探索，了解GeoGebra和幾何知識深度融合的有效路徑，讓GeoGebra平臺成為促進學生自主探究和理解幾何知識的工具，提高學生的思維能力，提升高中幾何教學的效率。

參考文獻

[1]陳麗萍.GeoGebra與高中數學教學深度融合的思考與探索：以探究與發現“為什么截口曲線是橢圓”為例[J].基礎教育參考，2021（10）：47-50.

[2]周偉偉.GeoGebra在高中數學課堂教學中的應用：以平均變化率為例[J].數學教學通訊，2021（18）：36-37.

[3]何麗萍.基于GeoGebra的中學數學教學策略[J].試題與研究，2021（15）：23-24.

[4]莫宗迪.基于GeoGebra的高中數學探究活動的實踐研究[J].中國多媒體與網絡教學學報（下旬刊），2021（1）：58-62.

本文系福建省教育科學“十三五”規劃2020年度課題“可視化視角下的GeoGebra與幾何教學深度融合的實踐研究”（立項批準號：FJJKXB20-1148）的研究成果。