數學教學智慧：文化傳統、概念理解與現實意義

摘要：中國傳統數學教學智慧是中國文化在數學教學中的投射，主要體現在注重啟發、變式教學、精講多練、強調趣味等方面。基于中國傳統數學教學智慧、數學學科育人宗旨和PCK理論的考量，將數學教學智慧界定為教師遵循學生數學學習規律，對所教數學知識進行適當地加工，促進學生數學素養發展的能力。落實學科育人宗旨、促進學生數學的適合發展、讓教師獲得職業幸福是其主要的現實意義。

關鍵詞：數學教學;教學智慧;教學文化;學科育人

中圖分類號：G424 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2022）05A-0003-06

中國有三千多年的數學教育史，培養出許多杰出的數學家，創造了輝煌燦爛的數學文化，逐步形成了閃爍著智慧光芒的數學教學思想和方法。數學教學智慧是中國智慧文化在數學教學上的體現，深入探討其文化傳統，對其概念進行理解與界定，對于當前發展學生數學核心素養、實現學科育人的宗旨，具有積極而現實的意義。

一、數學教學智慧的文化傳統

（一）中國深厚的教學智慧文化

中國是一個尊師重教、“教”文化深厚的國家，有教無類、教無定法、因材施教、無言之教、身教勝于言教等關于“教”的方法我們耳熟能詳。從教師地位的重要性到教學對象的廣泛性，再到教學方式方法的豐富性，凸顯的都是“教”。可以說，教是中國傳統教育話語中使用最多的詞語之一。陶行知先生對此曾如是說：“現在的人叫在學校里做先生的為教員，叫他所做的事體為教書，叫他所用的法子為教授法，好像先生是專門教學生些書本知識的人。他似乎除了教以外，便沒有別的本領，除書之外，便沒有別的事教，而在這種學校里的學生除了受教之外，也沒有別的功課。”[1]

中華民族是一個崇尚智慧的民族。智慧若水，逢方則方，遇圓則圓，隨形而變，因勢而動。潤澤萬物而始終處下，雖至柔而無堅不摧。當這種智慧體現于教學活動就形成了獨具東方韻味的教學智慧。既然有教無類，那教學方式就須不同。學生的稟賦各異，就要采用適合他們的方法施教。面對教學對象、內容和目標的不同，教師既要使用言語之教，也要有不言而喻的無言之教，而身教勝于言教則表明了榜樣力量的巨大。真所謂教學有法，但無定法，貴在得法。無法之法，乃為至法，運用之妙存乎一心。

（二）中國古代數學教學智慧

中國傳統數學教學智慧是中國傳統教學智慧在數學教學上的反映與應用，其中注重啟發、變式教學、精講多練、強調趣味是較為突出的方面。

首先，注重啟發式教學。《周髀算經》記載了一個教學案例：

榮方問于陳子：“今者竊聞夫子之道，知日之高大，光之所照，……子之道皆能知之，其信有之乎？”陳子曰：“然。”

榮方曰：“方雖不省，愿夫子幸而說之。今若方者，可教此道邪？”陳子曰：“然。此皆算術之所及，子之于算，足以知此矣。若誠累思之。”

于是榮方歸而思之，數日不能得。復見陳子曰：“方思之不能得，敢請問之。”陳子曰：“思之未熟。……吾豈以道隱子哉！固復熟思之。”

榮方復歸，思之數日不能得。復見陳子曰：“方思之以精熟矣，智有所不及，而神有所窮知，不能得。愿終請說之。”陳子曰：“復坐，吾語汝。”

榮方與陳子的對話生動地呈現了啟發式教學樣態，師生間平等的對話討論足可媲美古希臘蘇格拉底幾何教學的“產婆術”。數學之學，首在思維。思維發展關鍵在于自主，所以，“凡教之道，不憤不啟，不悱不發。憤之，悱之，然后啟發。舉一隅，使反之以三也”[2]。

其次，善用變式教學。中國數學教師在教學中常常會引入變式以提高學生的參與度，為學生提供學習的腳手架，從而提高學習成功率。教師所用變式包含“概念性變式”和“過程性變式”兩種情況[3]。概念性變式是對數學概念進行多角度展現，通過非本質屬性和本質屬性的比較讓學生理解概念本質。過程性變式是在問題解決教學中，教師為學生提供復雜度較低而與要解決問題具有相同（或部分相同）數量關系的問題，助力學生思考，使其解決問題。

再次，強調精講多練。第一，講的內容要精，即緊扣目標，突出重點、突破難點;第二，方法要恰當，既符合學生實際情況，又遵循教學規律，還能夠隨機應變;第三，語言要精練，既能激疑引思，又能提綱挈領。多練并不是一味地搞題海戰術，而是教師在充分研究學情和學習任務的基礎上設計出富有效能的習題，通過一定量的練習達到熟能生巧的目的。

精講多練以教師精心備課為前提，教師須吃透兩頭——教材和學生。要掌握教材體系，深刻理解每課教學內容。對學生的了解要深入，知道他們已知什么，學習困難在哪兒，何處要重點講練，如何進行拓展等。精講多練要關注一題多解和多題一解。前者有利于學生數學知識的相互聯系，有助于求異思維和發散思維的發展;后者有利于學生解題策略的形成，促進知識遷移能力的發展。

最后，增強學習趣味。在游戲中學習和運用歌訣是中國數學教學的一種傳統。古人根據小孩子年齡特點設計了豐富多樣的數學游戲以增強其興趣，誘發思維。數學游戲可以分為兩類：一類以發展空間觀念為主，如七巧板、華容道、九連環、孔明鎖、魯班球、折紙、翻花繩等;另一類是數字游戲，如算24點、九宮格、拿三堆、打紙牌等，主要培養學生運算能力和對策思維。

古人認為牢記可以通向理解，所以常常把一些數學問題編成有節奏、押韻的句子——數學歌訣，以便于教學和記憶。中國最早的數學歌訣出現在《周髀算經》中，宋元之際的楊輝和朱世杰的著作中也出現不少，至明代程大位的《算法統宗》達到爐火純青的境界。數學歌訣展現了中國古代數學家的浪漫氣質和藝術才華[4]，對數學教學影響深遠。現在許多數學歌訣大家都還耳熟能詳，如乘法口訣、九宮格口訣等。歌訣運用已深入中國數學教學的血脈，今天許多數學老師仍在使用。例如，教學《角的度量》時，有“中心對頂點，零線對一邊。先看內外圈，再看另一邊”。教學“湊十法”時會說“看大數，分小數。湊成十，加余數”，等等。

（三）當代中國繁榮的教學研究

沿襲教的傳統，中華人民共和國成立以后的教學法研究非常盛行，以2001年第八次課改為界可分為前后兩個階段。

課改以前的教學法研究主要集中在兩個方面：一是探索新的教學思想、教和學的關系、教學內容、教學方法與手段、教學組織與結構等;二是開展教學實驗，力圖在教學理論指導下，解決教學中存在的諸多問題，全面提高教育教學質量。后者尤為火熱，出現“實驗范圍廣泛、實驗層次多樣、實驗類型各異、實驗團體建立”的盛況[5]。就數學教學研究而言，有中科院心理研究所的“教為主導，學為主體”自學輔導推廣實驗，顧泠沅小組的“嘗試指導，效果回授”實驗，魏書生的“方法比事實更重要”培養學生自學能力的探索，馬芯蘭的“優化教材結構，加強能力培養”小學數學教學改革實驗[6]，黎世法六因素單元教學法，邱學華“先試后導，先練后講”嘗試教學法[7]，等等。

這些研究基于或極力尋求教學理論的支撐，都歸納或建構出一套操作性很強的流程，從某種意義上可視為教學模式的研究。事實上，從1994年到2006年教學模式研究發展迅猛，受到廣泛、深入的關注[8]。

2001年教育部頒發《基礎教育課程改革綱要（試行）》，開始了新課改。在“改變課程內容‘繁、難、偏、舊’的現狀”的同時，要求“改變課程實施過于強調接受學習、死記硬背、機械訓練的現狀，倡導學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養學生搜集和處理信息的能力，獲取新知識的能力，分析和解決問題的能力，以及交流與合作的能力。”

課改的前期采取自上而下的推進模式，將國外許多教學理論和觀點（特別是建構主義）引進中國。就數學教育而言，“大眾數學”、人本主義教育思想、數學教育的“個性化”、數學教學的“生活化”、數學學習的“活動化”成為一種潮流。隨著改革的推進，各種問題逐步顯現，大家認識到，我們不應采取簡單的“拿來主義”，而應認真研究先進國家所倡導的各種教學方法是否真正適應中國的文化傳統與社會環境。或者說，從外部引入某種教學方法并進行大規模的推廣應用前，我們應當先花大力氣去弄清這一方法的基本特征及其主要優缺點，再通過必要的調整與發展使之真正適合自己的國情。……在教學方法的改革上，我們應給教師的創造性勞動留下更大的空間，并應充分尊重教師自己的選擇[9]。

二、數學教學智慧的概念理解

“數學教學智慧”一詞常被提及但缺少界定與深入研究。例如，代欽在《數學通報》撰文《中國的傳統數學教學智慧》[10]，《人民教育》曾刊發黃愛華題為《數學教學智慧》的文章[11]，他們都沒有對“數學教學智慧”進行概念界定。

（一）“數學教學智慧”概念界定的考量因素

當前對“數學教學智慧”概念的界定需要考量三個方面的內容：

一是當前數學教學改革的實踐和目標。一方面，第八次課改倡導“自主、合作和探究”的學習方式，使課堂的生成性逐漸加強，由此催生了“教學智慧”以及與其相近的概念——“教育智慧”“教學機智”“智慧型教師”等。另一方面，新課程提出“要面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。”這實際上是中國傳統因材施教的觀點在當前數學教學上的新表達，其實現離不開數學教學智慧。

二是要基于中國傳統的數學教學智慧文化。意大利歷史學家克羅齊說過，當生活的發展需要時，死歷史就會復活，過去史就變成現在的。現在對我們沉默不語的歷史，將依次被新生活的光輝耀照，將重新開口說話[12]。從中國數學教學智慧文化傳統看，啟發有助于調動學生思維積極性，而變式則為思維的攀登提供了腳手架。精講多練注重數學知識和技能的掌握，在游戲中學習和運用歌訣則是為了消除數學知識高度抽象性和邏輯嚴密性給學習者所帶來的枯燥乏味感，增強其學習的興趣。我們從中不難概括出傳統數學教學智慧的要點，即要根據學生數學學習需要進行適學化的加工。

三是國際數學教學的發展趨勢。20世紀80年代，國際教師研究熱點轉向了教學實踐。舒爾曼的學科教學知識（Pedagogical Content Knowledge，簡稱PCK）、埃巴斯的實踐知識、舍恩的反思性實踐者概念相繼提出[13]。其中PCK影響尤為廣泛。

舒爾曼認為PCK是教師的學科知識與教育學知識結合而形成的綜合性知識，是知道如何根據學習者的不同興趣和能力將特定主題、問題和事件組織起來，以教學的方式加以呈現的知識。具體包含使用恰當的類比、說明、舉例、解釋、示范等方式來呈現學科內容，知道學生理解的難易點等。

PCK揭示了教師專業知識的核心所在，是區分學科教師與學科專家的知識之一。例如，數學家和數學教師都掌握數學知識，但是兩者有著根本的區別。數學家的數學知識是用來進行數學研究和新探索的依據，而數學教師的數學知識則是用來對學生進行教學的內容材料，必須經過“心理學化”才能為學生所理解。PCK還是區分經驗教師與新手教師的知識之一，是使教師教學最有效的知識。新手教師雖有學科知識，但卻因缺乏對其進行有效的組織、調整與呈現的能力，而不能在教學中成功運用。PCK發展較好的專家教師能從多個角度看到大局，從而能更加地靈活選擇適合主題的教學方法。進一步的研究表明，教師PCK發展水平與學生理解之間有著密切的聯系[14]。

（二）數學教學智慧概念界定與理解

基于上述考量因素分析，我們試做如下界定：數學教學智慧是教師遵循學生數學學習規律，對所教學數學知識進行適學化加工，促進學生數學素養發展的能力。其中加工行為主要指對知識內容進行改造和重組、情景化、多元表征（動作、圖示、表象、符號）、變式和類比等。這種能力不是某種單一能力，而是一種高級的綜合能力。它是教師整合了知識、經驗、情感和信念等多種因素之后，融通而成的一種實踐智慧，是為了實現正當的目的而實施恰當行為的能力。

從教學工作過程看，教師的加工轉化行為可以分為兩個相繼進行的階段，即教學設計階段和現場執教階段。相應地，數學教學智慧表現為教學設計智謀和現場調適機智兩種形式。前者是教師秉持促進學生適合發展的教學理念，在充分了解學生學業水平和認知特點的基礎上，對教學的目標、方法、流程、媒介等進行預設的智慧和謀略。后者是教師將預設計劃實施，在遭遇到新情況時及時地進行調整以適應學生需要的機智。它不僅僅表現為一種被動的“救失”行為，還可以表現為一種主動的創新行為，即根據教學現場的狀況，靈機一動，主動出擊，創造出更美好的局面。

三、數學教學智慧的現實意義

（一）數學教學智慧是數學學科育人的需要

學科育人是落實立德樹人根本任務的學科切入口和實現方式，是學科教學智慧的宗旨。數學學科育人就是從數學學科的性質、地位、任務出發，體現學科的特質，實現數學學科特殊的育人功能。具體而言，教師要在對數學知識及其育人價值深刻理解的基礎上，創造性地設計和實施具體的教學活動，促進學生數學核心素養——包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等方面的發展。數學學科育人超越了單純的數學雙基教學和學生思維發展的教學行為，也不是借助數學知識教學對學生進行簡單化的思想品德的說教。它指向學生個體全部精神世界——數學知識、情感、態度和價值觀諸方面渾然一體的發展，是為了獲得終身發展和社會發展所需要的關鍵能力和必備品格。顯然，要圓滿完成這一任務，教師光有數學學科教學知識和能力是不夠的，需要教師將數學教學知識與良好的情感、正確的價值觀熔煉而成數學學科教學智慧方能勝任。

（二）數學教學智慧讓學生得到適合的數學發展

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）》提出“尊重教育規律和學生身心發展規律，為每個學生提供適合的教育”。2011版《義務教育數學課程標準》“課程基本理念”也指出，要面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展。讓每一個學生在數學上得到適合自己的發展，是新時代數學教學應該努力實現的目標，其實現需要教師的數學學科教學智慧。

首先，教師要能夠在現行的班級授課制條件下兼顧每一個學生的學習需要，因材施教。即能根據學生的文化背景、認知風格、學業水平和情緒狀態等方面的差異，設置多樣化的教學目標，提供豐富飽滿的教學內容，創設疑趣情境，激發學生主動思考的積極性。在為學生提供充分自主的學習空間的情況下，能夠根據現場學生學習的具體情況進行差異化的指導。其次，教師能夠根據教學現場的各種生成和變化，隨機應變，因勢利導。既要避免不良后果的產生，還要能夠將不利的局面化為積極的因素，使課堂朝著更為美好的方向發展。

（三）數學教學智慧讓教師職業生活更加幸福

無論從數學知識應用的廣泛性、學生數學學業成績的重要性，還是數學素養于人的發展的重要性來看，數學教師的社會地位在教師中都是較高的。然而數學知識的高度抽象性和邏輯嚴密性又使其成為學習難度最大的學科，給一線數學教師帶來了較大的工作壓力。這一問題的解決需要社會各方協力共為，其根本之道還在于教師教學智慧的發展。富有數學教學智慧的教師的教學效能更高，不僅能勝任教學工作，而且能使學生的學業水平更高，從而贏得學生和家長的更多信任和尊重。富有數學教學智慧的教師還具有敏銳感受、準確判斷生成和變動過程中可能出現的新情勢和新問題的能力，具有把握教育教學時機、處理復雜問題和矛盾的機智，還具有使學生積極投入學校生活、熱愛學習、勇于創造、樂于和他人友好相處、能夠敞開心扉與他人進行心靈對話的魅力。教師的教學智慧使他的教學工作乃至教育生活達到科學與藝術相結合的境界，不僅形成了自己獨特的教學風格，還充分展現了教學活動的迷人魅力。此時，數學課堂不僅是工作的場所，更是享受教書育人的幸福的地方。

參考文獻：

[1]陶行知.陶行知教育名篇[M].北京：教育科學出版社，2005：1.

[2]代欽，松宮哲夫.數學教育史——文化視野下的中國數學教育[M].北京：北京師范大學出版社，2011：82-84.

[3]鮑建生，黃榮金，易凌峰，等.變式教學研究（續）[J].數學教學，2003（2）：6-10.

[4]范良火，黃毅英，蔡金法，等.華人如何學習數學[M].南京：江蘇教育出版社，2005：21.

[5]定仁，徐繼存.教學論研究二十年（1979～1999）[M].北京：人民教育出版社，2001：481.

[6]李建剛.現代教學的理論與實踐[M].濟南：山東教育出版社，1993：527.

[7]邱學華.嘗試、開拓、創新[M].海口：海南出版社，1998：序言.

[8]曹一鳴.中國數學課堂教學模式及其發展研究[M].北京：北京師范大學出版社，2007：16.

[9]鄭毓信.國際視野下的小學數學教育[M].北京：人民教育出版社，2003：187.

[10]代欽.中國的傳統數學教學智慧[J].數學通報，2012（8）：1.

[11]黃愛華，胡愛民.數學教學智慧[J].人民教育，2007（21）：32.

[12]克羅齊.作為思想和行動的歷史[M].田時綱，譯.北京：中國社會科學出版社，2005：4.

[13]古鐵雷斯，伯拉.數學教育心理學研究手冊——過去、現在與未來[M].徐文彬，喻平，孫玲，譯.桂林：廣西師范大學出版社，2009：521.

[14]廖錫元.PCK——使教學最有效的知識[J].教師教育研究，2005（11）：38.

責任編輯：趙赟

*本文系國家社會科學基金“十三五”規劃2019年度教育學一般課題“新中國成立70年小學數學教育發展史研究”（BOA190223）的階段研究成果。

收稿日期：2022-03-09

作者簡介：王九紅，南京市天正小學，正高級教師，博士，江蘇省特級教師，主要研究方向為數學課程與教學論。