適度拓展，深入挖掘，高效聚合

王一平

[摘? 要] 高三教學以復習課為主，首考沖擊下的數學教學，更要注重課堂的有序組織，通過教學環節的優化設計，每節課都應該讓學生有所收獲、有全新的認知，讓學生對數學課堂充滿期待，對數學作業留有余味. 文章從三個案例出發，通過“一題多解，拓展思路，在比較感悟中建構新知”“一題多變，挖掘本質，在層層遞進中提高效率”“多題一解，聚合思維，在反復摸索中尋求共性”三個角度進行相關策略研究，以期讓首考沖擊下的高三數學教學發揮最大功效，讓學生對數學學習始終保持“慣性”與“熱度”.

[關鍵詞] 首考沖擊;數學教學;復習課;策略研究

問題提出

浙江省實施新高考以來，“七選三”和外語共有兩次考試機會，取兩次考試中成績高的一次. 高三第一學期，尤其是后半學期，學校對高三的教學側重點就是外語和“七選三”的首考，對語文、數學兩門課的沖擊比較大.

據了解，多數學校在首考前的一兩個月內，為了更好地應對首考，對語文和數學兩門學科采取減少課時或限制作業量的措施為首考贏得更多的復習時間;而到了首考前半個月左右，有些學校甚至采取停課和不得布置作業的措施，這在很大程度上對語文和數學兩門學科的教學帶來了困難. 同學生平時的交談中不難發現，學生在高三第一個學期的重心都放在首考上，對數學學習可以說是“不溫不火”;到了高三后期，學生在思想上對數學學習肯定有很大的放松，課后在數學學習上幾乎不花時間.

綜上，不管是學校對高三教學的側重方向還是學生的思想認識態度上，作為一線數學教師，我們必須主動出擊，改變以往的教學方式，讓學生始終保持對數學的“激情”，即使在首考前的幾天里，也能在復習首考的高強度下的休息時間里想起還有“數學”這門學科，在復習累的時候能夠拿起數學題目“調節”一下緊張的學習狀態. 因此，我們必須研究首考前的數學課堂，讓學生在課堂上保持高效的學習狀態.

高三教學以復習課為主，首考沖擊下的數學教學，更要注重課堂的有序組織，通過教學環節的優化設計，每節課都應該讓學生有所收獲、有全新的認知，讓學生對數學課堂充滿期待，對數學作業留有余味，真正在心底里愛上數學，變被動學習為主動學習. 首考沖擊下的高三數學教學，如何發揮其最大功效，是我們每個數學教師值得思考的主題.

研究實踐

1. 一題多解，拓展思路，在比較感悟中建構新知

數學作為高中階段最為重要的一門學科，是培養學生邏輯思維能力的重要途徑. 在具體的高中數學課堂教學中，通過一題多解的教學模式，引導學生從多個角度進行思考，并借助于發散思維利用不同的解題方法進行解題，進而促使學生在學習的過程中，拓展解題思路，促進學生全面發展[1]. 一題多解作為數學教學的一種手段，發揮著強有力的作用. 對于一道典型例題，在一節課上僅僅呈現它的多種解法，雖然在一定程度上能開闊學生的視野，但是這些停留在表面上的方法如果不加深入，課堂就變成了多種解法的堆砌，猶如蜻蜓點水，對學生的幫助并不大. 因此，筆者并不贊同在高三教學中對同一道試題呈現五種及以上的解法，解法并不是講得越多越好，而是要恰到好處，適度拓展，讓每個學生都有不同的收獲. 在首考沖擊下的高三數學教學中實施一題多解，在拓展學生思路的前提下，可以讓學生在感悟中構建新知，在完善認知的過程中體會數學不同的情境美、結構美、語言美.

案例1 求2x-2+2x-5的最小值.

這是筆者在高三復習“絕對值不等式”一節課給出的一道例題，整節課以這道例題為主線，讓學生從不同視角思考解答，并引導學生深度思考.

視角1（函數圖像）：畫出函數y=2x-2+2x-5的圖像，圖像最低點的縱坐標即所求的最小值.

思考1：解不等式2x-2+2x-5<5.

思考3：函數圖像法的直觀優越性不言而喻，如何更進一步，快速地畫出函數y=ax+b±cx+d（a≠0，c≠0，bc≠ad）的圖像？

學生體會：函數圖像法是解決最值問題以及求解不等式問題最直觀的武器，充分體現了數形結合和等價轉化等思想.

視角2（絕對值的幾何意義）：令t=2x，則2x-2+2x-5=t-2+t-5，其幾何意義是數軸上表示為t的點到2的距離與到5的距離之和，易知當t在2與5之間運動時（包括端點），其距離之和為定值3，且為最小值.

思考4：（1）求t+1+t-2+t-5的最小值.

（2）求t+2+t+1+t-2+t-5的最小值.

（3）求t+4+t+2+t+1+t-2+t-5的最小值.

思考5：你能利用絕對值的幾何意義求2x-2+2x-5的最小值嗎？

練習：若函數f（x）=x+1+2x+a的最小值為3，則實數a的值為______.

絕對值三角不等式：若a，b∈R，則a-b≤a±b≤a+b. 其幾何意義就是三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

練習：對任意x，y∈R，x-1+x+y-1+-y+2的最小值為______.

思考6：若非零向量a，b滿足a+b=b，則（? ）

A. 2a>2a+b

B. 2a<2a+b

C. 2b>a+2b

D. 2b<a+2b

通過上述兩個思考題（思考6和思考7），學生能清晰地認識到：絕對值三角不等式同樣適用于向量與復數系統，即a-b≤a±b≤a+b;z1-z2≤z1±z2≤z1+z2.

感悟：本節復習課起點低、坡度緩、落腳穩，遵循學生的認知規律（從特殊到一般、從一元到多元、合情推理與類比推理并重），注重數學思想方法的應用和數學核心素養的滲透，通過一道例題的三個視角不斷深入，每個視角都力爭讓學生有所觸動. 通過筆者的引導，在拓展思路的過程中構建新知，使復習課有點新授課的味道，從全方位認識一道例題. 同時，在對比三個視角、三個方法的過程中，讓學生學會選擇，明白每個方法背后蘊含的本質屬性.

2. 一題多變，挖掘本質，在層層遞進中提高效率

高中數學的邏輯性非常強，其重點不在于知識的傳授，而是優化學生的思維. 所以在高中數學教學中教師不能一味提倡“題海戰術”，因為高中數學練習題是永遠做不完的，反復做某題型的練習題對學生并沒有太大用處. 因此，教師需要培養學生舉一反三的能力，把原來的一個練習題變換為多種類型的練習題，鞏固所學知識[2]. 這就需要教師精心備課，合理設計并深入挖掘，提高課堂教學的有效性. 首考沖擊下的高三數學教學，更要關注課堂效率，可以用一個引例串起各種類型的練習題，其中不乏“變”一些新情境、新視角，提供具有一定綜合性的練習題，盡可能吸引學生的眼球，讓學生的探究熱情一直延續下去……

案例2 引例：在平面直角坐標系中，不等式組x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區域的面積是______.

設計意圖：引例主要考查二元一次不等式組的幾何意義——平面區域，作圖可知該平面區域為三角形.

變式1：在平面直角坐標系中，不等式組x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區域內的整點（橫坐標、縱坐標均為整數）有______個.

設計意圖：變式1在引例的基礎上考查整點的個數問題，培養學生分類討論思想，主要涉及計數原理中的分類加法原理.

變式2：直線kx-y-2k+6=0將不等式組x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區域分成面積相等的兩部分，則k=______.

設計意圖：變式2在引例的基礎上考查動直線過定點問題，主要涉及定比分點（本題為中點）問題和兩點斜率公式.

變式3：在平面直角坐標系中，不等式組x+y-a≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區域是三角形，則實數a的取值范圍是______.

設計意圖：變式3在引例的基礎上將條件改為含參不等式組，考查學生的逆向思維.

以上引例和3個變式可以歸為一個題組：線性規劃中的區域問題.

變式4：設x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=2x+y的取值范圍是______.

設計意圖：變式4是最常見的線性規劃問題，屬于基礎題和重點考查題型.

變式5：設x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=2x+y的取值范圍是______.

設計意圖：變式5在變式4的基礎上加了一個絕對值符號，目標函數從直線y=-2x+z變成折線y=-2x+z，難度略有提升.

課堂教學中一學生提出分類討論思想，將變式5變成兩個最常見的線性規劃問題，值得推廣.

變式6：設x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，若目標函數z=ax+y僅在點A（2，6）處取得最大值，則實數a的取值范圍是______.

設計意圖：變式6在變式4的基礎上，將目標函數變成含參函數，考查學生的逆向思維，屬于線性規劃問題中的中檔題.

變式7：設x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，且有無窮多個點（x，y）使得目標函數z=ax+y取得最大值，則實數a的值是______.

設計意圖：變式7在變式6的基礎上，將目標函數的最優解由一個變成無窮多個，它也是變式4的逆向問題.

以上4個變式可以歸為一個題組：約束條件與目標函數均為線性.

變式8：設x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=x2+y2的取值范圍是______.

設計意圖：變式8在變式4的基礎上，目標函數從線性改成非線性，x2+y2的幾何意義是可行域內的點（x，y）與坐標原點（0，0）之間的距離的平方.

設計意圖：變式10在變式9的基礎上，考查“雙勾函數”在給定區間上的值域問題.

變式11：設實數x，y滿足x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=2xy的最大值為______.

設計意圖：變式11在變式4的基礎上，將目標函數的“加法運算”改成“乘法運算”，目標函數從線性變成非線性，難度增加不少，考查學生綜合應用知識的能力.

以上5個變式可以歸為一個題組：約束條件為線性，但目標函數為非線性. 當目標函數為非線性時，關鍵要理解目標函數的代數結構對應的幾何特征. 另外，約束條件為非線性的問題，主要是直線與曲線的位置關系問題，可以放到圓錐曲線中進行講解.

筆者讓學生課后對例題再進行變式，得到了很多意想不到的收獲. 以下呈現部分學生想到的比較好的變式題.

生1：在平面直角坐標系中，不等式組x+y-a≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區域的面積是6，則實數a=______.

生2：直線kx-y-2k+6=0將不等式組x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0表示的平面區域分成面積之比為1∶2的兩部分，則k=______.

生3：設x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=x+y-6的取值范圍是______.

生4：設x，y滿足約束條件x+y-6≥0，x+2y-14≤0，2x+y-10≤0，則z=x2+4y2的取值范圍是______.

感悟：利用一題多變的手段，既節約上課時間，提高課堂效率，充分彰顯了例題的功效，又讓學生在變式題中感悟到“變”的本質、規律與方向. 在變式中循序漸進，在變式中尋找精彩，在變式中挖掘本質，讓學生有躍躍欲試的沖動. 這樣的課堂正是首考沖擊下最需要的，讓學生帶著濃厚的興趣一直延續到課后，對數學學習始終保持思考的狀態. 給學生一個舞臺，學生定能翩翩起舞.

3. 多題一解，聚合思維，在反復摸索中尋求共性

在課改的背景下，在素質教育的引領下，減輕學生的學習負擔，增強學生的數學能力成為數學教師在教學過程中要完成的任務. 多題一解，能很好地減輕學生的學習負擔，對普通高中學生學習數學起著很關鍵的作用. 所謂多題一解，主要指對不同類型的題目，用同一種思維去解題. 可能解題過程中用到的概念、公式或定理不一樣，但是整個解題思維是一致的，這樣的解題方法稱為多題一解[3]. 首考沖擊下的數學教學，時間緊，任務重，要想在同一時間內獲取最大的學習效果，則需要呈現共性試題，達到多題一個思路、一個解法的目的，高效聚合，不失為一種行之有效的教學策略.

案例3 一節課中呈現如下7個試題：

（3）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=（cosA，cosB），n=（a，2c-b），且m∥n. ①求角A的大小;②若a=4，求△ABC面積的最大值.

（4）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=（b+c，a2+bc），n=（b+c，-1），且m⊥n. ①求角A的大小;②若a=3，求△ABC周長的最大值.

（6）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，sin2A+sin2B-sin2C=sinAsinB，c=2，求邊AB上中線長的最大值.

引導學生觀察試題的共性，回想解決問題的常用方法，先選擇其中的兩道試題進行解答，然后再快速解決剩下的試題（未完成的當作課后作業）.

思維過程1：先用余弦定理得到三邊的關系，然后根據題目中的二元目標函數，利用基本不等式求最值.

思維過程2：先根據正弦定理求出三角形外接圓的直徑2R，再利用正弦定理將邊化成角，綜合運用三角形內角和定理、三角公式轉化成Asin（ωx+φ）+b的形式求解.

感悟：實踐證明，引導學生對典型例題解法的總結、回味與提煉，能使學生變“重”解題的數量為“重”解題的質量和解題后的反思，力求做到吃透一道題，掌握一類題，悟出一些方法、道理，讓學生從“題海”中解脫出來. 因此，要引導學生加強多題一解的訓練，尋求一類題的常規解法，重視“通性通法”，淡化“特殊技巧”. 同時，強調學生要注意歸納、掌握大眾化的解題方法，這樣不僅能達到觸類旁通、舉一反三的效果，而且在考試中用常規方法即使解不到底也有利于得分[4]. 可以說，這是首考沖擊下的一種有意義的數學活動，在多次的訓練中，學生的聚合思維也能得到一定的提升.

實踐反思

數學教學中，為了幫助學生理解、掌握和鞏固所學的知識，主要采用解題教學這一手段，與此同時，解題教學還可以用來培養學生的思維能力，提高學生自身解決問題的能力. 因此教師要善于選編一些試題，在教學中注意一題多解、一題多變、多題一解，總結解題經驗，引導學生從“變換”的思維角度去聯想、開拓，縱向挖掘、橫向延伸[5]. 首考沖擊下的高三數學教學，更應該深刻領會一題多解、一題多變、多題一解這三種策略的價值所在. 當然，這三種策略并不是孤立存在的，它們可以交織在一起，讓課堂變得更加絢麗多彩. 作為一線數學教師，我們要研究教材，研究高考，更要研究學生，積極打造“性價比”較高的課堂，讓學生對數學學習始終保持“慣性”與“熱度”，讓學生每天都盼望著數學課，這樣才能降低首考對高三數學教學的沖擊，甚至不產生影響.

參考文獻：

[1]? 宋梅. 基于高中數學一題多解的學習研究[J]. 中學課程輔導（教師通訊），2020（07）：60-61.

[2]? 劉霞. 高中數學教學中“一題多變”的有效運用[J]. 新課程（中學），2015（08）：53.

[3]? 陳緒進. 淺談高中數學多題一解[J]. 中學數學，2011（21）：38-40.

[4]? 張永平. 一題多變與多題一解在高中數學教學中的運用[J]. 中學數學，2012（01）：42.

[5]? 徐學福，房慧. 讓學生做自己的老師——名師講述如何提升學生自主學習能力[M]. 重慶：西南師范大學出版社，2007.