高中數學建模教學中的語言表達能力的培養

劉洋

[摘? 要] 數學建模是高中數學學科核心素養的重要組成部分，在傳統教學中也有著重要的地位，傳統教學中的不足之處在于：學生完成了數學抽象后，要將形成的模型用數學語言清晰地表達出來，而數學語言運用恰恰是一個薄弱環節. 在數學建模的教學中，教師必須高度重視數學語言的價值，要努力引導學生在運用數學語言的基礎上，將數學模型描述得更加清楚，這樣才能讓學生更好地建立數學模型，進而運用數學模型.

[關鍵詞] 高中數學;數學建模;語言表達

數學建模是高中數學學科核心素養的重要組成部分，在傳統教學中也有著重要的地位. 對數學建模教學，很長一段時間里都處于宏觀研究的境地，讓學生研究生活中的實際事例，然后用數學方法對其抽象并表達，最終建立起包括數學概念、規律在內的數學模型，是主要的教學思路. 應當說，這樣的教學取得了一定的效果，但是也暴露出了一些細節上的不足. 例如，在學生完成了數學抽象后，要將形成的模型用數學語言清晰地表達出來，就是教學中容易被忽視但又非常重要的一個環節.

圍繞數學建模進行語言表達能力培養的研究，是一個非常切合實際同時又能夠有效培養學生數學學科核心素養的研究. 數學建模對應的是學生數學學習的過程，學生通過數學建模所建立起來的模型——廣義視角下的數學模型內容是十分豐富的，數學概念與數學規律都被認為是一種數學模型，所以當學生建立起數學模型后，能否準確地運用數學語言來表示自己的學習結果，直接影響著數學知識的有效建構，也影響著學生學習水平的提升;而且從學習心理學的角度來看，培養學生的語言運用能力，實際上就是培養學生的信息輸出能力. 學生在數學建模的過程中所形成的認識在準確轉化為數學語言后，才意味著一個相對完整的學習過程的結束. 所以從這個角度來看，在數學建模中培養學生的語言表達能力，實際上是學習的最后一個重要環節，是學生建構數學知識體系的臨門一腳.

筆者注意到數學建模中學生數學語言表達能力的重要性后，認真進行了研究，獲得了一些新的認識.

數學建模需要重視數學語言的運用

數學模型在學生的認知當中有不同的表征方式，有的是以圖景的形式存在的，如“平面向量”的模型在學生的大腦中就是一條帶有箭頭的直線的表象;有的是以語言的形式存在的，如一些與“形”無關的數學概念，學生在大腦中形成的模型往往就是純粹的數學語言，如“平面上兩點之間的距離”，其計算公式就是，其在學生大腦中形成的模型，就是以這樣的一段語言來表征的，沒有一個形象的圖景，只能依賴數學語言. 這個時候反思曾經的數學教學，可以發現對于這些類型的知識，其實很少有教師基于模型的認識去實施教學，對語言的加工也只局限于學生的記憶而非以之形成模型認知.

實際上，在數學教學中強化建模，本身就有培養數學思維的目的，而且更多的是抽象思維. 從學習心理學的角度來看，抽象思維的加工對象正是語言，離開了語言，抽象思維就無法有效展開，而離開了抽象思維，數學建模也就無法有效展開. 因此，數學建模必須高度重視數學語言的運用. 這個時候再來看數學建模，其就是將實際問題首先轉化為相應的數學問題，即數學模型，然后對這個數學模型進行求解，這個過程就稱為數學建模. 建成數學模型后，再利用其去解決原先的實際問題或新的問題. 分析這一過程，其實也能夠發現，抽象實際事物時靠的就是教師的數學眼光，那么數學眼光從哪里來？自然來自以數學語言為工具的數學思維;解決問題時，本身就需要用數學思維加工問題，并用數學語言表征問題，此時數學語言仍然是無法回避的一個關鍵要素.

因此，在數學建模教學中，教師必須高度重視數學語言的價值，要努力引導學生在運用數學語言的基礎上，將數學模型描述得更加清楚，這樣才能讓學生更好地建立數學模型，進而運用數學模型.

數學建模過程中語言運用能力的培養

在數學建模的過程中，學生數學語言運用能力的培養，是需要理論與實踐共同指導的. 從理論的角度來看，上面已經強調過，那就是數學語言既是數學思維的載體，又是數學思維的具體體現. 斯托利亞爾提出：“數學教學就是數學語言教學！”這樣的判斷對于當前高中數學教學來說，具有醍醐灌頂的作用，而學生能否運用恰當、準確的數學語言有邏輯地表達、交流，也體現了學生數學素養的高低. 由此可見，學會正確、合理地使用數學語言是數學學習的一項基本而重要的任務. 在筆者的實踐中，基于數學建模的數學語言運用能力的培養，主要遵循的思路是：用數學語言驅動數學思維完成數學抽象，在數學建模的過程中完成學生語言向數學語言的轉化.

例如，在“圓的標準方程”的教學中，可以趙州橋為情境素材，讓學生先觀察趙州橋的“圓拱”，然后提出問題：如何求出圓拱所在圓的方程？

這樣一個問題的解決，本身就需要一個數學模型. 學生第一步進行數學抽象很簡單，只要將“圓拱”還原到“圓”當中即可——這里的“圓拱”是生活表述而“圓”是數學概念. 從數學語言運用的角度來看，此處是第一次數學語言的運用，但這個運用對于能力培養而言作用一般，因為憑著生活經驗即可完成這一轉變. 其后，建立直角坐標系并求出圓上某點P（x，y）所滿足的關系式，本質上就是借助于數學語言與數學概念的邏輯關系進行推理的過程，即圓上任意一點到圓心的距離都等于半徑，由此建立起來的關系式就是=r，經由推理后即可得圓的標準方程（具體略）.

從模型的角度來看，學生在情境中運用數學語言提出問題、描述問題，其后又運用數學語言（包括文字語言和圖形語言）去引導數學模型的形成. 尤其是在推理的過程中，學生有可能出現的樸素語言是“到原點（圓心）的距離為定值的點的集合”等，這實際上是從集合的角度對圓進行的定義，屬于數學語言中的文字語言. 在此基礎上向符號語言進行轉化，即在邏輯推理的基礎上得出方程，應當成為運用數學語言的核心環節.

由此也可以發現，數學語言在數學建模過程中的運用，實際上不能局限于文字表述、符號表述，也不能局限于文字或符號對數學規律的描述，更多的應當是文字、符號以及數學邏輯關系的組合運用. 只有形成這樣的認識，才算是真正理解了“數學教學就是數學語言教學”. 這樣的理解，實際上既注重數學語言本身，更注重數學語言之間的邏輯. 在此基礎上可以得出的結論是：只有當學生基于準確的數學邏輯運用數學語言時，才是學生數學語言表達能力養成的時候.

數學建模教學要高度關注關鍵細節

數學建模作為數學學科核心素養中最重要的一個因素，其是對數學研究對象的高度概括，是數學思想方法的集中體現. 對于數學與數學語言的關系，語言學家布龍菲爾德說：“數學是語言所能達到的最高境界.”數學是思維嚴謹的科學，精妙的數學思維包含在豐富多彩的語言中，訓練數學語言的過程就是訓練思維品質的過程，也是培養數學能力的過程.

什么是數學品質？什么又是數學能力？其實這些問題都可以在數學建模的視角下回答：數學品質就是學生在數學建模過程中表現出來的思維品質，數學能力就是學生在數學建模過程中表現出來的知識理解與運用能力. 關注學生在數學建模過程中的語言運用，可以更好地洞察學生數學學習的細節，尤其是當學生已經有了認知但卻無法用準確的數學語言來描述認知時，這實際上就是借助于數學語言培養學生的數學思維，進而提升學生數學品質的過程. 在這樣的過程中，學生可能會有一個語言運用從低階到高階的階段. 在低階，學生對數學語言的運用可能是粗糙的、膚淺的，其中還可能會夾雜著一些生活語言，這種模糊的語言運用，需要得到教師的有效指導，需要向精確的數學語言延伸. 在學生得到數學語言的相關表述后，還應當引導學生進行比較——比較的對象就是自己所組織的語言以及后來所選擇的數學語言，通過比較發現兩者之間的差別，發現自己在語言運用過程中存在的一些不足. 這種帶有反思性質的比較，對于語言表達能力的培養來說，有著重要的促進作用.

綜上所述，高中數學教學中借助于數學建模進行語言能力的培養，是打造高效課堂的重要抓手，是促進數學學科核心素養落地的重要途徑，在實際教學中必須高度重視、悉心研究，如此才能更好地將高中數學傳統教學與現代教學結合起來，從而讓高中數學教學呈現出更加理想的形態.