利用多種手段破除物理錯覺

崔海龍 董書平 章林 汪霞

摘要：本文以一道上海高考物理試題改編題目的解法敘述中的錯覺分析入手，通過常規分析與推導得出一個較為復雜的“速度—角度”關系函數，并通過求導數、desmos作圖工具軟件等新手段進行多角度論證探究，最終對這一物理問題形成直觀的物理圖象和明晰的物理感覺。文章進一步指出，多種手段并用進行科學推理與論證，有利于物理學科核心素養中“科學思維”能力的培養，特別是對于參加“強基計劃”的學生，能幫助其對物理問題形成全方位的認識。

關鍵詞：物理學科 核心素養 科學思維

在高中物理教學與學習中，教師和學生可能對某些問題形成一些直觀判斷，也可稱之為直覺，這些直覺有些是正確的，有些可能是錯誤的，也可稱之為“錯覺”。而如何培養學生正確的物理感覺[1]，需要從題目的初步印象中，發現物理概念和確定的物理意義，構建合適的物理模型，合理運用數學工具進行科學推理與論證，形成令人信服的結果。這一過程，恰恰就是物理學科核心素養中關于科學思維能力的要求，特別對于培養未來參與“強基計劃”的學生尤為重要。

一、一道改編題解題分析過程的錯誤及一個待解疑問

筆者在對一道上海高考試題[2]進行研討時，發現部分類似或改編題目及其解法[3，4，5]。其中，《中學生物理思維方法叢書·類比》2015年第一版第195—196部分內容[3]對這一問題的分析，存在直覺上的錯誤。

原題呈現（1994年上海高考試卷第六大題）[2]：

如圖1，輕質長繩水平地跨在相距2l的兩個小定滑輪A、B上，質量為m物塊懸掛在繩上O點，O與A、B兩滑輪的距離相等。在輕繩兩端C、D分別施加豎直向下的恒力F=mg。先托住物塊，使繩處于水平拉直狀態，靜止釋放物塊，在物塊下落過程中，保持C、D兩端的拉力F不變。

（1）當物塊下落距離h為多大時，物塊的加速度為零？

（2）在物塊下落上述距離的過程中，克服C端恒力F做功W為多少？

（3）求物塊下落過程中的最大速度vm和最大距離H。

改編題及其分析如下[3]：

例題6.31如圖2所示，細繩繞過相距為2l的兩個定滑輪A和B，兩端各掛一個質量為m的物體，在AB的中點C掛一個質量為M的大球，M<2m.開始時用手把球托住，輕輕釋放后，這個球可能達到的最大下降距離是多少？

大球釋放后，開始時球的重力大于AC、BC兩繩中張力的合力，球向下做加速運動。隨著球的下落，AC、BC兩繩中張力的合力增大，球下落的加速度減小，但速度卻不斷增大，當大球下落到某位置滿足條件Mg=2mgcosθ，

即到達靜力平衡位置時（見圖3），大球所受的合力為零，加速度為零，速度達到最大值vmax。接著，大球繼續下落，AC、BC兩繩中張力的合力大于球的重力，大球向下做減速運動（加速度方向向上），且加速度的大小越來越大，下落速度越來越小，直至速度等于零，大球下降到最低點。此后，大球重又向上做加速運動。

以上改編題的分析論述中，認為大球M下落過程中，“當大球下落到某位置滿足條件Mg=2mgcosθ，即到達靜力平衡位置時，大球所受的合力為零，加速度為零，速度達到最大值vmax。”直覺上看似有道理，但仔細思考會發現：“Mg=2mgcosθ時，M到達靜力平衡位置”這個判斷，在改編題的場景中可能有問題。

與改編題不同的是，如圖1所示的高考原題中，只在中間懸掛了質量為m的物塊，兩側并沒有懸掛物塊，而是分別施加豎直向下的恒力F=mg。因此，的確是在mg=2Fcosθ=2mgcosθ時，物塊m的速度達到最大值。但是，圖2所示的改編題與高考原題相比，兩側掛質量為m的物塊，與施加大小等于mg的豎直向下的恒力F之間，顯然存在差別。

實際上，對于改編題（如圖2），對大球M做受力分析易知，Mg-2Fcosθ=Ma1

其中F為兩側繩中拉力大小，a1為M的加速度大小，取豎直向下為正。只有滿足Mg=2Fcosθ，即到達靜力平衡位置時，大球所受的合力為零，加速度為零，速度達到最大值vmax。需要注意的是，此處的靜力平衡條件Mg=2Fcosθ和改編題論述中認為Mg=2mgcosθ達到靜力平衡之間是存在差別的，二者不能直接等同。除非兩根細繩中的張力與物體m的重力相等，即F=F1=F2=mg，二者可以等同。但顯然的是，在剛開始M加速時，m也加速，F>mg，只有當m達到靜力平衡時才有F=mg。

利用多手段探究破除物理錯覺2022年5月中第14期（總第114期）那么，有沒有可能存在這么一種情況，即M向下運動過程中，速度達到最大值時，兩側m的速度也同時達到最大值，從而恰好滿足Mg=2Fcosθ=2mgcosθ？這個待解疑問，我們將在下文中進行探究。

二、常規推理與探究

各物理量標注如圖4所示。當M下落h時，兩邊m同時上升（s-l），由動能定理得：

Mgh-2mg（s-l）=12Mv21+2·12mv22①

其中，v1為M的速度大小，v2為兩側m的速度大小。M和m沿繩方向具有相同的運動速度，故有：

v1cosθ=v2②

其中，θ為M與定滑輪的一段細繩與豎直方向的夾角。

另有：

tanθ=lh③

s·sinθ=l④

解得：

v1=2glMcosθ+2m（sinθ-1）（M+2mcos2θ）sinθ⑤

v2=2glMcosθ+2m（sinθ-1）（M+2mcos2θ）sinθ·cosθ⑥

到了這里，我們精確地寫出了M的速度v1作為θ的函數的表達式。但是，看著這個表達式，我們能得到的直觀信息有限，很難一下子理解問題的本質，難以獲得明晰的物理感覺。因此，我們需要引入新的手段進一步進行推理、論證和探究，建立直觀的物理圖象和明晰的物理感覺。6DD6FEC0-B619-482D-BE5B-2C629997ED3E

三、新手段論證探究

對于M下落過程中的速度v1表達式⑤，如果要探究v1取得極大值時θ滿足的條件，有兩種方法。

一是導數的方法進行定量探究，二是通過作出函數圖象進行直觀探究。

手段1運用求導數方法，探究：“v1取得極大值時θ滿足的條件”及M與兩側m是否同時達到速度最大？

為便于探討，可以設v1=2glf（θ），其中f（θ）=Mcosθ+2m（sinθ-1）（M+2mcos2θ）sinθ0<θ≤π2。

對f（θ）進行求導數處理，過程比較復雜。不妨取一個特別情況M=m=1，則：

f（θ）=cosθ+2（sinθ-1）（1+2cos2θ）sinθ

f′（θ）=

（2cosθ-1）（1+2cos2θ）+4sin2θcosθ[cosθ+2（sinθ-1）]（1+2cos2θ）2sin2θ

當f′（θ）=0時，M下落的速度v1取得極大值。此時，θ滿足的方程為：

2cosθ+4sin2θcosθ1+2cos2θ[cosθ+2（sinθ-1）]=1

我們來嘗試回答上面的疑問，即：有沒有可能存在這么一種情況，即M向下運動過程中，速度達到最大值時，兩側m的速度也同時達到最大值？

不妨設v2=2glφ（θ），其中：φ（θ）=f（θ）cos2θ0<θ≤π2。由復合函數求導規則，易知：

φ′（θ）=f′（θ）cos2θ-2f（θ）sinθcosθ

因為f（θ）≥0，且0<θ≤π2，故當f′（θ）=0時，φ′（θ）<0。即，在M向下運動過程中（θ由90°開始逐漸變小），當M速度達到最大值v1max時，兩側m的速度仍然在變大。因此，M和兩側的m并非同時達到速度的最大值，因而無法恰好滿足Mg=2Fcosθ=2mgcosθ。可見，理性的推導有時優于通常意義下的直觀感覺。

運用導函數的方法，能探究推理出M下落速度達到最大時θ滿足的方程，以及中間的M和兩側的m并非同時達到速度最大的結論，但仍然不夠直觀。為此，我們需要另外的方法，呈現明晰直觀的物理圖象。

手段2運用作圖方法，直觀展示v1θ圖象，并探究：“v1取得極大值時θ滿足的條件”及M與兩側m是否同時達到速度最大？

利用網頁版desmos作圖工具，可以進行作圖。為了方便，我們把式⑤、⑥中的v1和v2歸一化，令v′1=v1gl=2f（θ），v′2=v2gl=2φ（θ），保留M、m作為參量，作出v′1θ和v′2θ的圖象。圖4描繪了m=0.7M（滿足題設M<2m[1]）時的圖象。

從圖5可以明顯看出，在θ由90°開始逐漸變小的過程中，M、m的速度皆是先變大再變小，但是二者的最大值v1max和v2max并非同時出現。而且，v1max先達到，v2max后達到，即不存在M速度達到最大值v1max時，兩側m的速度也同時達到最大值v2max這種情況，因此，也沒有恰好滿足Mg=2Fcosθ=2mgcosθ。由圖5可以看到，當M速度達到最大值時，m仍處于加速運動狀態，此時繩中拉力F>mg，從而Mg=2Fcosθ>2mgcosθ。

M、m在分別達到最大速度后，速度皆逐漸變小，直到M運動到最低點，此時v1=0，v2=0。此后，M向上運動直至到達初始釋放時的位置，這樣往復運動（在不考慮任何運動損耗的理想情況下）。

圖6展示了m=M時v′1θ和v′2θ的圖象。此時，可以看出θ≈67.453°時，M達到最大速度v1max≈0.6212gl。而如果認為Mg=2mgcosθ時M達到最大速度v1max，則對應的cosθ=12，此時θ=60°，這與θ≈67.453°相比，顯然是不對的。

運用作圖方法，可以直觀展示在θ由90°開始逐漸變小過程中的速度大小變化，也可以直觀地看到，在M和m取不同值時，M和兩側的m各自達到速度最大值時θ的取值，幫助學生形成直觀的物理感覺。

四、結語

本文運用導函數和數學作圖等手段進行科學探究與論證，對中間物塊下降和兩側物塊上升過程中的速度問題，進行了多角度的深度探究，糾正了改編題中關于中間物塊下降過程中達到速度最大條件的錯覺，對中間物塊下降過程中達到最大速度和兩側物塊上升過程中達到最大速度的時間先后、大小，及與夾角的關系等問題，形成了理論的堅實認知和直觀的物理圖象，形成了明晰的物理感覺。

數學能提高和加深學生的物理感覺。一方面，是超越高中階段物理學習正常要求的數學推理。雖然在中學階段，對學生學習物理的深度理論推導（如通過導數進行研究等）要求較低或基本不做要求，但是對那些未來準備參加高校“強基計劃”的學生，以高階方法作為工具解決物理問題是必要的。特別是，導數的方法，也是高中數學的重要內容，高水平的學生應該可以熟練掌握和運用。

另一方面，對于數學推導出來的復雜數學關系，運用作圖工具來著展現，可使枯燥的科學推理與論證變得形象、生動、易于理解，有利于物理學科核心素養中科學思維能力的培養，能幫助學習者對物理問題形成全方位的認識，培養學生成為對物理問題有全方位物理感覺的拔尖人才。

參考文獻：

[1]范洪義，吳澤.物理感覺啟蒙讀本[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2018：13.

[2]尹雄杰，張曉順.物理高考題典：壓軸題[M].2版.合肥：中國科學技術大學出版社，2020：1920.

[3]王溢然.中學生物理思維方法叢書：類比[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2015：195197.

[4]程稼夫.中學物理奧林匹克物理教程：力學篇[M].2版.中國科學技術大學出版社，2013：260.

[5]舒幼生.力學[M].北京大學出版社，2005：106.

責任編輯：黃大燦6DD6FEC0-B619-482D-BE5B-2C629997ED3E