聯結思維導學教學模式在高中數學教學中的應用

【摘要】本文論述認知心理學中聯結思維理論在高中數學教學中的應用，闡述基于高中生數學理解的聯結思維導學教學模式的內涵及本質特征，以“雙曲線的第二定義”一課為例，呈現聯結思維導學教學模式的“創設情境，引出問題→探究提煉，解決問題→強化應用，深化理解→總結梳理，拓展升華”等4個教學環節，以及提問質疑、問題導思、新舊知識關聯、知識表征及轉換、變式鞏固、應用遷移、思想方法歸納、思想方法再認知等8個操作要素。

【關鍵詞】聯結思維導學 高中數學 數學理解

【中圖分類號】G63 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2022）11-0113-05

學生數學理解能力較差，問題解決能力較低，是長期以來困擾高中數學教師的難題。在多年高中數學教學實踐中，筆者發現，造成這些難題的主要原因有如下3個方面：一是教師忽視學生在學習過程中的主體地位，沒能從學生認知角度出發，用聯系的觀點看待數學，數學教學只著眼于具體問題，沒有做適當的外延，致使學生的思維無法發散;二是教師忽略學生已有的知識體系，沒能在教學過程中引導學生完成新舊知識的同化或順應;三是忽視學生對知識表征的認知，無法完成知識表征呈現及表征方式間的轉化。為此，筆者在高中數學教學中引入了聯結思維理論，通過實踐研究構建了聯結思維導學教學模式，有效解決了上述問題，取得了突出的教學效果。

一、基于高中生數學理解的聯結思維導學的內涵及本質特征

聯結思維是認知心理學的研究范疇，其本質特征是根據人腦的神經生理特性研究人腦的活動。該理論認為事物之間是相互聯系的，學習是不斷調整知識聯結網絡中知識點聯結權重的過程，通過聯結權重的改變可以得出符合期望的結果。數學理解是指在學習過程中針對某個數學概念、原理，建立起有效的認知結構，并使其融入個人知識體系。通過對二者概念的分析，可見二者之間存在緊密的契合點。基于此，筆者積極探索基于高中生數學理解的聯結思維導學教學模式，這一教學模式的具體內涵是：以聯結思維為基本載體，從高中生的學習狀況及特點出發，以提升學生在學習過程中的數學理解層次及水平、提高學生的學習效率為目的，以優化聯結學習的教學設計為策略，在學生頭腦中建立起相應的認知范式，使新舊知識發生關聯、問題表征得以轉換，以實現知識的遷移與創新，以及數學學科的深度學習。基于高中生數學理解的聯結思維導學教學模式具有如下兩大特征。

一是聯結思維能夠促使新舊知識發生關聯，實現知識的同化與順應。在數學學習過程中，聯結思維能夠幫助學生調動個人認知體系中的舊知識去認識新知識，或通過認知新知識反過來加深對舊知識的理解，使舊知識產生變化進而得到擴張和延伸。如在進行等比數列概念時，筆者首先通過聯結思維引導學生認識等差數列，然后拋出問題：如果將一張A4紙對折，再對折，再對折……依次對折50次，你能用數學式子寫出對折的層數的規律嗎？如果讓你寫出第50次折疊的層數呢？根據問題，學生很快寫出了等差數列的式子，筆者繼續提問：除了等差數列的規律，你還發現了什么其他的規律？應該用什么式子表達？通過如上關聯性的問題，學生總結出了“2，22，23，24…2n”的規律，認識了等比數列的數學遞推關系，進而對等比數列的一般規律有了初步了解。在此基礎上，筆者進一步讓學生將等比數列和等差數列進行關聯性學習，引導學生利用等差數列知識探究等比數列知識，并完成下表（如表1所示）。

在本環節教學中，筆者首先帶領學生回顧與等比數列有聯系的等差數列概念，讓學生認識等比數列與等差數列的聯結關系，讓學生經歷從舊知識到新知識的學習過程，完成了從舊知到新知的關聯性學習，幫助學生在頭腦中形成關于等比數列的知識結構網絡。這不僅加深了學生對等比數列概念的理解，同時發展了學生的知識遷移能力、聯結思維和創新思維。

二是聯結思維能夠促進問題表征方式的轉換，實現知識理解的深化。數學知識的表征有語言敘述、圖形表達、數學符號表述、實物演示等多種方式。在學習過程中，聯結思維是問題表征轉換的紐帶和橋梁，通過不同問題表征的展現和互相轉換過程中不斷加深學生對數學知識本身的理解。如在引導學生理解函數的表征形式時，筆者給出了這樣一個任務：畫出函數y=2x和y=（[12]）x的圖象并觀察兩個函數的區別和聯系，找出兩個函數的不同表征形式。在此過程中，筆者首先讓學生畫出二者的函數圖象，運用聯結思維對兩個圖象進行對比觀察和分析，然后得出二者均可用文字表述、符號表述、圖形表述等3種方式進行表征的結論。如函數y=2x的文字表述為“某種生物細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個……一個這樣的細胞分裂x次后，得到細胞分裂個數為2x”，符號表述為“y=2x”。如此教學，通過采用數形結合、符號與文字相互轉化的聯結思維，學生了解了函數的不同表征方式，加深了對兩個函數的圖象與性質的理解（如表2所示）。

二、構建基于高中生數學理解的聯結思維導學教學模式

近年來，筆者基于本班學生的認知水平、學習特點，結合數學學科特點，將聯結思維作為一種學習方法、策略和工具引入數學教學，調整、優化了教學各個要素的組合方式，使之在整個教學過程中發揮出最大的育人功效，幫助學生深化數學理解的層次，并進一步實現對數學知識的遷移應用。通過多年的教學實踐，筆者探索出了基于高中生數學理解的聯結思維導學教學模式（如圖1所示）。

在采用聯結思維導學教學模式進行教學實踐的過程中，筆者探索出了以學生為主體、教師為主導的“四個教學環節”和“八個操作要素”，其中四個教學環節為“創設情境，引出問題→探究提煉，解決問題→強化應用，深化理解→總結梳理，拓展升華”;八個操作要素為“提問質疑、問題導思、新舊知識關聯、知識表征及轉換、變式鞏固、應用遷移、思想方法歸納、思想方法再認知”。在實踐操作中，四個教學環節具體為：第一環節“創設情境，引出問題”，即依據情境教學法原則和問題中心原則，利用SOLO分類理論提出問題，創設問題情境，激發學生學習興趣、啟迪學生思維;第二環節“探究提煉，解決問題”，即依據生長原則和多通道原則，通過新舊知識的聯結類比，引導學生將新知識或問題與舊知識或問題關聯起來，同時對新知識或問題進行多元表征及表征方式轉換，加深學生對知識或問題的理解，并抽象形成新知識，同時解決問題;第三環節“強化應用，深化理解”，即引導學生對新知識進行辨析和鞏固，通過知識表征方式的不斷轉換加深學生的知識理解層次，實現知識的遷移應用;第四環節“總結梳理，拓展升華”，即引導學生在知識體系內不斷構建新知識或問題的解決思維，歸納出數學方法、形成數學思維，實現知識的創新應用。在教學過程中，筆者讓學生采用聯結思維、合作探究，不斷提出問題、解決問題，然后完成知識應用及知識創新，讓學生在教師不斷點撥、矯正的過程中形成完整的知識結構。

三、聯結思維導學教學模式在教學中的應用

下面，筆者以“雙曲線的第二定義”一課為例，具體闡述聯結思維導學教學模式在數學教學中的應用。

（一）創設情境，引出問題

在本環節中，筆者首先投放例題：點M（x，y）與定點F（2，0）的距離和它到定直線x=[12]的距離之比是常數2，求點M的軌跡方程。根據例題，筆者引導學生自主推導點M的軌跡方程，然后上臺演示解題過程并歸納思路：第一步，設d是點M到直線l的距離，根據題意，所得軌跡就是集合P=[MMFd=2]，即[（x-2） 2+y2x-12=2]，通過化簡得x2-[y23=1]，所以點M的軌跡是以點F（2，0）為右焦點，實軸長、虛軸長分別為2，[23]的雙曲線;第二步，讓學生根據第一步的分析畫出軌跡圖象，同時拋出“所求的軌跡方程中的a，b，c與例題所給的各數量間有什么關系”的問題，引導學生對例題進行聯結性思考。

在本環節中，筆者通過問題情境導入，激發了學生的學習興趣，然后引導學生運用學過的求點的軌跡方程的方法解決實際問題，從而將實際問題數學化。教學中，筆者首先讓學生理解例題的文字表述內容，然后讓學生將文字轉換為圖形、符號，完成了問題表征的轉換;接著利用一個啟發性問題，引導學生將圖形表述、符號表述轉換為文字表述，進一步加深了學生對雙曲線定義及標準方程的理解。

（二）探究提煉，解決問題

根據上一環節的教學情況，筆者進一步對上一環節的例題做出改造，引導學生完成從特殊到一般的聯結性學習過程。例題改為：點M（x，y）與定點F（c，0）的距離和它到定直線lx=[a2c]的距離之比是常數e=[ca]>1，求點M的軌跡方程。教學過程中，首先由學生自主推導，再進行小組內合作交流。通過問題的解決，學生總結、提煉出雙曲線的第二定義：當動點M（x，y）到定點F（c，0）的距離和它到一定直線lx=[a2c]的距離之比是常數e=[ca]>1時，這個動點M（x，y）的軌跡是雙曲線，其中定點F（c，0）是雙曲線的一個焦點，直線lx=[a2c]是雙曲線的一條準線，e（常數）是雙曲線的離心率。

在本環節中，筆者通過引導學生完成從特殊到一般的推導學習過程，然后聯結學生此前學習的橢圓的第二定義及相關概念，學生很快理解了雙曲線的第二定義及相關概念。采用這種聯結類比的教學方法，有助于學生構建完整的知識體系和發散思維的培養。

（三）強化應用，深化理解

為了深化學生對雙曲線的理解，提高應用知識的能力，筆者繼續對上述例題進行改造，例題改為：點M（x，y）與定點F（5，0）的距離和它到定直線lx=[165]的距離之比是常數[54]，求點M的軌跡方程。學習過程中，首先由學生自主完成解題，然后讓學生上臺板書講解，教師針對學生存在的問題進行講評、點撥。

在數學學習中，完成知識的縱向變式和深化是學生掌握新知的一個重要方式，尤其是對數學概念的學習，由于概念是比較抽象的，所以教師應通過問題的多元表征及表征方式的不斷轉換加深學生對概念的理解。在本環節教學中，筆者不僅對例題進行了深入講解，還引導學生認識例題的另外兩種表征方式：①已知雙曲線[x216-y29=1]上的一點P到右焦點的距離為5，則點P到右準線的距離是多少？②已知點A（6，1），F（5，0），在雙曲線[x216-y29=1]上求一點P，使得[PA]+[45][PF]的值最小，并求出最小值。

在本環節教學中，筆者通過不斷改變問題的表征方式深化學生對知識的理解，讓學生在對新知識進行鞏固和辨析的過程中，完成知識的遷移應用。例題的兩個變式都是圍繞雙曲線的第二定義設計的，層層遞進，不僅充分體現了轉化與化歸的數學思想，更深化了教學內涵。

（四）總結梳理，拓展升華

本環節教學中，筆者首先拋出“我們都學到了哪些內容？主要包含哪些知識？運用了哪些思想方法？”等問題，引導學生回顧知識點，進行知識點梳理，并總結出相應的學習方法：一是學習雙曲線的第二定義及應用，應從具體例子出發，完成從特殊到一般的認知過程;二是通過回顧橢圓的第二定義，通過聯結類比探究雙曲線的第二定義。

在這一教學過程中，筆者首先拋出問題，引導學生做聯結性思考，將各有關知識點關聯起來，形成了知識網絡結構，并總結出相應的學習方法，完成了聯結性學習。這既可以使學生進一步明確分析問題、解決問題、遷移問題的思路，又能讓學生在數學思想、數學方法的不斷歸納總結中實現能力、思維的提升。

“雙曲線的第二定義”一課的教學，筆者首先通過數學知識的聯結，讓學生經歷解決從具體實例到特例再到一般例子的學習過程，從橢圓的第二定義入手，靈活地將語言文字、圖形進行相互轉化、聯結，讓學生更加深刻地理解雙曲線的第二定義;緊接著，引導學生利用新知來解決數學的相關問題，在學生自主構建數學知識中，學生進入了獨立思考狀態，而變式的提出更是加深了學生的獨立思考能力和構建能力，從而更好地掌握新的知識，充分體現了數學聯結思想在數學教學中的重要地位。

四、運用聯結思維導學教學模式應遵循的原則

基于高中生數學理解的聯結思維導學教學模式和認知負荷理論，筆者提出了運用該模式應遵循的6條拓展性原則：一是先行組織及聯系原則。在教學過程中，教師應首先開展學情調研工作，在學生已有知識的基礎上開展相關教學活動，使新的學習活動處于學生的最近發展區，以便進行新舊知識的聯結，從而將新知融入個人知識網絡結構，實現知識的同化或順應。二是生長原則。每一個數學知識都有其產生根源和發展軌跡，在實際教學中，教師應該引導學生將新的問題與學生已掌握的舊知識聯系起來，形成知識的新生長點。三是多通道原則。在學習數學知識的過程中，教師應根據學生認知水平和聯結思維，運用多種方式展現知識的外在表征形式，使每一名學生都能根據自己的知識結構獲得新知識，深化學生對知識的理解層次，同時減少認知負荷。四是簡練性原則。在數學教學過程，教師應根據教學實際進行適度的知識表征及適度的新舊知識聯結，不宜過于煩瑣、艱深，以減輕學生的學習負擔，實現學習過程的簡單與有效。五是問題中心原則。在數學教學過程中，教師應該以問題的提出及解決為中心，圍繞問題的發現和探索展開教學，并引導學生用聯系的觀點看待問題，尋找問題解決的突破口。六是情境原則。在數學教學過程中，教師要將數學問題與生活實際場景聯系起來，讓學生在真實情景中感受數學問題，激發學生學習數學知識的興趣，并達到學以致用的目的。

為了深化聯結思維導學教學模式的效果，筆者同時提出了4條操作原則：一是教師應遵循以學生為主體的思想。教學前應充分掌握學情，從學生熟悉的知識出發引出新知識、新問題，引導學生完成新舊知識的聯結，使整個學習過程都處于學生的最近發展區。二是對數學知識的講解應提供多維度的感性認知。數學知識大多以抽象的符號進行呈現，往往缺乏感性的成分不便于學生學習，而豐富的感性材料，如數學模型、數學實驗、數學情境等有利于學生完成圖形、文字、符號等表征方式的相互轉換，有助于學生順利完成新知的學習，教師應在教學中更多地提供學習的感性材料，提高學生的學習興趣。三是教師要有意識地對問題進行變式，提高學生的知識理解水平。變式是知識表征的一種體現，教師應引導學生從文字、符號、圖形等方面去學習知識，然后進行表征方式的轉換，從而進一步深化學生對知識的理解。四是強化對知識的梳理與拓展升華。教師要引導學生進行知識的梳理與歸類，完善個人的知識體系，同時教師要引導學生總結、提煉數學方法、形成數學思想，實現知識遷移應用與創新。

總而言之，進行基于高中生數學理解的聯結思維導學教學模式的探索，是一次改革高中數學教學方法的有益嘗試，是“三新”（新課程、新教材、新高考）改革的題中之意。在此背景下，教師要堅持教學服務于學生的理念，以學生發展為中心，緊抓課堂教學主陣地，通過創新教學方法和教學模式，推動教學結構、教學效果的優化，不斷激發學生的學習興趣和探究熱情，從而促進學生數學學科核心素養的發展。

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作者簡介：李朋（1980— ），陜西武功人，碩士研究生學歷，高級教師，主要研究方向為高中數學課程與教學理論。

（責編 蒙秀溪）