由“分數乘法（三）”的教學談幾種數學思想的滲透

劉萬興

[摘 要]數學思想是人們對數學理論與內容的本質認識，它揭示了數學知識中普遍存在的規律，在小學數學課堂教學中，必須滲透數學思想。在教學中滲透數學思想，也體現了現代數學教育觀和數學素養的新內涵，對提高學生創新思維能力和核心素養具有相當重要的作用和意義。結合北師大2011課標版小學數學五年級下冊“分數乘法（三）”的課堂教學，通過實例闡述極限思想等5種數學思想的滲透。

[關鍵詞]數學思想;數形結合;建模;極限;化歸;數學文化

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0096-03

中小學數學課程在提升學生核心素養、促進學生全面發展方面有著其他學科不可替代的重要作用，是學校課程教育的重要組成部分。小學數學課堂教學不僅要讓學生掌握當代生活和課內外學習中不可或缺的數學知識和數學技能，還要注意培養學生數學思維能力和科學創新能力。《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課程標準”）中指出，數學是人類文化的重要組成部分，數學素養是現代社會每一個公民應該具備的基本素養。學習數學，不僅要學習數學的結果，還要學習數學結果形成過程所蘊含的數學思想方法。這就要求教師必須在數學課堂教學和日常數學活動中不斷地滲透數學思想。

一般來說，數學思想就是指人們對數學的相關理論與內容在本質方面的認識和看法，是從一些比較具體的數學認識過程當中提煉出來的觀點。這些觀點在很大程度上揭示了數學在發展過程中較為普遍的一些規律，直接支配著人們在數學方面的實踐活動。就當下數學界的觀點來說，數學思想包含函數思想、數形結合思想、分類討論思想、方程思想、整體思想、化歸思想、隱含條件思想、類比思想、建模思想、歸納推理思想、極限思想等。此外，數學文化作為數學發展中的重要組成部分，也應該作為一種數學思想，值得師生引起重視。

在教學中滲透數學思想，也體現了現代數學教育觀和數學素養的新內涵，對不斷提高學生創新思維能力和核心素養具有相當重要的作用和意義。這里結合北師大2011課標版小學數學五年級下冊“分數乘法（三）”的課堂教學，談一談極限思想、數形結合思想、化歸思想、模型思想和數學文化思想等5種數學思想在小學數學課堂教學中的滲透策略。

一、在課堂教學中滲透極限思想

極限思想是在長期的社會實踐中產生的。要溯源的話，較早的文獻可以追溯到戰國時期著名思想家莊子的《逍遙游》一文和《天下》一文。 “上下四方有極乎”“無極之外，復無極也”是莊子在宏觀上對極限思維進行的闡述。魏晉南北朝時期的著名數學家劉徽的割圓術，其實也蘊含著極限思想，不過是建立在直觀基礎上的。極限思想在數學中是不可或缺的，在小學階段滲透極限思想，對學生后續的數學發展有著非常重要的作用。

在執教“分數乘法（三）”的過程中，筆者引用《天下》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”創設數學情境，讓學生理解這段話的意思，然后用紙條代替棰，提出問題：每次拿走紙條的一半，剩下的部分占這張紙條的幾分之幾呢？學生通過思考分析，掌握了[12]的[12]可以列式為[12]×[12]，了解了剩下部分占整體的幾分之幾。分子為1，分母越大，則分數越接近0，但永遠也不會為0，，這說明紙條理論上是永遠也拿不完的，讓學生初步感受和體會極限思想。

類似的例子在小學數學教學中還有很多，比如“圓的面積”教學中，把圓形紙片對折后剪開，然后再沿半徑方向等分，分的份數越多，拼起來的圖形就越接近長方形，從而推導出圓的面積公式。還有循環小數的教學、梯形面積公式的推導等例子。

小學生一般比較擅長形象思維，但隨著年齡增長，他們的思維方式也會不斷提升和轉換，因此教師在課堂中也引入極限思想，從形象思維過渡到抽象思維，讓學生用極限思想去觀察現實問題、思考和理解現實問題、解決現實問題，從而提高數學思維能力，提升數學理解能力、數學核心素養和綜合能力，為將來進一步學習數學做好鋪墊。

二、在課堂教學中滲透數形結合思想

數與形作為數學的研究對象由來已久，作為現代數學中最基本的研究對象，它們是緊密聯系的。我們通常把這個聯系叫作數形結合。通常在數學中加上一定條件就可以實現數與形的相互轉化。

數與形反映了數學中的事物在兩個方面不同而又有聯系的屬性。數形結合在日常教學中一般有兩種情況，一種是借助數學圖形來研究數量關系，另一種是借助數量關系來研究圖形特征。概括起來，就是我們常講的把抽象思維和形象思維有機結合起來，把復雜的問題變得簡單，把抽象的問題變得具體，以簡單的問題和具體的問題為基礎，從而達到優化解題過程的目的。

在“分數乘法（三）”一課的教學過程中，筆者首先讓學生理解“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話，并出示圖1。

通過紙條展示數學中的形，讓學生逐步理解1的[12]，[12]的[12]，[14]的[12]……引導學生在數形結合中逐步掌握“求一個數的幾分之幾用乘法計算”和“分數單位乘分數單位的分數乘法”。

其次，在教學[34]×[14]時，筆者出示面積模型，讓學生通過折一折、涂一涂、說一說，直觀了解[34]×[14]是多少，如圖2。

先將單位“1”平均分成4份，涂出其中的3份，表示[34]。在此基礎上再將每1份平均分成4份，每個涂色部分分成的4份中取1份，表示每個涂色部分的[14]，也就是[34]的[14]。從圖上可以直觀地看出[34]×[14]=[316]。

再次，筆者引導學生探究分數乘法。4×4=16，表示單位“1”被平均分成16份，也就是分母乘分母，深色部分表示3個1，也就是分子乘分子，引出[3×14×4 ]這個關鍵步驟，為下一步總結分數乘分數的計算方法做好鋪墊。這樣一來，學生通過直觀的形，看到了具體的數，通過數形結合明白了分數乘分數的算理，突破了這節課的難點。

在小學數學教學中，教師要學會充分利用圖形形象、直觀、便于分析這三個優點，把數與形緊密結合起來，讓學生快速、準確地解決數學問題。

三、滲透化歸思想

課堂上，學生動手折的過程中還出現了如圖3所示的情況：

這個圖形其實先是將單位“1”平均分成4份，取其中的3份，也就是單位“1”的[34]，然后把3份中的每1份又平均分成4份，其中的1份就是[14] 的[14，]即每一份深色部分占單位“1”的[116] ，一共有3個[116]，也就是[316] ，從而引出[14] ×[14] ×3，涉及分數單位乘分數單位的分數乘法。新的分數乘分數的知識通過這樣的分解，巧妙地轉化成了已經學過的分數乘整數的計算。

這就是常說的轉化思想。研究和解決數學問題常常就是將數學問題通過某種變換和轉化，把復雜的數學問題轉化成相對簡單的數學問題，把比較難解決的數學問題轉化成相對容易的數學問題，把還沒有解決或還沒有學過的數學問題轉化成已經解決或已經學過的數學問題。前面提到數與形的相互轉化和后面將要提到的實際問題與數學模型的相互轉化，都是這種思想在教學中的體現。

雞兔同籠問題中假設兔子抬起兩只前爪或者雞將翅膀尖著地，平行四邊形的面積、梯形的面積、三角形的面積計算公式的推導等都是經典例子。在教學中不斷變更問題，先對已知成分進行變形，轉化成已經學習或掌握的熟悉內容進行研究，都是化歸思想在小學數學教學中的具體體現。化歸作為一種重要的數學思想，是學生學習數學的過程中最基本的思維策略和有效的思維方式。在小學數學教學中培養學生運化歸思想來思考問題和解決問題，不但能夠鞏固舊知識，促進對新知識的理解和掌握，而且對提高學生思考和解決問題的水平、提升學生自信心有著非常重要的作用。

四、滲透模型思想

一般來說，人們描述一個實際現象的時候，為了讓描述具有科學性、邏輯性、客觀性和可重復性，就會選用一種大家都覺得比較嚴謹的語言，這種語言也包括數學語言。數學語言當中，針對或參照某種事物的特征或數量關系，近似地表達出數學結構，就是我們所說的數學模型。通常，數學模型的建立是有一定要求的，在建模的過程中，我們要學會將一個現實的問題經過大腦的分析，轉化成一個數學問題，再選用合適的數學思維方法去解決。這不但是一種思考問題的方法，而且是一種運用數學語言的方法，經歷抽象、簡化從而建立能解決實際數學問題和現實問題的一種非常有效的手段。

對小學數學教學和學習來說，建立數學模型的過程，其實就是一個數學化的過程。在本課小結時，筆者出示《九章算術》的相關材料，說明分數乘法運算在中國古代著作《九章算術》中有記載，其法則是“母相乘為法，子相乘為實，實如法而一”，用現代文翻譯過來就是“分母相乘作積的分母，分子相乘作積的分子”。然后，筆者出示[ba]×[dc]，引導學生建立[ba]×[dc=b×da×c]=[bdac]（a、c均不等于0）這樣一個數學模型，從而使分數乘分數的計算法則“兩個分數相乘，分子相乘作積的分子，分母相乘作積的分母”上升到數學模型的高度。這樣能夠幫助學生初步形成建模意識，形成模型思想，提高他們對數學以及與數學相關的其他學科的興趣和應用意識。

五、滲透數學文化思想

“分數乘法（三）”一課的教學中，既滲透了《莊子·天下》中的“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，又引入了《九章算術》中關于分數乘分數的計算方法。在課堂教學中，將教學內容與中國幾千年來優秀的數學和哲學思想結合起來，讓優秀的中華傳統文化得到充分的發揚，從而讓學生感悟中國豐富的傳統文化，讓學生的數學文化素養得到有效提升。

當然，在小學數學課堂教學中，教師一定要精心設計教學方案，把握機會對學生進行數學文化的滲透，努力讓學生在數學學習的過程中切實感受到數學文化的魅力，對數學文化產生認同和共鳴，體會數學的獨特文化品位，體察到其他社會文化和數學文化之間的互動，增強對數學的興趣，提升綜合能力。

六、結語

數學思想和我們一般所說的數學概念和解題技能是不同的，數學技能一般通過一定時間的訓練就能夠掌握，但是數學思想需要教師在教學中長期滲透才能夠形成。培養學生的思維能力是數學教學的核心目標之一，在日常教學中不斷地滲透數學思想不僅可以鍛煉學生的思維能力，還可以提高學生觀察、理解和解決現實中的問題的能力。

教師要不斷加強理論修養，不斷引入源頭活水，在課堂中滲透數學思想，用數學這門學科具有的魅力引導學生逐步走上數學學習、數學研究的道路，使學生在潛移默化中日積月累，通過提升數學素養達到學好數學的目的，讓學生即使忘卻了學習的數學知識，還能用數學的眼光、數學的思維、數學的方法去觀察、理解、解決現實中的問題。

【本文系甘肅省定西市“十四五”規劃課題“基于核心素養下的數學有效課堂教學策略研究”的階段性成果（課題編號：DX[2021]GHB0332）?！?/p>

（責編 楊偲培）