學生數學有序思維的培養探析

張燕美

[摘 要]數學思維是學生思維中的重要組成部分，有序思維則是數學思維品質的獨特體現。教師在教學預設時立足“序”，在操作活動中抓住“序”，在鞏固拓展中體現“序”，可讓學生在認知結構中構建“序”，在知識結構中生長“序”，在數學結構中推進“序”，在思想結構中拓展“序”。

[關鍵詞]小學數學;數學思維;有序思維

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2022）11-0081-03

現代數學與傳統數學有著本質的區別，現代數學著重在教學過程中發展學生的思維，其中，學生思維方法的掌握是重中之重。有序思維是數學素養的核心，本文提出有序思維的培養意在通過探究學生思維中的“序”，找尋更科學的發展學生數學思維品質的方式。

一、關于數學有序思維的部分闡述

有序思維，即解題有方法，思考有條理，是學生能夠按照既定的思維范式，遵循一定的邏輯順序，科學地選擇并運用已形成的數學思想方法去觀察、思考、解決數學問題的一種綜合性的思維方式。

1.有序思維的意義

《義務教育數學課程標準（2011年版）》對小學階段學生的有序思維提出了基本要求——能進行有條理的思考。由此可見，有序思維的培養是小學數學教學的要求。

我們知道，數學知識的發生及發展是有著其獨特的順序的。在教學過程中，我們要關注小學數學教材的編排體系，了解小學數學知識的前后聯系，如此才能在教學時有的放矢，讓學生充分經歷知識的獲得過程。有序思維的培養是兒童認知發展的需求，數學學科則是訓練有序思維、構建有序思維的優秀平臺。小學階段如果能形成有序思維，學生就可以更科學、更系統、更高效地發展數學思維品質。同時，數學高階思維的培養離不開有序思維。有了有序思維，學生的思維才能由單一性變為多面性，由低階轉為高階，由記憶、理解、應用升級為分析、綜合、評價和創造等，從而探究復雜的數學知識。

2.有序思維的特征

有序思維表現出四種基本的特征。

（1）程序性。思維的程序性表現為引導學生的思維由淺入深、由易到繁的過程。

（2）邏輯性。思維的邏輯性表現為在思維的形式、方法和過程中有理有據、有條不紊、層次鮮明、前后一致。如在“眾數”的教學中，筆者將例題的情境改為賣衣服：“觀察某品牌衣服的尺碼銷售圖（圖略），找出服裝店老板下一次應進貨最多的尺碼?！痹诮涍^小組討論后，有學生提出選“中位數100”作為進貨最多的尺碼，有學生選平均數105，還有學生選120（因為該尺碼賣出的最多，說明該身材的人最多）……在這個知識生長點上，學生的思維變得更有邏輯性。

（3）合理性。思維的合理性表現為嚴密的邏輯、正確的結論。具有合理性思維的學生，會用“言必有據”取代“以偏概全”“想當然”，運算和推理的每一步都有充分的理由。

（4）靈活性。思維的靈活性表現為對思維對象進行全面的辯證評估，提出更符合實際情況的思維方法。如在計算[12]+[14]+[18]+[116]+[132]時，有的學生運用“通分”的方法，有的學生運用畫圖的策略，還有的學生運用“轉化”的途徑。

二、關于數學有序思維的培養途徑

“數學是思維的體操。”在小學數學課堂中，教師要注重有序思維的培養，讓數學核心素養不斷提升。

1.在認知結構中構建

數學的認知結構，即學生頭腦中的數學知識是通過自己理解的廣度和深度，再結合自身的感知、思維等特征所形成的具有獨特的內部規律的整體架構。兒童的認知發展具有階段性和順序性，教師要善于利用這種階段性和順序性，準確把握兒童的認知結構，開展有序思維的訓練。

小學數學教材將“認識分數”的知識進行了三個層次的編排：第一層次在三年級上冊，設立的學習目標是在情境中初步認識分數，會讀寫分數及其對應的小數，理解具體分數在不同情境中的意義;第二層次在三年級下冊，設立的學習目標為進一步認識與探索分數和小數之間的關系，并能熟練進行分數和小數的轉化;第三層次在五年級，設立的學習目標為建立單位“1”的概念，完善分數的意義，認識真假分數，熟練轉化分數與除法、分數與小數。三個層次的目標各不相同、各有側重，三個層次的例題編排都遵循從直觀到抽象、從過程到結果的規律。教師要進行有序的解讀，讓學生對分數知識不斷重構。如教學五年級的“認識分數”時，筆者著重研究學生的“最近發展區”，了解他們已有的知識儲備和知識結構，確定三個教學程序。

（1）體會，在觀察與對比中。讓學生自學例題，并給他們提出自學要求。

①說一說：每個圖形中的[14]表示把（? ? ）看作一個整體，平均分成了（? ? ）份，涂色部分表示這樣的（? ? ）份。

②比一比：每個圖形中的異同。

通過對這兩個問題的探究，學生明白了“一個物體”或者“一些物體”都可以看作一個整體。

（2）設計，在思考與操作中。單位“1”的概念必須建立在“有序”的操作中。對此，筆者設計了“創造分數”的展示活動，讓學生自己創造一個分數，并介紹自己的創造過程，最后筆者將學生展示的分數按照一定的標準進行分類。將抽象的概念變成具體的圖形，不僅易于學生理解，還促進了他們有序思維的發展。

（3）鞏固，在表達與訓練中。表達是思維的載體。數學語言表達能力的培養實質是學生分析問題與解決問題的能力的培養。在實際教學中，我們應該堅持在表達與訓練中鞏固學生“有序”的數學思維，以便更有效地培養學生思維的準確性、邏輯性。如筆者在學生掌握了分數的完整概念之后安排鞏固階段，設計的練習不再局限于某個分數的運用訓練，而是注重分數在具體情境中的意義表述，尤其是抓住“單位1”“平均分”等關鍵詞進行設計。

2.在知識結構中生長

數學知識是有序的，但數學知識被分割成一個個知識點分散在教材中。作為小學數學教師，我們要對相同知識、相近知識、相鄰知識進行系統梳理，從知識的板塊入手進行概括直至形成框架，提高學生的結構化意識。同時，教師關注數學知識間的邏輯順序和邏輯結構，既可以幫助自己調整教學目標、重難點的定位，又可以幫助學生轉變思維。

例如，在六年級數學總復習“數的運算”中，可以引導學生勾畫思維導圖（圖略），梳理出“數的運算”的五個主干——口算、估算、筆算的計算方法，計算工具，整數混合運算，分數混合運算和小數混合運算，最后從每個主干中延伸出若干分支。

（1）在思維導圖中完善?！皵敌谓Y合百般好?！彼季S導圖能使各數學知識點之間的并聯關系、串聯關系以及從屬關系一目了然。思維導圖中的五大主干成為五個研究中心，并由此向外延伸出數百個知識點，每個知識點又與中心遙相呼應。點與點之間的聯系增強了學生的立體思維能力，體現出思維的層次性和聯想性。這些點就像放射狀的立體化神經元，構成了學生的數學知識寶庫。

（2）在思維框架中明晰。引導學生完善思維導圖就是在引導學生對思維框架進行架構，讓看似復雜的知識點都緊緊地圍繞著“數的四則運算”和“有序解決方法”的目標，便于學生對數學經驗進行提取，豐富他們的體驗，形成有序的思維框架。

（3）在有序之美中展現。從中心點“數的運算”向四面八方伸展，“枝干”由粗到細，形成線條分明的板塊，構成了一幅多角度的數學思維導圖。對照這樣的思維導圖，學生在復習中能專注從計算方法上去研究整數、分數、小數之間的口算、估算和筆算，形成有序的數學思維。

3.在數學結構中推進

設計有效的數學問題可以引導學生主動思考。小學階段的數學知識環環相扣，在看不見的主線的串聯下，于課堂中采用問題串，把相似的或相同的板塊內容鏈接起來，推進數學課堂教學，最終建立起全面的認知體系，從而加速學生有序思維的培養進程。

（1）啟發式。“問題是探索的動力?！比魏沃R的增長與科學的進步離不開問題的提出。

例如，在教學“兩位數乘兩位數”的計算法則后，筆者設計了一道思考題：□□×□□=1200。并提出3個啟發式的問題。

①認真觀察，在小組內交流你的填法。

②在小組內比較各填法的異同。

③如何不重復、不遺漏地寫出所有的可能？

啟發式的問題使小組內的成員在分享中建構有序的思維，填出所有的可能，從而感受到合作帶來的成就感。

（2）類推式。類推即比照某一事物的某個屬性或某種特征，推測出跟它同類的其他事物的屬性或特征。在類推式的問題串中，學生掌握了一定的研究思路，積累了此類問題的解決經驗后，數學思維就會由特殊轉向一般。

例如，在活動課“探究圖形的規律”中（見下圖），筆者采用類推式的問題串讓學生感悟“當掌握了某個問題的解決方法時，此類問題我們也能順利解決”。

在研究的過程中，學生發現擺1個正方形需要4根小棒，以后每增加1個正方形就增加3根小棒，有三個解決方法：①4+（100-1）×3;②1+100×3;③100×4-99（100個正方形中有99根是共用的，需減去）。此時，筆者提出類推式的問題：“照這樣，擺1000個正方形需要多少根小棒？照這樣，擺n個正方形需要多少根小棒？”學習能力強的學生會總結出“1+3n”的表達式。筆者接著提出：“如果把題目改成‘照這樣，擺n個三角形需要多少根小棒？擺n個正五邊形和擺n個正六邊形分別需要多少根小棒？’呢？”在舉一反三的問題中，筆者由“一個問題”轉為“一類問題”，將數學思想從特殊轉向一般，從淺顯邁向縱深。

4.在思想結構中拓展

數學思想，即人們將現實世界的數學關系或數學理論通過思維活動在意識中的反應結果，它不同于數學的解題思想和方法。數學思想貫穿小學階段的數學學習，為學生的數學知識、技能和素養的生長提供能量。筆者以“多邊形的面積”系列教學為例，從兩個方面滲透數學思想。

（1）數形結合。數學學習離不開數形結合，尤其是平面圖形的探究。在“平行四邊形的面積”的鞏固環節，筆者設計一個問題：“一個平行四邊形相鄰兩條邊的長分別是3厘米和5厘米，高是4厘米，該平行四邊形的面積是多少？應該用哪個數據做底呢？”筆者鼓勵學生在給出的平行四邊形（已經標注相鄰的邊的長度）中畫高，學生通過操作、反思和推理快速找出4厘米的高對應的底。正是給思維插上數形結合的“翅膀”，學生才能在知識的高空中翱翔，幫助學生降低了解決問題的難度，加速了思考的過程，正所謂“一圖開路，思路皆來”。

（2）立足建模。建模思想是數學思想的核心之一，它是指人們在解決問題的過程中先逐步形成解決模式并建立數學模型，再通過數學模型去解決實際問題。在對已知信息的分析、處理與加工中，找出它們的出處和原型，有利于學生舉一反三、觸類旁通。在探究完長方形、正方形、平行四邊形的面積之后，學生逐步建立起“猜想→驗證→結論”的平面（立體）圖形探究程式，在剪、移、拼、思、遷移中將平行四邊形轉化為面積相等的長方形，形成基本的模型，從而為以后探究三角形、梯形、圓等圖形的面積打下堅實的基礎，厘清數學思維的脈絡。

綜上所述，有序思維既能調動學生主動思考的興趣，又能激發創新思維。教師應抓住學生認知發展的規律，結合數學知識螺旋上升、循序漸進的特征，充分認識有序思維的價值，合理地、高效地發揮小學數學的學科特點，探究有序思維的培養策略、培養方式和培養途徑，從而促進數學素養的不斷豐盈。

（責編 覃小慧）