商科《線性代數》案例教學實踐研究

楊浩 董婷 溫道偉

摘要：線性代數的概念很多且抽象，這些概念要求學生仔細和有意識地使用定義，并證明與概念相關的基本陳述，這對商科專業的學生來說具有一定難度。通過典型的商業案例建模，借助具有挑戰性的建模場景讓學生了解這一學科的大多數抽象概念，并鼓勵學生們用自己所學的知識來解決這些問題。通過把線性代數概念和商業案例知識相融合，尋找各個概念之間的聯系，有助于解決線性代數抽象概念多的問題，同時可以提高學生數學思維、理解和實踐應用等方面的能力。本文借助具體的案例實踐來探索如何在線性代數教學中實現這個目標。

關鍵詞：商務案例;線性代數;教學設計;教學過程

（一）引言

對商科學生來說，線性代數往往被認為是一門很難的學科，主要是因為這門學科的概念比較抽象。線性代數包含了豐富的概念，包括線性無關、線性變換、特征理論、向量空間、張成空間、可逆性、秩、核等等，例如，有的人所說的可逆矩陣定理與十幾個等價的概念有關。因此，學生不僅必須自己理解這些概念，而且還必須找出這些概念是如何以及為什么相互聯系的原因。這樣，教學反饋當中充滿了對學生在線性代數中遇到的挑戰和困難的研究也就不足為奇了。為了幫助商科的學生更好理解和掌握線性代數的相關概念，我們嘗試通過使用具體的商業案例建模，旨在向學生介紹一些主要的線性代數概念。 通過商業案例模型，學生可以將在一些涉及不同概念的經驗中所獲得的結果集中在學生發展新策略的關鍵時刻，以此有助于學生在理解線性代數概念方面的成功。在文中以線性方程組所涉及的商業案例來做說明，具體來說：

（二）案例教學內容設計：

眾所周知，對許多商科學生來說，解釋線性方程組的解集是困難的，當系統中的所有變量在每個方程中都不明確時，這個障礙就變得更難克服。這些困難歸因于學生缺乏對變量、函數和集的概念的理解，這些概念在線性代數學習中所涉及的大多數數學結構的構建中扮演著重要的角色。對線性方程組的求解方案的解釋與需要將線性方程組的不同表征系統聯系起來以及使用不同的思維視角有關。其他研究強調了構建連貫的線性方程組求解過程的重要性，包括理解解決方法即過程，解集即對象，以及在線性代數課程中構建的這些結構與其他知識的關系。為了讓學生學習我們打算教給他們的知識，他們必須有對它的需求，而“需求”指的是智力上的需求。與課程設計相關，必要性原則意味著新的概念和技能應該從學生理解和欣賞的問題中產生，這些問題應該在引入概念時向學生展示概念的智力效益。

為了說明這一點，對于線性方程組，我們考慮引入學生們熟悉的商業中心車流量的經典案例：一個城市商業中心有不同的幾個入口。入口處安裝了若干傳感器，以檢測該入口通行的車流數量，每個入口位于不同的方位。在每個十字路口，我們可以考慮有一個環形交叉口，它使整個路段的交通流量持續不斷，并且禁止停車。一條街道可以在不引起交通堵塞的情況下關閉嗎？ 為了避免交通堵塞，允許在街上流通的汽車的最低數量是多少？

每次使用這個問題時，學生們都是從探索道路網絡開始，并試圖發現汽車是如何移動的。在分小組討論了可能性之后，一個轉變發生了。一些小組將注意力集中在十字路口，將其作為描述街道是否可以關閉的關鍵。焦點的變化使學生能夠選擇合適的變量，提出重要的假設。并不是所有的學生都被說服了。為了說服其他人，這些小組中的一些成員進行了長時間的爭論。學生們被迫思考并完善他們的數學論點，直到所有團隊成員都同意。一旦發生這種情況，學生們為每個交點寫一個方程，并認為結果模型為一個線性方程組系統。通過這樣的方式，學生們喚起了線性方程組的概念來承擔問題，并能運用概念識別線性方程組系統的對象來解決問題。

一旦提出的線性方程組系統在課堂上進行討論，教師往往會要求學生嘗試求解它們。求解線性方程組，這對所有學生來說都是一項艱巨的任務。了解了線性方程組概念的學生可以對線性方程組執行一些操作。但是，他們往往會被那么多的方程式和未知數搞糊涂。他們嘗試使用之前學到的方法，這意味著他們能夠將更一般的問題吸收到線性方程組模式中，并在變量、方程和解集之間建立起關系，考慮方程的變換與等式有關，并找到不被認為是解集的解。當求解困難出現時，老師及時引入線性變換的概念，幫助學生反思線性方程組是什么;關于解的方法和解集，對線性方程組和解集的解釋，并構建高斯消元法來解決，并將其與原來的步驟進行比較。通過對學生的求解過程和問題的反思，一些學生在活動開始時表現很困難，但在活動結束后就能積極參與討論。

當學生們重新開始接下來的工作時，他們希望找到這個方程組的多個解，因為它的未知量比方程個數多。每個小組為變量選擇了不同的名稱，因此解決方案集看起來不一樣。 我們將此解釋為，大多數學生在理解交通流的這些活動，并將其作為求解線性方程組的過程。他們對解集中的函數進行了操作，使每個未知數最多依賴于兩個變量，并認為這些函數是通過對方程組進行變換來找到解集的最簡單形式的結果。在這些小組中，有幾個將解決方案集中的參數視為自由變量，并很自然地將它們稱為兩個不同變量的函數。這是一個重要的轉變考慮到這些學生之前接觸過的一個變量函數。他們擴展了函數的應用，使其包含這兩種類型的函數。這證明這些學生對線性方程組理解發展到了泛化線性方程組概念的水平。

根據問題的約束條件來解釋解集對大多數學生來說是一個障礙。這是因為學生需要考慮解集中每個函數中變量的聯合變分。通常，學生只關注作為過程的解決方案集，沒有考慮到在建模問題的背景下所涉及的限制。當他們這樣做時，他們發現很難將這些限制包括到解決方案集中。學生可以在解集中考慮限制條件，并從交通網絡中流通的車輛數量來解釋。因此，他們能夠決定每條街道可以通行的汽車數量。雖然大多數的學生團體參與體驗可以解決和解釋不同類型的系統方程和線性方程組系統應用于不同的非相關的建模問題， 每組中只有少數學生可以解釋和清楚闡釋問題的限制。這些學生可以用類似的論點來解決需要使用限制性線性方程組系統的不同問題。

對于這樣一個商業交通流的案例，學生對于線性方程組知識點的認知，也是不斷加深的，具體可以分為三個階段。首先，聚焦于線性方程組自身，學生們識別變量、方程和等式作為解決方程問題的相關元素。學生可以在簡單的矩陣形式 中操縱變量，他們通過代數表達式和解之間的相等關系來構建方程，作為尋找滿足方程的特定值的手段。 方程之間的關系是表面的，方程之間的聯系是因為它們出現在同一個系統中。 他們不清楚這樣一個事實：解一個方程組意味著找到滿足所有方程的解。 即使他們在他們的求解中使用這一事實，他們也沒有意識到這一點。其次，隨著知識點的講解，學生們對線性方程組的認識提升到不同的線性方程組之間。學生意識到系統中的所有方程都可以被相同的解所滿足。 通過考慮解決方案集和函數方面的多個解決方案，它們可以適應集合和函數的概念。在這種適應過程中，他們開始思考用來解決方程組的過程，即方程的變換，當使用這些概念時，可以幫助他們找到解。 他們將等式與等式聯系起來，因為他們知道等式變換僅僅限于那些滿足等式性質的等式，并且可以找到不同類型系統的解集。 當引入一個約束時，學生能夠確定施加在系統解集上的條件。最后，隨著學生對于線性方程組概念的理解，可以和其他的概念聯系起來。學生可以把方程組看作一個整體; 他們知道系統的解可通過使用等式的性質對方程進行初等變換來找到，通過這些變換方程會發生變化但系統的解集是守恒的。概念的連貫性由學生在適當的變換下識別等價方程組及其解集的不變性的可能性來證明。

（三）結語

通過對《線性代數》案例教學模式的改革實踐，商科學生在線性代數概念的理解和把握方面取得了很大的進步。更多的同學能夠參與到課堂活動中去，學生學習的積極性有著明顯的改善，逐漸完成了從被動接受知識向主動獲取知識的學習方式轉換。他們大多能夠通過構建變量、方程、函數、解法和解集之間的關系來理解線性代數的概念，盡管這些變量、方程、函數、解集之間存在差異。總的來說，所有的學生都從案例模式教學中受益，同時課程也順應了時代需求，朝著培養應用型人才這個目標邁進了一步。

參考文獻：

[1] 董婷，溫道偉，唐志豐.線性代數（本科版）[M].上海交通大學出版社，2020.