淺析高中數學教學中導數問題的應用

邊慧敏

摘要：導數是高中數學中最難掌握的知識之一，如果能用一種行之有效的方式來解決問題，就可以讓學生在數學上取得更好的成績。對導數問題的解題要點進行深入細致的剖析，有助于學生把握其具體含義。了解有關函數之間的差異性，以提升學生對導數知識的總體認識。老師可以從函數極值問題、三角函數問題、切線問題入手，讓學生更好地理解有關案例在數學課堂中的運用。

關鍵詞：導數;高中數學;應用探究

前言

在高中數學教學中，教師可以通過導數問題將學生以前學過的函數概念聯系起來，從而加深對函數思維的理解。近年來，隨著我國高考改革的深入，有關導數問題的研究也越來越困難。為了提高學生的數學認識，提高他們的綜合解題能力。老師們要靈活的運用導數問題，去研究和思考各種數學解題方法。

一、導數問題應用于高中數學教學的意義

1.讓學生理解函數性質

在這一階段，學生們所掌握的導數知識在高中數學課本上占有很大的比重，是一座連接著高數和初等數學的橋梁。在高中數學教學中，教師還可以利用導數來幫助學生了解函數的有關特性。

一般來說，在學習函數時，學生都要知道函數的定義域、單調性、周期性等。而對某些比較復雜的功能圖象，則無法通過描點法進行圖象的學習。在這種情況下，老師可以運用好的導數知識，使學生運用一階導數，來判定整體函數的單調性和極值。接著，再將描點法與問題相結合，使學生在簡單繪圖的同時，更好地理解函數的真實屬性，從而使學生更好地掌握數學知識。

2.培養學生函數思想

高中數學的很多問題都是有難度的，如果學生還按照初中的方法來做，那就沒有任何意義了。在高中數學教學中，教師要注意各種建模思想、數形結合思想、思想轉換的運用特征，運用函數思想使學生從函數的導數性質出發，對具體問題進行分析。充分利用導數的實用功能，使學生理解這些問題的實用方法。通過這種方式，教師可以激發學生函數思想，凸顯新課程的優勢。一般來說，在求解不等式、數列求和、求解某些實際問題時，導數的運用可以幫助學生建立函數模型，并將其應用于求解問題。

3.協助學生學習其它科目

高中數學導數知識具有微積分的核心概念，它與高中物理、化學、生物等學科領域都有很強的聯系。在讓學生們明白了導數的基礎上，他們可以更加容易掌握物理勻速、變速的特性，并且加深對化學課中的反應速度和平衡方程的認識，這樣可以增強學生的綜合科學知識。教師能夠從一種知識開始，使學生的全部理性思考得以發展。

4.培養學生的獨立思考能力

在完成了導數教學的基礎上，學生們將會從一個動態的、無限的變量的角度來看待問題，而這個時候，學生們已經完全拋棄了傳統的固定的數學思維，他們可以從數學的角度，理解變量和變量的相互轉化，從而掌握動和靜的結合。培養學生的辨證思維，提高其邏輯思維能力。

二、導數求解有關數學問題的應用

1.運用導數求解函數最值問題

函數最值問題是高中數學教學中經常碰到的問題。在解題時，應根據函數的有關特性，選擇不同的解法。一般情況下，大部分的學生都會選擇導數法。在教授二次函數的最值問題時，老師要讓學生知道在一定范圍內的極值和極值點，然后利用數形結合的知識來解決問題。但很多學生在使用這種方法的時候，往往會犯下一些錯誤，有些人甚至連區間的單調性還沒進行相關判斷就解答問題。這種學習方式很難讓學生理解此類問題的答案含義，因此，教師必須根據學生的學習方式進行相應的改革。比如，在一數學題目中：在閉區間[-3，0]中，函數f（x）=x-3x+1的最大和最小值是什么？在學生看來，這道題是最值法的基本問題，大部分的解法都是從一個閉區間中得到的。然后將其與端點處的函數值相比較，得到最大值。因此，問題的解法也是f'（x）=3x-3，然后得到 f （-3） f （-1） f （0）的值，通過比較得出最大值為3。

2.在三角函數的求解中運用導數

三角函數具有很大的靈活性，它的各種變式和變換問題是高考試題中經常出現的一個重要問題。同時，在三角函數的教學中，教師要把數形結合起來，讓學生從圖形入手，理解三角函數之間的關系，并根據三角函數在一定范圍內的可變程度，從而得到問題的解答。同時，這種方法也避免了以往復雜的解題方式，老師可以通過引入導數來解決三角函數問題，讓學生在課堂上進行轉換，從而加深對這個問題的理解。

比如數學題目：y=（1+cos2x），求解y'。在看過這個問題后，老師就明白這個問題是一個容易解決的導數問題。在解題時，老師要讓學生按照標準的導數解題方式來解決問題。然而，有些學生對復雜函數的求導規律并不了解，往往會導致一系列的問題。在實際的解題中，有些同學的答案更是離譜。在這種情況下，老師應該對問題進行全面的剖析，找出問題的關鍵所在。為了讓學生更好的理解三角函數，使他們能順利的解決這個問題，首先，老師可以把這個問題轉化成 y=u、u=1+cos2x，然后用方程式來解決這個問題。學生會在轉化的過程中，掌握三角函數的求導方法，并能熟練地解決此類問題。

3.應用導數解決切線問題

在進行幾何相切的教學時，應考慮引入導數的概念，使幾何相切的整體解題更加簡化。通過培養學生對數學問題的認識，最終提高了解題的整體效果。在高中數學教學中，坐標系的切線方程解法是高中生經常碰到的一類難題。在這種情況下，教師必須在適當的時候加入導數的方法，使問題的求解更加簡單。

比如這樣一道數學題目：已知曲線C是y=f（x）的圖像，求經過點P（x0，y0）的曲線切線方程。當看完這道題后，老師要知道，這道題的關鍵就是導數，老師可以在黑板上演示導數的相關概念和公式，然后讓學生仔細觀察這道題的具體情況。在實際的解題中，老師首先要指導學生判斷“ P點在曲線C上嗎？”，然后根據曲線 C的關系得到相應的導數f'（x）。在進行操作時，需要理解某些問題的分類討論，例如： P點是不是在曲線 C上，點P是否為切點等等，這樣，老師就能引導學生就能找到問題解決的兩個分支。在此基礎上，通過對數學問題的分析，使學生能夠更好地理解導數問題的應用。

結語

將導數思維運用于高中數學問題的教學，有助于提高高中生的數學學習水平，使他們更好地理解如何解決相關問題。教師要指導學生理解導數的概念和基本性質，并逐步將其引入三角函數問題，切線問題等解題過程中。通過這種教學方式的變革，提高了高中數學的整體效率，促進了學生在學習過程中對導數問題進行概括式的求解，從而增強了他們的實踐能力。

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