高中數學解析幾何中數形結合思想生成研究

課題項目：文章系福建省教育科學“十四五”規劃2021年度課題《中學解析幾何教學中學生“數學抽象”素養培養策略研究》（課題批準號：FJJKZX21—619）研究成果。

作者簡介：張晨曦（1984～），女，漢族，福建順昌人，福建省順昌縣第一中學，研究方向：高中數學。

摘 要：在當前高中數學課堂內容講述的過程中，解析幾何是當前解題能力得以提升的關鍵，比如邏輯思維能力的提升、數形結合能力的發展、恒等變形能力的知識學習等，在對這些能力培育和發展的過程中有一定的要求和標準。通過數形結合思想的有效滲入，在發展的過程中，對解析幾何題的快速解答具有積極的影響，對當前學生的發展至關重要。為了能夠更好地生成數形結合思想是當前教學發展的主要難題，文章主要根據當前高中數學解析幾何問題，對數形結合思想的相關內容進行分析和研究，進而在此基礎之上提出系統的解決方式，以期為相關人員的發展提供一定的參考和幫助。

關鍵詞：高中數學;解析幾何;數形結合

中圖分類號：G633.65 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8918（2022）18-0074-04

一、引言

進入高中階段以后，學生數學課程壓力進一步增大，對數學這門學科來說所涵蓋的知識點比較復雜，涉及的范圍比較廣泛。為了能夠更好地強化學生知識理解，解析幾何作為其重點的知識，在發展的過程中，對學生自身思維水平的提升、邏輯的發展、整體題意的理解等方面都有重要的影響。在解答期間，學生如果沒有明確、清晰的解題思路，就會對數形結合的應用產生諸多的問題和障礙，通過數形結合的有效運用，能夠對其問題進行合理有效的解答。

二、解析幾何以及數形結合思想的概念分析

幾何在當前的發展的過程中是幾何學的重要分支，主要是運用代數學的方法，對集合對象間的關系及其特性做出判斷。因此，在進行具體的題目分析中，幾何學也被稱之為坐標幾何學，主要可以將其劃分為兩部分：平面分析中幾何、立體分析中幾何學二類，就平面中的幾何解析而言，屬于二維空間上的一種，而對立體解析中幾何而言則是三維中的一種。就其難點而言，由于立體解析幾何較平面解析幾何更煩瑣，在講解的過程中也相應地更加抽象。通常來說，對數學題目的設置來說，并沒有對其明確規定，什么題目應該用數形結合思想，什么時候不需要用，但針對問題種類的不同，在解決的過程中也都有不相同的求解方法與技巧。就數形結合方法而言，對題目類型的不同，在解答的過程中也有不一樣的解題方式和技巧。就數形結合這種方式來看，在對解析幾何進行解答的過程中具有明顯的發展優勢，能夠在一定程度上減少運算量，節約答題的時間，提高解答的正確率。因此，教師一定要教會學生一定的技巧，進而在日常練習的過程中，通過數形結合的思想形成，在遇到類似的解析幾何問題時，能夠根據條件以及問題之間的變量關系以及位置關系進行分析，將數和形進行充分的對應，進而在極短的時間內找到最佳的突破口。事實上，當學生對數形結合這一思想進行充分的掌握和熟練的應用以后，能夠在具體的題目解答中進行舉一反三，在后期遇到相關題目的過程中也能夠更加快速地得出答案。因此，作為高中生，為了能夠更好地提高數學成績，必須要強化對數學思想的培育力度，通過對數形結合思想的有效掌握，進而要對以下關系進行分析：實線以及數軸之間點的對應關系，曲線以及方程之間的對應關系，函數解析式與圖像之間的對應關系，負數以及三角函數等以幾何條件為基礎的相關概念，對題目中的等式以及相關的方程來說，對當前的解析幾何的題目解答具有十分重要的意義和影響。

數形結合法是當前各種解析幾何的重要方式，在學習的過程中，通過對解析幾何本身數與形之間的結合，能夠更快地提高解題速度，數形結合主要是在求最值、圓一類的問題等。進入高中階段以后，除了將數和形作為主要的研究對象以外，與此同時，對數形之間的關系也要進行系統的分析和研究，通過合理有效的運用，對數與形進行充分的認識。數形結合主要是對簡單的數學概念進行系統的了解和把握，進而使數和形的題目在發展期間更加的直觀化、具體化。通過數和圖之間的鮮明對比，進而利用圖形的方式，對數量關系進行直觀具體的呈現。高中生在對圖形問題分析的過程中，對題目中所隱含的一些數量關系一定要進行仔細的分析，深入挖掘，只有這樣才能夠了解更多的解題信息，使其出現的問題能夠更加具體、直觀，更加的簡單，與此同時，在根據題目中的相關數據進行分析和解答的過程中，能夠根據其所隱含的條件找出最優的解決方案。通過對解題信息的深入挖掘，進而使抽象的問題更變得更加簡單、明了。

三、高中數學解析幾何中對數形結合思想的生成研究策略討論

（一）數形結合思想對數和形之間的轉換途徑

首先通過建立相應的空間坐標系，從而對題目中的數量關系加以明確。比如，在學習空間向量這種方式進行解答的過程中，對解析空間幾何的有關試題而言，學生就能夠通過對空間坐標系進行建立，從而在圖形中實現了數量關系的變換，進而通過使用代數計算的方法加以解決。其次，可以將題目中的已知條件進行系統的分析，在經過對問題的思考以后，進而做出正確回答，從而選出合理答案。在對解析幾何中所存在的不等式習題問題進行分析的過程中，學生一定要對整個問題進行分類、討論，根據題目的含義進行圖形的繪制，利用數形結合的方式對題目進行解答。最后，針對數學之中所存在的解析幾何以及函數方面的習題來看，可以根據圖形進行充分的考慮，找出問題的關鍵點，然后得出正確的結論。

（二）數形結合思想的具體應用

一方面，對解析幾何中所存在的不等式習題來看，通過對數形結合概念的發展，在對不等式習題進行剖析與講解的過程中，重點是將不等式的基本性質中所存在的有關內容加以化解，將所熟悉的一些曲線方程以數軸的方式進行呈現，在這期間，對不等式的相關定義域以及值域一定要進行仔細探討，圖形中所出現的交集表示成該不等式的解集。另一方面，通過具體的實踐和研究證明，數形結合的發展能夠對當前的幾何解題具有積極的意義和影響。在對一些圓的題目進行解答的過程中具有極大的幫助，假如圓心與直線之間的距離設d，如果d>r為相離，當d=r為相切，當dR+r時，則確定其關系相離;當d=R+r時，其關系外切;當R-r

通過數形結合思想的發展，能夠對圓心距離直線的相關數值、圓的主要半徑等內容進行進一步的分析，對直線和圓之間的位置關系進行精準的判定，這能更進一步地提高當前學生的解題效率，為后期相關知識的學習奠定扎實的基礎。

（三）對比分析

從當前對數形結合這一思想的運用情況來看，在發展的過程中，對什么情況下會運用到代數的方式，什么情況下運用幾何解法？經過數形結合思想的理念發展，亟須對題目的解題方式進行分析，制定出明確的解題思路框架，并在此基礎上加以分析。對于數形結合思想來說，與當前幾何有著密切的聯系，但是也有著本質上的區別，數形結合的發展主要涵蓋兩個層面，通過形去進行解答數的概念，或者是以數的方式去解決形的相關知識，這種幾何能夠更加直觀。通過利用相關的圖形對問題進行有效的分析和描述，對該問題來說，一方面能夠更好地去解答幾何以外的問題，另一方面對幾何問題本身的概念知識也能夠進行系統的分析。通過圖形的方式去認識和理解當前幾何圖形在具體應用中的內容。通過數形結合法的有效利用，在對解析幾何中的不等式問題進行分析的過程中，主要是將原來的不等式進行細分，進而將其化解成不同的方程，結合方程加以分析。依據其值域、定義域進行解集的得出，總結為：遇到不等式一類題目時，需要將其等價式進行變形，然后根據具體的條件進行外的變量，將其化為曲線的方程式，在坐標軸上一定要進行明確的繪制，將圖形中的交集作為最終的解集。

在對一些解析幾何的軌跡方程題目進行分析時，數形結合這一思想在當前的數學解題中應用范圍非常大，較其他的教學模式來說有突出的優勢。在解答的過程中，通過運用數形結合的方式能夠更好地分析當前題目中的已知問題。若拋物線上y=4x上有兩個動點，將其命名為A和B（都非原點），現在題目中給出已知條件OA⊥OB，OM⊥AB，最后，求點M的軌跡方程是什么？并對其進行進一步的說明，該方程是什么曲線。

解答步驟如下：

直線方程是x=ay+b（其中a≠0），再把這一方程代入進曲線方程y=4x中去，最后得y-4ay-4b=0。另A（x，y），B（x，y），再重新列出一個方程組，為：y+y=4a，yy=-4b。結合題目給出條件得OA⊥OB，最后得出xx+yy=0，也可以將其理解為（ay+b）（ay+b）+yy=0。以此得出-4b+b=0，b=4。直線AB過定點P（4，0）。

假設M（x，y），由題可得OM⊥AB，猜測M的軌跡是以OP為直徑的圓（去除原點）。因此M的軌跡方程為（x-2）+y=4（x≠0）。

在對該類問題進行解答的過程中總結如下：解析幾何的軌跡方程是數形結合思想的一種重要形式，在對這類問題進行解答的過程中，最常見的方法有很多種，比如：直接的方式進行解答、定義的方式、參數的方式、待定系數的方式、代入法等，這都屬于數形結合方法的一些常用方式。凡是看到曲線交點，都可以利用方程進行消參，通過相關定理內容進行關系的建立，由直徑對其所對應的圓周角是直角的軌跡，避開題目中所出現的干擾條件，進而找到最佳的突破口，得出正確的答案。

作為高中的數學教師，亟須強化學生養成好的學習習慣，學會分析、學會轉化，對學生來說要根據數形結合的相關概念知識進行分析，學會靈活運用，而不是一味地背誦，通過對技巧的把握，以此提升解題效率。

（三）自主學習能力的培育

就數學這門學科來說，在發展的過程中具有一定的邏輯性，特別是對一些基本知識進行學習的過程中，題目中所涵蓋的抽象概念比較多，而解析幾何的發展對學生自身邏輯思維水平的提升以及數形結合思想的發展都有一定的要求和標準。因此，只有不斷地培育學生思想意識，使其更加主動地去學習，通過數學結合的方式進行問題的解答。與此同時，在當前的教學工作開展的過程中，學生學習意識以及能力的培育是當前教學工作開展的重點。教師在進行教學期間，對同樣的一個公式或者是知識點進行講解期間一定要確保整個教學的完整性，讓學生通過本章內容的學習，能夠對簡單的知識概念進行深入的理解和吸收，教師也要根據其內容進行方式的制定，進而提高學生自主意識。

就目前的發展情況來看，為了能夠優化當前的教學體驗，亟須激發學生主動學習。另外，可以通過一定的言語對學生進行書本內容的講解，進而使其在教學的過程中能夠主動去提出問題、分析問題，將其帶入具體的教學情境中，確保學生在學習的過程中能夠更加全面，有一個直觀的感受。值得注意的是，高中教師在對學生進行解析幾何題目學習的過程中，針對當前數與形之間的對應關系，進而將其復雜的概念知識進行具體直觀的呈現，進一步實現簡化題目的目的。在減少檢查時間的基礎之上，提高解題效率。此外，針對學生在自主學習過程中所存在的問題需要進行及時的介入和引導，通過一定技巧和分析，針對其所存在的疑惑進行解答，降低難度的同時提高對數學解題的自信心，進而為后期相關概念知識的學習減輕負擔，為數學成績的提升做好鋪墊。

四、數形結合思想的注意事項探究

在進行高中數學題目解答的過程中，通過數形結合思想的高效使用，在一定程度上能夠將復雜的問題進行簡單、具體的呈現。根據具體的圖像可以將整個解題的步驟呈現得更加明晰、簡練，為實際題目的解題速度的發展產生了積極的影響。雖然在使用的過程中有諸多的優勢，但是在進行解答的過程中，為了更好地促使其結果的準確性亟須重視以下問題：

首先，對其圖像的延伸趨向要進行仔細的分析。例如，當a大于1時，x方程a=logx無實解，這一命題的判斷正確與否必須要根據具體的圖像進行分析，在實際解答的過程中，因實數a的變化，y=a以及y=logx的圖像的延伸趨勢也會不一樣，如果a=2方程沒有實數解，如果a=2時，x=2是由方程解得，這說明兩個圖像是向上延伸的方向，并且一定會處于相交的狀態，而且焦點在直線y=x上。

其次，對圖像的生長速度要進行分析。對其題目中的圖像速度進行比較，進而根據圖像進行直觀的確定。針對這一類題型在解答的過程中，首先可以進行猜想，然后再根據數學方法進行歸納法的證明，進而得出正確的答案。在此，對數與形之間的等價轉化一定要引起重視。

最后，對圖像一定要進行仔細的觀察。對有些問題來說，可以通過圖像的形式進行解決，但是也要進行仔細認證的分析，而有些問題很難通過圖像的形式進行直觀的結論得出。為此，在進行分析的過程中一定要重視。另外，就數形結合的教學方式來說，其最根本也是最關鍵的環節就是“結合”，在解題的過程中，由于觀察的角度不同，聯想的范圍和視角也不同，因此，會出現不一樣的“結合”，而這個“結合”如果運用得好，就能夠得出一個較好的解題方式，但是如果“結合”運用得不好就會使得整個解題的過程變得非常的復雜、籠統，而且最終的計算解題結果準確性得不到保障。因此，對“結合”的優劣來說，能夠更加直觀地反映出學生的基礎知識的掌握以及學習能力的高低，也能更加直觀地體現出學生當前思維的靈活性以及創造性。無論是教師還是學生，在進行不同題型解答的過程中，一定要系統地分析、全面地把控。在實際問題解答的過程中，要針對一些常見問題的操作策略以及解題技巧進行分析。總而言之，在進行數形結合思想學習的過程中必須要對其題目中運算的步驟、證明的方式進行系統的把握。只有這樣，才能夠更好地將所學的理論知識與實際問題進行充分的融合，以此完成當前的教學發展目標，使得當前的數學學習任務得以完成，為學生自身數學解題效率的提升、邏輯思維水平的提高等方面創建有利的發展平臺。

五、結語

為了能夠更好地激發學生數學結合的思想發展，在日常教學工作過程中，一定要不斷地創新和優化當前的教學模式和方案。與此同時，確保幾何教學過程中的合理性，一方面能夠促使其學生對數形結合思想的深入了解，另一方面對學生自身獨立思考以及問題解答能力的提升具有深遠的意義和影響，能夠為后期高質量人才的培育奠定基石。

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