問題導向下的高中數學探究式教學范式研究

盛茜

【摘要】在新課程與新高考的大背景下，我們要特別關注對學生數學核心素養的培養，而“問題導向下的探究式教學”是培養學生核心素養的重要課堂教學方式之一.教師在“圓的標準方程”的教學設計中，突出“問題情境”和“問題串”的設計，從數學概念本質、數學邏輯關系、數學活動經驗以及數學直覺等方面出發，發展學生的數學核心素養，提高學生的實踐能力，培養學生的創新意識.

【關鍵詞】問題導向;探究式教學;范式研究

蘇教版高中實驗教材必修二第二章“圓的方程”第一課時“圓的標準方程”是在學習了直線方程之后對曲線方程的學習.作為新授課，其目的就是讓學生在問題情境中明白數學的實用性，在“問題串”的引領下用所學的數學知識解決實際問題.本課采用了“問題情境—學生活動—建構數學—數學運用—回顧反思”的方式來設計教學，在教學設計方面的主要亮點是兩個“問題”，即“問題情境”和“問題串”的設計.

一、“問題情境”設計

“問題情境”如下：已知隧道的截面是半徑為4 m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛，一輛寬為2.7 m、高為3 m的貨車能不能駛入這個隧道？（如圖1）

“問題情境”設計的目的在于引起學生的注意，從情境中發現并抽象出數學問題，進而為解決問題而進行積極的數學活動.這個問題情境來源于實際生活，也是教材中的一道例題.在這個實際情境中，學生的興趣被激發出來，注意力一下子集中起來，從心理學角度來說，學生自然地產生了主動學習的“心向”.因此，“問題情境”設計的核心原則是：有利于學生思維品質的改善，有利于學生探究能力的發展，有利于學生創新意識的培養，充分關注學生數學核心素養的養成過程.因此，教師在創設實際問題情境時應注意問題情境的依托性（適度性）、導向性、探究性.

（一）依托性

問題情境來源于真實的生活，但必須包含明確的數學問題，最重要的是要符合學生的認知特點.車通過隧道問題是學生在生活中較常遇見的問題，而且與本節課的知識點密切相關，因此具備了較好的依托性原則.這樣的情境設計有利于學生展開思維活動，從而有效促使學生進行觀察、歸納、概括、抽象、推理、論證等.在實際授課過程中，絕大部分學生能根據自己的生活實際較好地理解情境，為進一步的學習探究奠定基礎.

（二）導向性

所謂導向性，是指“問題情境”設計時必須突出“問題”這個核心，能引導學生提出相應的數學問題.在這個實際情境中，伴隨著觀察、猜想、抽象等思維活動的展開，逐步將問題集中抽象到“建立圓的方程”這個主題上來，這個實際情境就具有較好的導向性.在實際的課堂教學中，學生能對問題的導向做出相應的回應，順利進入各個環節的探究中去.我們說問題是數學的心臟，問題是思維的核心，沒有問題，思維便無法啟動.

（三）探究性

問題情境具有開放性、新穎性，對學生的思維有一定的挑戰性.因此，設計問題情境時應當充分激發學生的探究欲望.在實際的問題情境中，解決方法多種多樣，學生可以利用平面幾何知識解決問題，也可以利用三角函數知識解決問題……這對于學生來說，有著很好的思維拓展空間，教師利用其在實際授課時激發學生對探究新知識的渴望，也為引出本節課的主題做好鋪墊.

二、“問題串”設計

本節課精心設計了十一個問題，形成“問題串”如下：

問題一：你想利用什么方法解決上述問題？

問題二：考慮解析幾何方法時，我們以半圓的圓心為坐標原點，以直徑所在直線為x軸.這樣，貨車的寬和高分別對應什么？（頂點的橫坐標與縱坐標）（如圖2）

問題三：我們求出哪個量就可以得出結論？（如圖3）

問題四：在初中階段，圓的定義是什么？請畫出圓，并用符號語言表示出來.（如圖4）

問題五：引入平面直角坐標系后，請將上述符號語言轉化為代數方程.（如圖5）

問題六：嘗試總結推導圓的方程的步驟.

問題七：利用解析幾何法解決實際情境中的問題.

問題八：在平面直角坐標系中，以C（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的方程是什么？（如圖6和圖7）

問題九：求圓的標準方程需要幾個獨立的條件？

問題十：請思考實際情境中的問題還有怎樣的解決方法.

問題十一：在解析幾何問題中，一方面我們將“形”的問題轉化為“數”的問題來研究，另一方面還要做什么呢？

每位數學教師都知道，問題是數學學習的根基.只有有效的問題情境設計，才能打開學生的思維“匣子”，從而引導他們進行有效的數學思維活動.本節課用十一個環環相扣的問題串成一條主線貫串整個課堂.這十一個問題的設計遵循了整體性、層次性、探究性的原則.

（一）整體性

常見的新授課教學設計中，一般會設計一個初始問題，然后教師從這個問題出發，引出課堂講解內容，然后就“拋棄”了這個初始問題.有時在講解過程中，教師也會提一些問題，但這些問題往往是“一問一答”式的，隨意性很大，沒有留給學生思考的余地，或者說沒有思考價值.事實上，課堂教學設計應考慮整體性.從問題情境設計的問題開始，到課堂小結設計的問題為止，整堂課的問題設計應當是一個系統的、完整的思維整體，能促使學生不斷深入地思考.一旦課堂問題被分解得很瑣碎，就沒有了整體性，帶給學生的是零碎的知識與技能，不利于培養學生思維的邏輯性和嚴謹性.本節課的十一個問題從問題情境的第一個問題出發，逐步引導學生圍繞本節課的知識結構與思維方式展開，在設計上環環相扣，逐步追問.在第一次解決問題后，教師并沒有就此結束，而是引導學生向思維的更深處發展，最終回歸到對解析幾何本質問題的理解，較好地呈現了思維脈絡的整體一貫性.

（二）層次性

問題的設計應具有層次性，能由淺入深、由表及里地逐步展開.這里的層次不僅包括邏輯上的層次，最主要的是能體現學生思維不斷生成的過程.本節課的十一個問題的設計首先從問題一的開放性問題開始，讓每名學生都“有話可說”，符合新課程理念，兼顧各個不同學習能力層次的學生;其次，從問題二到問題六，引導學生從數的角度解釋問題，開始用數學的思維思考問題、分析問題，從問題七到問題九，用數的方式解決實際的幾何問題，問題十、問題十一則引導學生將實際問題最終抽象成解析幾何的本質問題，達到數學抽象的目的.這樣的設計較好地體現了“問題串”設計得層次分明，有利于學生思維的不斷加深，從而引導學生對數學本質進行探究.在經歷解決問題的整個過程中，學生同時學會了提出問題、分析問題、解決問題的一般方法.

（三）探究性

培養學生的自主探究能力是實施新課程的目的所在.“問題串”設計的好壞決定著能否引導學生進行有效的數學探究.本節課從具體的實際問題出發，逐步設問，引導學生探究出建立“圓的方程”的必要性，進而激發學生進一步去思考建立方程的方法與步驟，然后利用新建立的方程來解決問題.為了有效促進學生理解并掌握圓的方程的建立過程，這十一個問題不斷地在已有的認識基礎上進行推進，探究的內容也越來越深入.

在我們的數學教學中，教師的“教”和學生的“學”都要能夠自然地融入“問題”中去.教師通過設計問題、提出問題來促使學生對問題進行思考，而不是干巴巴地講解知識.學生通過對問題的思考來促進思維活動的形成，從而掌握思考問題的方法，獲得能力提升.學生在不斷地解決各個問題的過程中體驗到學習數學的樂趣，增長了數學知識，最終形成解決問題的能力，為進一步的發展奠定基礎.因此，我們認為數學教學就是提出問題與解決問題的教學，在問題的設計中提升我們的教學能力，在問題解決的過程中發展學生的思維能力.

三、問題——啟發

對于啟發性問題的提出來講，除了要加強對學生個體在課堂學習中自主探究的關注之外，教師對其在課堂上的小組合作探究方式也要給予密切關注，以此來引導學生對所學數學知識做出深入思考.

在系統研究了圓的標準方程后，學生對平面內點、圓之間的位置關系有了深入了解，在此基礎上，可以探討另外一個問題，也就是怎樣結合已知條件求出圓的標準方程.

例題：在一個三角形中，三個頂點的坐標分別為A（5，1），B（7，-3），C（2，-8），求其外接圓方程.

先讓學生獨立思考解決，再讓其以小組形式進行探究分析.

在學生探究出“先求AB，AC 的垂直平分線的方程，然后將這兩條垂直平分線的交點找到，并將圓心順利推導出來，在此基礎上選定一點A，求圓心到點A 的距離，以此來獲得半徑，之后就可以將圓的標準方程推導出來”這一方法后，教師提出以下問題：

大家的解決方式非常好，基于此，請大家思考，在解決這一問題時，主要是將哪一方面作為突破口？

在學生給出什么是三角形的外接圓這一答案后，教師再提問：對于這一方法，應該怎樣命名？

在學生給出幾何法的答案后，教師引導大家結合現有知識經驗思考是否有其他方法，由此來引導學生從代數運算這一角度入手，并提出代數法這一解決方法.學生使用代數法的過程中發現兩個圓的方程相減時進行消元可以獲得一個二元一次方程.基于此，教師可以引導學生結合以往所學知識思考“這個二元一次方程代表的是什么”等問題.

在教學中，教師通過巧妙的設計、提出一些具有啟發性的問題，既可以快速集中學生的課堂注意力，也能夠讓學生在學習新知的過程中，結合教師的追問和引導來對各個學習探究環節進行反思，逐步完善知識結構.

在啟發式問題的指導下，學生的思維形成也會獲得科學引領，促使更多學生在數學課堂上對所學知識與相關問題做出深入探究，還能夠逐漸懂得從不同角度來體會、運用數學知識，全面激活其數學思維.這樣做在幫助學生有效提升數學成績的同時，對其未來更深層次的數學學習探究也有著重要意義，高中數學教師應給予足夠重視.在課堂上，教師大膽、靈活地通過啟發式問題的設計來優化數學探究式課堂的構建，在提升課堂活躍度的同時能促進課堂教學實效性的顯著提升.

四、教學反思

問題導向下的高中數學探究式課堂，在具體開展過程中，不論是對數學知識的構建、學習能力的形成，還是數學意識、良好習慣的培養都發揮著重要作用.而要想使這些作用可以得到充分發揮，就必須保證問題設計及提出的科學合理性.

在問題設計中，教師要對學生的數學基礎、考試要求做充分考慮，找到其中的平衡點，只有圍繞這一平衡點來進行數學探究式課堂的構建才能夠保障教學的有效性，在提升學生數學成績的同時鍛煉其學習能力.這樣做也是促進教師自身專業成長的關鍵點.

在數學教學中，數學意識的培養是極為重要的.通過本次對圓的標準方程教學案例的分析可以發現：數學成績較好的學生大多可以將下一步的學習方向快速判斷出來，但學困生大多缺少這種意識.所以，在之后的教學設計中，教師要對學生數學意識的科學培養給予足夠重視.

本節課作為一節新授課，過程性評價效果較好，但是相關的具體評價研究，比如最后總結性評價，還有待進一步展開.只有學生的數學思維能力提高了，核心素養真正落實到位了，這樣的教學設計才稱得上有效.

【參考文獻】

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