在高中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想的幾點(diǎn)思考

程新益

摘要：隨著我國課程改革的持續(xù)推進(jìn)，對教學(xué)質(zhì)量的要求也正不斷提升，數(shù)學(xué)是三大主課之一，其對于提高學(xué)生的成績、邏輯思維等皆具有重要意義.但由于傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術(shù)”已很難滿足現(xiàn)代高中數(shù)學(xué)的教學(xué)需求，因此，高中的數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)對自己的教學(xué)方式、方案等進(jìn)行改善，不斷提升學(xué)生的解題能力，為學(xué)生的高考奠定基礎(chǔ).本文主要闡述在高中數(shù)學(xué)解題過程中，采用轉(zhuǎn)化思想的作用和方法，并以實(shí)例對所提出的方法進(jìn)行佐證，希望能為有關(guān)人員提供參考.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);轉(zhuǎn)化思想;解題;方法策略

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2022）18-0052-03

高中數(shù)學(xué)的教學(xué)重點(diǎn)不僅僅只是讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和理論，其實(shí)踐性和難度都比初中數(shù)學(xué)高得多，因此，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，不應(yīng)只讓學(xué)生通過“刷題”來提升自己的解題能力，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)思想融入教學(xué)過程中，讓學(xué)生能夠捕捉到解題的方法、重點(diǎn)、思維，快速高效的進(jìn)行解題.轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題思想的重要思想，其可將復(fù)雜的問題簡單化，陌生問題熟悉化，有助于學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的提升，良好的解題習(xí)慣也會(huì)隨之逐漸形成，進(jìn)而能撬動(dòng)學(xué)生的思維，在啟智明理中促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，從而提高教學(xué)質(zhì)效.

1 轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的意義

高中數(shù)學(xué)題目（尤其是理科數(shù)學(xué)）的難度和抽象性皆明顯高于初中數(shù)學(xué)，學(xué)生在解題過程中，教師可以將轉(zhuǎn)化思想運(yùn)用于解題過程中，進(jìn)而達(dá)到快速解題的目的.轉(zhuǎn)化思想要求學(xué)生通過側(cè)面或反面整理解題思路，尋找突破口，把復(fù)雜、抽象、困難的問題轉(zhuǎn)變?yōu)槌梢粋€(gè)或若干個(gè)自己熟知的或能解決的問題.在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，大部分學(xué)生會(huì)將一個(gè)較難的問題通過分解、變形、代換、平移、旋轉(zhuǎn)、伸縮等多種方式，將之轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)自己熟悉的基本的問題，從而求出答案.在解答一元二次方程時(shí)，學(xué)生可以將一元二次方程通過因式分解轉(zhuǎn)化為一元一次方程.

2 在數(shù)學(xué)解題過程中利用轉(zhuǎn)化思想的策略

2.1 將復(fù)雜問題簡單化

復(fù)雜問題簡單化，可以是一個(gè)數(shù)學(xué)公式，一個(gè)數(shù)學(xué)概念，一個(gè)數(shù)學(xué)定義，也可以是有關(guān)數(shù)學(xué)公式的記憶，數(shù)學(xué)定義的證明等等.下面我就如何簡單數(shù)學(xué)問題說我的幾點(diǎn)看法： 一、用自己熟悉的、精簡的語言闡述數(shù)學(xué)概念和定義.這樣有利于加強(qiáng)概念、定義的理解和記憶.比如，在我講拋物線方程的時(shí)候，拋物線方程與焦點(diǎn)位置有密切關(guān)系，拋物線方程一次項(xiàng)即是焦點(diǎn)所在位置.而切拋物線的焦點(diǎn)與拋物線方程的系數(shù)的四分之一倍數(shù)有關(guān).這里我用自己的語言向同學(xué)們總結(jié).拋物線的方程要么是x2等于好多y，要么是y2等于好多x，這主要就看焦點(diǎn)位置了，如焦點(diǎn)在x軸，一次項(xiàng)就是x，所以方程就是y2等于好多x.以次類推.當(dāng)面臨一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜直接解答會(huì)難以上手的問題時(shí)，可將該問題劃分為一個(gè)或多個(gè)簡單的問題，逐個(gè)解答.例如以下題目：

2.2 將常量轉(zhuǎn)變?yōu)樽宰兞?/p>

變量轉(zhuǎn)化多用于含有X未知數(shù)的不等式問題，在做該類題目時(shí)，需根據(jù)題目的條件求出參變量的取值范圍，雖然該類題目的做題方法多，即：對其分類討論、數(shù)形結(jié)合、分離參數(shù)、利用函數(shù)性質(zhì)，但次過程較為復(fù)雜，出錯(cuò)了較高，若能使用變量轉(zhuǎn)化則可事半功倍.例如以下例題：

例1設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，A={（x，y） ∣x=n，y=na+b，n ∈ z}， B={（x，y）∣x=m，y=3m2+15，m ∈z，}C={（x，y） ∣x2+y2≤144}是否存在a，b使得（1）A∩B≠;（2）（a，b） ∈ C同時(shí)成立.

方法一假設(shè)存在（x，y）∈A∩B，則相應(yīng)的直線y=ax+b與拋物線y=3x2+15有公共點(diǎn).

即：y=ax+by=3x2+15得3x2+15=ax+b

△=a2-12（5-b） ≥0，即-a2≤12b-180，

a2+b2≤144兩不等式相加得b2≤12b-36，即（b-6）2≤0，故b=6.把b=6代入得a2≥108與a2≤108.所以a2=108，所以a=63或a=- 63，

b=6.再代入原方程得3x2±63+9=0解得x=±3 Z，所以a，b不存在.

方法二當(dāng)然對于式子3x2+15=ax+b即ax+b-（3x2+15）=0，則式子ax+b-（3x2+15）=0可看作以a，b為變量的直線方程，又因?yàn)椋╝，b）∈C即a2+b2≤144也可看作以a，b為變量的圓及圓內(nèi)的點(diǎn)，探究該直線與圓的位置關(guān)系圓心到直線的距離：

d=3x2+15x2+1=3（x2+1+4x2+1）≥12（但當(dāng)且僅當(dāng)x2+1=4x2+1，

即x=±3時(shí)取等號(hào)而x∈z但±3z，

所以a，b不存在.

分析以該題為例，解法一采用X為變量，帶入過程較為復(fù)雜，計(jì)算量大，學(xué)生在解題的過程中，容易出現(xiàn)作物;而解法二是將a、b等轉(zhuǎn)變?yōu)樽兞浚瑢作為常量，轉(zhuǎn)化思維，解題過程簡單易懂，由此看出解決此題選a，b為變量，x為常量同樣是可以找到一種優(yōu)質(zhì)的解法.如何設(shè)定主元，對學(xué)生的思維能力的要求較高，主元選定之后，有助于用方程或函數(shù)思想來解決問題.

2.3 將抽象問題形象化

學(xué)生在解答抽象問題時(shí)，往往會(huì)出現(xiàn)找不到解題思路的情況，尤其是函數(shù)問題，此時(shí)便可采取抽象問題形象化的解題方法解決，將抽象問題形象化主要有換元法、湊合法、待定系數(shù)法、利用函數(shù)性質(zhì)法等.

2.3.1 換元法

即用中間變量表示原自變量x的代數(shù)式，從而求出f（x），這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力.

例2已知 f（xx+1）=2x+1，求f（x）.

解題過程設(shè)xx+1=u，則x=u1-u

∴f（u）=2u1-u+1=2-u1-u

∴f（x）=2-x1-x

分析該問題從直觀上將屬于一道抽象函數(shù)問題，常規(guī)的方程解法其過程相對抽象和復(fù)雜，設(shè)xx+1=u，x換為u采用抽象問題形象化，能夠?qū)㈦y題、怪題或超出課程范圍的題目轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題，將問題形象化，方便解題.

2.3.2 湊合法

該方法是在已知f（g（x））=h（x）的條件下，把h（x）并湊成以g（u）表示的代數(shù)式，再利用代換即可求f（x）.此解法簡潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法.

例3已知f（x+1x）=x3+1x3，求f（x）.

解析∵f（x+1x）=（x+1x）（x2-1+1x2）=（x+1x）（（x+1x）2-3）

又∵|x+1x|=|x|+1x≥1，

∴f（x）=x（x2-3）=x3-3x，（|x|≥1）

2.3.3 待定系數(shù)法

先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由已知條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù).

例4已知f（x）二次實(shí)函數(shù)，且f（x+1）+f（x-1）=x2+2x+4，求f（x）.

解析設(shè)f（x）=ax2+bx+c，則f（x+1）+f（x-1）=a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x-1）2+b（x-1）+c=2ax2+2bx+2（a+c）=x2+2x+4比較系數(shù)得2（a+c）=42a=12b=2a=12，b=1，c=32∴f（x）=12x2+x+32

2.3.4 利用函數(shù)性質(zhì)法

主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式.

例題已知y=f（x）為奇函數(shù)，當(dāng) x>0時(shí)，f（x）=lg（x+1），求f（x）.

解析

∵f（x）為奇函數(shù)，

∴f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故先求x<0時(shí)的表達(dá)式.

∵-x>0，

∴f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x），

∵f（x）為奇函數(shù)，∴l(xiāng)g（1-x）=f（-x）=-f（x）

∴當(dāng)x<0時(shí)f（x）=-lg（1-x）

∴f（x）=lg（1+x），x≥0-lg（1-x），x<0

2.4 靜態(tài)問題動(dòng)態(tài)化

部分?jǐn)?shù)學(xué)問題在以靜態(tài)的思路進(jìn)行解題可得出結(jié)果，但過程復(fù)雜，學(xué)生在做題過程中容易出錯(cuò)，因此，在做該類題目時(shí)，可將靜態(tài)問題動(dòng)態(tài)化，即：通過研究變動(dòng)情況對題目可能出現(xiàn)的特殊情況進(jìn)行分析，進(jìn)而簡化解題過程，防止錯(cuò)誤的發(fā)生.

例5設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓x29+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn).已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值.

解題過程解①若∠PF2F1=90°.

則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，

又∵|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=25，

解得|PF1|=143，|PF2|=43，∴|PF1||PF2|=72.

②若∠F1PF2=90°，則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，

∴|PF1|2+（6-|PF1|）2=20，

∴|PF1|=4，|PF2|=2，∴（|PF1||PF2|=2.

綜上知，|PF1||PF2|=

72或2.

分析改題目的直角位置為得到確定，因此，在解題過程中，我們需要先確定直角可以確定的位置，在以分類的方式對直角的位置進(jìn)行確定，最后對所有可能出現(xiàn)的可能進(jìn)行匯總，進(jìn)而得出范圍.解答問題則可要讓，F(xiàn)1和F2動(dòng)起來，對其進(jìn)行分類討論，以提高解題的效率.

轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)解題思想中的重要部分，其可將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，抽象問題轉(zhuǎn)化為具象問題等，可幫助學(xué)生提升解題效率，降低錯(cuò)誤率的發(fā)生，對于學(xué)生提高成績具有重要意義.其次，轉(zhuǎn)化思想可有效鍛煉學(xué)生的思維邏輯能力，提升其做題的嚴(yán)謹(jǐn)性，進(jìn)而使其做事的思維能力、嚴(yán)謹(jǐn)性得以有效提升，為其未來的發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).因此，高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，應(yīng)將該思想廣泛運(yùn)用，幫助學(xué)生領(lǐng)悟解題方法，掌握解題能力，為其高考提供堅(jiān)實(shí)保障.

參考文獻(xiàn)：

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[責(zé)任編輯：李璟]