在高中數學解題中應用轉化思想的幾點思考

程新益

摘要：隨著我國課程改革的持續推進，對教學質量的要求也正不斷提升，數學是三大主課之一，其對于提高學生的成績、邏輯思維等皆具有重要意義.但由于傳統的“題海戰術”已很難滿足現代高中數學的教學需求，因此，高中的數學教師應當對自己的教學方式、方案等進行改善，不斷提升學生的解題能力，為學生的高考奠定基礎.本文主要闡述在高中數學解題過程中，采用轉化思想的作用和方法，并以實例對所提出的方法進行佐證，希望能為有關人員提供參考.

關鍵詞：高中數學;轉化思想;解題;方法策略

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2022）18-0052-03

高中數學的教學重點不僅僅只是讓學生掌握數學的基本知識和理論，其實踐性和難度都比初中數學高得多，因此，在高中數學的教學過程中，不應只讓學生通過“刷題”來提升自己的解題能力，教師應將數學思維、數學思想融入教學過程中，讓學生能夠捕捉到解題的方法、重點、思維，快速高效的進行解題.轉化思想是數學解題思想的重要思想，其可將復雜的問題簡單化，陌生問題熟悉化，有助于學生思維嚴謹性的提升，良好的解題習慣也會隨之逐漸形成，進而能撬動學生的思維，在啟智明理中促進學生自主學習，從而提高教學質效.

1 轉化思想在高中數學解題中的意義

高中數學題目（尤其是理科數學）的難度和抽象性皆明顯高于初中數學，學生在解題過程中，教師可以將轉化思想運用于解題過程中，進而達到快速解題的目的.轉化思想要求學生通過側面或反面整理解題思路，尋找突破口，把復雜、抽象、困難的問題轉變為成一個或若干個自己熟知的或能解決的問題.在學習數學的過程中，大部分學生會將一個較難的問題通過分解、變形、代換、平移、旋轉、伸縮等多種方式，將之轉化為一個或幾個自己熟悉的基本的問題，從而求出答案.在解答一元二次方程時，學生可以將一元二次方程通過因式分解轉化為一元一次方程.

2 在數學解題過程中利用轉化思想的策略

2.1 將復雜問題簡單化

復雜問題簡單化，可以是一個數學公式，一個數學概念，一個數學定義，也可以是有關數學公式的記憶，數學定義的證明等等.下面我就如何簡單數學問題說我的幾點看法： 一、用自己熟悉的、精簡的語言闡述數學概念和定義.這樣有利于加強概念、定義的理解和記憶.比如，在我講拋物線方程的時候，拋物線方程與焦點位置有密切關系，拋物線方程一次項即是焦點所在位置.而切拋物線的焦點與拋物線方程的系數的四分之一倍數有關.這里我用自己的語言向同學們總結.拋物線的方程要么是x2等于好多y，要么是y2等于好多x，這主要就看焦點位置了，如焦點在x軸，一次項就是x，所以方程就是y2等于好多x.以次類推.當面臨一道結構復雜直接解答會難以上手的問題時，可將該問題劃分為一個或多個簡單的問題，逐個解答.例如以下題目：

2.2 將常量轉變為自變量

變量轉化多用于含有X未知數的不等式問題，在做該類題目時，需根據題目的條件求出參變量的取值范圍，雖然該類題目的做題方法多，即：對其分類討論、數形結合、分離參數、利用函數性質，但次過程較為復雜，出錯了較高，若能使用變量轉化則可事半功倍.例如以下例題：

例1設a，b是兩個實數，A={（x，y） ∣x=n，y=na+b，n ∈ z}， B={（x，y）∣x=m，y=3m2+15，m ∈z，}C={（x，y） ∣x2+y2≤144}是否存在a，b使得（1）A∩B≠;（2）（a，b） ∈ C同時成立.

方法一假設存在（x，y）∈A∩B，則相應的直線y=ax+b與拋物線y=3x2+15有公共點.

即：y=ax+by=3x2+15得3x2+15=ax+b

△=a2-12（5-b） ≥0，即-a2≤12b-180，

a2+b2≤144兩不等式相加得b2≤12b-36，即（b-6）2≤0，故b=6.把b=6代入得a2≥108與a2≤108.所以a2=108，所以a=63或a=- 63，

b=6.再代入原方程得3x2±63+9=0解得x=±3 Z，所以a，b不存在.

方法二當然對于式子3x2+15=ax+b即ax+b-（3x2+15）=0，則式子ax+b-（3x2+15）=0可看作以a，b為變量的直線方程，又因為（a，b）∈C即a2+b2≤144也可看作以a，b為變量的圓及圓內的點，探究該直線與圓的位置關系圓心到直線的距離：

d=3x2+15x2+1=3（x2+1+4x2+1）≥12（但當且僅當x2+1=4x2+1，

即x=±3時取等號而x∈z但±3z，

所以a，b不存在.

分析以該題為例，解法一采用X為變量，帶入過程較為復雜，計算量大，學生在解題的過程中，容易出現作物;而解法二是將a、b等轉變為變量，將X作為常量，轉化思維，解題過程簡單易懂，由此看出解決此題選a，b為變量，x為常量同樣是可以找到一種優質的解法.如何設定主元，對學生的思維能力的要求較高，主元選定之后，有助于用方程或函數思想來解決問題.

2.3 將抽象問題形象化

學生在解答抽象問題時，往往會出現找不到解題思路的情況，尤其是函數問題，此時便可采取抽象問題形象化的解題方法解決，將抽象問題形象化主要有換元法、湊合法、待定系數法、利用函數性質法等.

2.3.1 換元法

即用中間變量表示原自變量x的代數式，從而求出f（x），這也是證某些公式或等式常用的方法，此法解培養學生的靈活性及變形能力.

例2已知 f（xx+1）=2x+1，求f（x）.

解題過程設xx+1=u，則x=u1-u

∴f（u）=2u1-u+1=2-u1-u

∴f（x）=2-x1-x

分析該問題從直觀上將屬于一道抽象函數問題，常規的方程解法其過程相對抽象和復雜，設xx+1=u，x換為u采用抽象問題形象化，能夠將難題、怪題或超出課程范圍的題目轉化為簡單、熟悉的問題，將問題形象化，方便解題.

2.3.2 湊合法

該方法是在已知f（g（x））=h（x）的條件下，把h（x）并湊成以g（u）表示的代數式，再利用代換即可求f（x）.此解法簡潔，還能進一步復習代換法.

例3已知f（x+1x）=x3+1x3，求f（x）.

解析∵f（x+1x）=（x+1x）（x2-1+1x2）=（x+1x）（（x+1x）2-3）

又∵|x+1x|=|x|+1x≥1，

∴f（x）=x（x2-3）=x3-3x，（|x|≥1）

2.3.3 待定系數法

先確定函數類型，設定函數關系式，再由已知條件，定出關系式中的未知系數.

例4已知f（x）二次實函數，且f（x+1）+f（x-1）=x2+2x+4，求f（x）.

解析設f（x）=ax2+bx+c，則f（x+1）+f（x-1）=a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x-1）2+b（x-1）+c=2ax2+2bx+2（a+c）=x2+2x+4比較系數得2（a+c）=42a=12b=2a=12，b=1，c=32∴f（x）=12x2+x+32

2.3.4 利用函數性質法

主要利用函數的奇偶性，求分段函數的解析式.

例題已知y=f（x）為奇函數，當 x>0時，f（x）=lg（x+1），求f（x）.

解析

∵f（x）為奇函數，

∴f（x）的定義域關于原點對稱，故先求x<0時的表達式.

∵-x>0，

∴f（-x）=lg（-x+1）=lg（1-x），

∵f（x）為奇函數，∴lg（1-x）=f（-x）=-f（x）

∴當x<0時f（x）=-lg（1-x）

∴f（x）=lg（1+x），x≥0-lg（1-x），x<0

2.4 靜態問題動態化

部分數學問題在以靜態的思路進行解題可得出結果，但過程復雜，學生在做題過程中容易出錯，因此，在做該類題目時，可將靜態問題動態化，即：通過研究變動情況對題目可能出現的特殊情況進行分析，進而簡化解題過程，防止錯誤的發生.

例5設F1，F2為橢圓x29+y24=1的兩個焦點，P為橢圓上一點.已知P，F1，F2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，求|PF1||PF2|的值.

解題過程解①若∠PF2F1=90°.

則|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2，

又∵|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=25，

解得|PF1|=143，|PF2|=43，∴|PF1||PF2|=72.

②若∠F1PF2=90°，則|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，

∴|PF1|2+（6-|PF1|）2=20，

∴|PF1|=4，|PF2|=2，∴（|PF1||PF2|=2.

綜上知，|PF1||PF2|=

72或2.

分析改題目的直角位置為得到確定，因此，在解題過程中，我們需要先確定直角可以確定的位置，在以分類的方式對直角的位置進行確定，最后對所有可能出現的可能進行匯總，進而得出范圍.解答問題則可要讓，F1和F2動起來，對其進行分類討論，以提高解題的效率.

轉化思想是數學解題思想中的重要部分，其可將復雜的問題轉化為簡單問題，抽象問題轉化為具象問題等，可幫助學生提升解題效率，降低錯誤率的發生，對于學生提高成績具有重要意義.其次，轉化思想可有效鍛煉學生的思維邏輯能力，提升其做題的嚴謹性，進而使其做事的思維能力、嚴謹性得以有效提升，為其未來的發展奠定堅實基礎.因此，高中數學教師在教學過程中，應將該思想廣泛運用，幫助學生領悟解題方法，掌握解題能力，為其高考提供堅實保障.

參考文獻：

[1]?王萍，周順珍.關于轉化思想方法在高中數學解題中的應用探討[J].數學之友，2019（01）：49-50.

[2] 吳曄.轉化思想在高中數學解題中的應用[J].數學大世界（下旬），2018（09）：69+68.

[3] 陳鏗熙.巧借轉化思想，讓高中數學解題“柳暗花明”[J].福建中學數學，2019（05）：40-41.

[4] 郭婧涵.轉化思想在解題中的應用[J].中學數學教學參考，2017（27）：56.

[責任編輯：李璟]