函數思想在“從分數到分式”教學設計中的滲透

李曉娜 周子凡 高然

【摘要】在數學教學中，教師可以滲透一些后續學習會用到的數學思想.本文通過在“從分數到分式”的教學設計中創設情境，在分式有意義、分式值為零的條件的求解過程中滲透函數的“變量對應思想”，發展學生合情推理的能力，滲透函數思想，并利用小組合作交流提升學生小組合作的意識.

【關鍵詞】函數思想;分式;教學設計

一、教材分析

分式在整個初中教材中具有承上啟下的作用.分式屬于有理式范疇，但和整式有本質的區別，是初中代數部分的重要概念.對于本章的教學，教師應主要借助舊知分數來讓學生認識分式的內容，運用類比的學習方法讓學生承上啟下地理解知識之間的聯系和區別.分數與分式有一致的形式，有相似的定義方式、性質和運算規律，學生通過類比的學習方式可得出分式的概念，并通過分數的運算方式引入分式的運算.這為后面解分式方程做了鋪墊，也為學習反比例函數奠定了基礎.

二、學情分析

學生在小學已經學習過分數的概念和基本性質，因此，通過類比分數的知識，學生會較容易理解分式的相關知識.初二的學生已具有數學知識探索能力，分析歸納能力也逐步增強，同時筆者執教班級的學生數學綜合能力較強，對于知識的接受能力及數學演繹創造能力較強，故本節課主要以學生主動探究學習為主.

三、目標分析

1.了解分式的概念，掌握分式有意義和值為零時字母的取值范圍.

2.類比分數學習，經歷分式概念的形成及探索分式有意義條件的過程，從具體到抽象，從特殊到一般，同時滲透函數思想.

3.通過具體問題的解決，進一步培養學生符號語言的嚴密性，提高學生數學學習的興趣和自信心.

四、教學環節

【環節一】類比思考，發現分式

數學游戲：請你任意給出兩個整數并相除，商有幾種結果？

問題1：計算的結果一定是整數嗎？

師生：（總結）兩個整數的商不一定是整數.

追問：當兩個整數相除的結果不是整數時，如5÷2，怎樣表示商？它有什么實際意義嗎？

師生活動：結合分數52進行說明.

教師總結思路：引入分數的意義是解決商不為整數的這類結果.

追問：請你任意給出兩個整式，商有幾種結果？

問題2：計算的結果一定是整式嗎？

師生：（總結）類比分數的發展，任意兩個整式的商的結果如何？如2x2yz÷xyz（結果是整式），y÷（y+2）（結果不為整式）.

追問：不是整式的商如何表示呢？

師生活動：用yy+2表示所得的商.

追問：你能舉出兩個整式相除的結果不是整式的例子嗎？

教師：（總結）商的結果不是整式時，可用類似分數的方法引入整式相除商的表示方式，即：

兩個整數相除商不是整數→一般化→引入分數表示商，

兩個整式相除商不是整式→一般化→引入新的式子表示商.

【設計意圖】抓住數學運算這一核心，類比分數的運算本質，當兩個整式相除結果不是整式時引入分式這個新的概念，讓學生在分式的引入過程中體會數系擴充的思想，同時為從分數到分式的一般化抽象提供樣例.

【環節二】發現新知，總結歸納

問題1：對于新引入的式子，應該研究它的哪些內容？依據什么樣的思路展開研究？

追問：在小學我們學習了分數的哪些知識？是按照怎樣的思路和方法研究的？

師生活動：教師引導學生回顧分數的學習思路，類比分數的學習方式“分數的定義—分數的基本性質—分數的運算”的思路，進一步學習一般化的式子——分式，同時滲透研究新概念的一般方式.

問題2：你能嘗試給分式下個定義嗎？

① 這類代數式有哪些特征？

② 如何定義分式？

師生活動：

（發現其共同特征）AB表示兩個整式A，B相除得到的商，并通過比較整式得到B中含有字母的特征.

一般地，如果A，B表示兩個整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫作分式.分式AB中，A叫作分式的分子，B叫作分式的分母.

類似于“整數和分數統稱有理數”，我們把整式和分式統稱有理式.

【設計意圖】類比分數的學習方式建構分式的概念，同時學習研究分式的一般思路.

【環節三】辨析概念，新知應用

例1 下列代數式中，哪些是分式？哪些是整式？

（1）3x+16;（2）2a（a≠0）;（3）3xπ;（4）3x2x.

分析 （1）是整式;（2）是分式;（3）是整式：π是一個數;

（4）是分式：分式是用形式定義的，不能先變形.

解 整式：3x+16，3xπ;分式：2aa≠0，3x2x.

歸納總結：分式應具備如下條件：

（1）形如AB，且A，B均為整式;

（2）分母B中含有字母;

（3）分母B≠0.

【設計意圖】概括分式的本質屬性：兩個整式的商，分母中含有字母，且分母不為0.

【環節四】合作探究，深化新知

思考：以分式xx+2為例，說說分式與整式的關系，以及分式與分數之間的聯系與區別.

師生活動：教師引導學生說出分式表示兩個整式的商，分式與整式的區別在于分母中是否含有字母.

追問：分式xx+2中的字母x可以取哪些值？分式和分數之間有什么關系？分式有意義的條件是什么？分式為零的條件是什么？

填表：

x-2-1012…

x+201234…

xx+2無意義-101312…

問題1：對于任意的x值，都能求出整式x+2的值嗎？

問題2：對于任意的x值，都能求出xx+2的值嗎？

問題3：分式在什么條件下值為零？

歸納總結：分式是分數的一般化，分數是分式中字母取某些值時得到的具體數.分式的值為零的條件是：分母不為零且分子為零.

【設計意圖】通過填寫表格，讓學生直觀理解分式的概念.

列表格的第一個目的是著眼于兩個“0”時刻的解讀.第一個“0”時刻是當x=-2時x+2=0，類比“分數分母不為零分式分母B≠0-20無意義”，進而得到分式有意義的條件是：分式的分母B≠0.第二個“0”時刻是當x=0時x+2=2，“分子值為零、分母值不為零分式值為零”，從而歸納出分式值為零的條件：分子為零且分母不為零.

第二個目的是對分式與分數關系的一個直觀解讀，同時滲透函數的“變量對應說”的概念，在取值范圍內，當x給定任意值時，分式都有唯一的值與之對應，這個值恰好是分數，總結來說，分式是分數的一般化，分數是分式的具體化.

第三個目的是對分式值進行一個整體的分析，從它的大小變化趨勢進一步滲透函數思想.

這個環節滲透了從特殊到一般的研究思想，從分數到分式運用了類比的思想，符合學生的認知水平和認知規律.

例2 當x取什么值時，下列各式有意義？

（1）x-3x+3;（2）2x-5x2 ;（3）x-2x2-4.

例3 當x取什么值時，分式x-4x-4的值等于零？

解 分式|x|-4x-4的值等于零的條件：x-4≠0 ①，|x|-4=0 ②，

由①，得x≠4，

由②，得x=±4.

故當x=-4時，分式|x|-4x-4的值等于零.

注：一般地，稱一個式子為分式時，就隱含了分母不等于零的條件.

拓展練習：

1.如果分式63a-5是負數，則a的取值范圍是.

2.x取何值時，代數式11+11+x有意義？

3.分式2x+1x2-4x+4中x的取值范圍是.

【設計意圖】通過例題的講解使學生進一步理解和掌握分式有意義的條件以及分式為零的條件，同時與上一章因式分解、七年級絕對值內容進行有機融合，提高學生對知識的縱向理解.

【環節五】課堂作業，自我評價

1.下面的式子中，哪些是分式？

3x2-1，3000300-a，27， VS，S32， 2x2+15，45b-c，x2-xy+y22x-1.

2.當x取什么值時，下列各式有意義？

（1）2x-5x-3;（2）xx2-1;（3）2xx2+3.

3.當x取什么值時，下列各式的值等于零？

（1）2x-3x+2;（2）xx-1;（3）x-1x-1.

【環節六】課后反思

“從分數到分式”是人教版八年級上冊中的教學內容，初中生在小學已經學習過分數的概念和基本性質，因此，類比分數的知識學生較容易理解分式的相關知識.筆者執教班級的學生數學綜合能力較強，已具有數學知識探索能力及分析歸納能力，對于知識的接受能力及數學演繹創造能力較強，故本節課中可以學生為主體，讓學生動口、動腦積極思考.通過本節課，無論是在實際教學實踐方面，還是教學理論指導方面，都使我受益匪淺.下面，筆者將從備課準備以及授課結束兩個方面談一下自己的感受.

在備課準備的過程中，筆者有以下收獲：

1.為了進一步了解學情，了解這一階段學生的認知規律及特點，筆者精心研讀了數學課程標準和皮亞杰的認知規律，進一步了解了學生思維邏輯的發展過程，知道了學生知識形成所經歷的過程是從具體運算階段到形式運算階段，是從具體的圖表演示轉變為抽象的思維概括，這些都為筆者本次教學及今后的教學提供了重要的理論指導，知道了如何按照當前學生的心理和認知特點進行教學.

2.對于數學教學本質的理解：通過磨課、研課，筆者看到了數學是思維發展的呈現，上課的過程既是學生思維發展訓練的過程，也是教師進一步理解知識本質、不斷成長的過程.本次課程打磨的過程使筆者從數學更高的層面看到了數學教學應該具備的要點：重在思維，把握本質，突出重點，突破難點，由易到難，層層深入.

3.對于情感與態度方面的理解：筆者漸漸理解了數學教學不僅僅是知識和技能、過程與方法的教學，更體現在情感、態度上，適時地對學生的表現給出表揚和贊賞，會讓學生體驗到數學學習的樂趣，體會到成功.我們不僅要在課堂上落實學科知識，更要發揮學科的育人功能，落實學科素養對于數學學習的更高要求.

4.對于板書設計的理解：板書是課堂內容的精髓，是課堂重難點及課堂邏輯思維的展現.在板書設計方面，筆者深刻領悟到了板書示范作用的重要性，慢慢學習到了如何通過板書展示本節課的重難點，以及如何有效利用板書展現整節課的邏輯思維過程.但是筆者的板書還有待加強，字跡的工整程度還需要練習.

四、總 結

本節課的教學設計通過實際的檢驗，成功及不足之處有以下幾點.

1.在課堂引入方面，類比分數引入本節課的主要內容“分式”，調動了學生的積極性，學生已有認知得到了充分體現，并自主總結，從而引出了本節課的主題“分式”.

2.教學時通過幾個問題展示分式概念生成的過程，它類比分數的引入、數域的擴充對本節課的知識進行生成，對學生進行提問、追問，并引導學生成功解決了問題，讓學生初步體會了概念學習的一般規律以及對新事物學習的一般思路.我們學習的過程是：定義—基本性質—運算，而本節課只需完成第一步概念的學習.在完成例1的過程中，學生如預設的一樣出現了障礙，對于3x2x是否為分式出現了分歧，說明學生在思維和認知上還存在差距.筆者趁機引導，進一步強調定義中“分母中含有字母”這一特點，同時完善定義，對在定義教學過程中設置的“障礙”進行處理.在質疑、討論到完善認知的過程中，學生慢慢學會了自己提出問題并解決問題，得出了完整的分式的概念以及判斷分式的方法.在此過程中，學生體會了從“特殊到一般再到特殊”的數學思想，也鍛煉了學生提出問題能力、解決問題能力及基本的表達能力.

3.在分式的值為零的條件的探究中，筆者主要設置了三個問題，這個環節是本節課至關重要的一環，這里利用表格數據的填寫計算輔助學生完成問題的解答.在這一過程中，學生探究了分式值為零的條件及相關延伸，并突出對分式與分數關系的一個直觀解讀，同時滲透了函數的“變量對應說”的概念，在取值范圍內，當x給定任意值時，分式都有唯一的值與之對應，這個值恰好是分數，也就是分式是分數的一般化，分數是分式的具體化.

4.在例2、例3的學習中，學生能運用思考環節得出的結論進行例題的解決，但筆者也從做題的過程中發現了學生的薄弱環節，動腦不動手，過程不夠嚴謹，大部分學生直接寫出答案，沒有知識生成的過程，同時由于沒有手寫的過程出現了計算上的失誤.

5.本課的課堂小結不僅體現了知識層面的收獲，更注重了數學思維方法的滲透，最后由學生通過做題來檢驗自己本節課的學習成果，對自己的學習進行評價.在自評中，學生體驗到了數學學習的樂趣和主人翁地位，很好地體現了新課程標準對于情感、態度與價值觀的展現，使數學課堂不僅僅是教師的課堂，而成為學生思維的主戰場.最后教師對整堂課給予客觀評價，激勵學生學習的信心，讓學生看到自己思維的價值.

6.分數到分式的教學過程，讓學生站到了主人翁的地位.隨著教師的引導，學生逐漸理解了數學學習的方式方法，即數學學習實際上有一條暗線——知識的邏輯生成過程以及舊知的鋪墊，從學習中體會到了學習的樂趣，獲得了豐富的果實.

【參考文獻】

[1]錢佩玲.中學數學思想方法[M].北京：北京師范大學出版社，2008.

[2]波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.