淺談“拋物線定義”教學的幾點做法

吳建軍 趙建麗

摘 要：在教學中不能忽略知識的產生和發展過程，只有讓學生親身經歷了，才會有很深刻的印象和透徹的理解。正如“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，少一些死記硬背，多一些理解記憶，才能靈活應用，真正提高學生的分析理解能力，這是在教學中應該堅持的方法。

關鍵詞：動手操作；理解記憶；靈活應用

圓錐曲線中，橢圓和雙曲線的概念都可以通過動手操作完成，并且操作簡單方便，而拋物線的給出卻不容易，這也是導致教師忽略的原因之一。正是動手操作的缺失，使得學生在遇到運用拋物線定義解題時，不能靈活。

比如下列一組題目：

1.動圓過點（1，0），且與直線x=-1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為________________。

2.若點P到直線y=-1的距離比它到點（0，3）的距離小2，則點P的軌跡方程為________________。

3.設點F為拋物線y2=4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若++=，則++=（ ）。

A.9 B.6 C.4 D.3

4.已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出點P的坐標。

這些全都是利用拋物線定義來解的題目，有些學生不會，或者感覺很陌生，主要是對定義的由來沒有深刻印象，因為缺少動手操作，缺少親身經歷。人教B版中拋物線定義的給出方式很好，但在實際課堂中常常因為各種原因，沒有讓學生實際操作，造成學生對拋物線的定義只是死記硬背，不會靈活應用。

針對這種現實情況，結合自身的教學實踐，我摸索出了拋物線的定義教學的幾點做法：

一、畫拋物線

讓學生親自畫拋物線，體會定義由來的方法，介紹如下：

1.工具

畫拋物線的圖象，需要借助鉛筆，帶刻度的直尺，圓規。

2.原理

到定直線距離相等的點在一條和定直線平行的直線上，然后從該直線上通過圓規畫弧，找到該直線上到定直線和定點距離相等的兩個點，最后用光滑的曲線將所找到的點連起來，便畫出了一條拋物線。

3.具體做法

（1）為了便于找點，先令定點F到定直線l的距離為2，作直線l1與l的距離為1，以F為圓心，1為半徑畫弧，與l1交于一點P1；然后作直線l2與l的距離為2，以F為圓心，2為半徑畫弧，與l2交于兩點P2，P3；再作直線l3與l的距離為3，以F為圓心，3為半徑畫弧，與l3交于兩點P4，P5；以此類推，作直線l4，l5與l的距離為4，5，以F為圓心，4，5為半徑畫弧，與l4，l5交于點P6，P7，P8，P9等等，然后用光滑曲線聯系起來。

（2）改變定點F到定直線l的距離為4，再畫一遍。

（3）改變定點F到定直線l的距離為ρ，該如何處理？

畫出圖象，再去分析拋物線上的點滿足的幾何條件，給出拋物線的定義，學生易于接受，效果比較好。

二、拋物線標準方程的推導

在拋物線標準方程的推導中，我采取了放給學生，讓學生自己推導的方法。

在教學中，學生給出了三種建系的方法，分別是以K，F及K，F的中點為坐標原點來建系，我把學生分成三組，分別去嘗試推導，然后去比較三種方程形式的特點，最后確定以K，F的中點為坐標原點來建系比較方便和簡潔。

1.以K為坐標原點建系，則F（p，0），l∶x=0，設拋物線上任意一點M（x，y），則M（x，y）到定直線l∶x=0的距離d=x，MF=，由拋物線定義可知x=化簡得：y2=p2-2px。

2.以F為坐標原點建系，則F（0，0），l∶x=-p，設拋物線上任意一點M（x，y），則M（x，y）到定直線l∶x=-p的距離d=x+p，MF=，由拋物線定義可知x+p=，化簡得：y2=p2+2px。

3.以K、F的中點為坐標原點建系，則F（，0），l∶x=-，設拋物線上任意一點M（x，y），則M（x，y）到定直線l∶x=-的距離d=x+，MF=，由拋物線定義可知x+=化簡得：y2=2px。

通過三種不同建系方法下的方程的比較，讓學生明確建系方法不唯一，只是每種建系方法對應于不同的拋物線的方程，根據數學中的簡潔原則，我們選擇了以K，F的中點為坐標原點建立直角坐標系；并且在推導過程中，學生了解了焦點坐標和準線方程都與有關系，而p的含義是焦點到準線的距離；另外也知道了方程中一次項的系數為什么是2p，有助于大家記憶拋物線的標準方程。

三、關于拋物線定義的應用

在應用拋物線定義時，遇到拋物線上的點到焦點的距離，要把它化為到準線的距離，究其原因是我們研究的拋物線的準線都是與坐標軸平行的直線，點到準線的距離比點到焦點的距離好表示，運算起來更加簡便。但是不轉化也可以解決問題，比如求拋物線y2=4x上的點P（3，y0）到拋物線焦點F的距離。

解法一：拋物線的準線方程為x=-1，拋物線y2=4x上的點P（3，y0）到拋物線焦點F的距離即到準線的距離d=3-（-1）=4。

解法二：拋物線焦點F（1，0），將點P（3，y0）帶入拋物線y2=4x中的，y02=12，y0=±2，設P（3，2）則，PF==1即點P（3，y0）到拋物線焦點F的距離為4。

開篇提到的幾個題目，在學生理解和掌握了定義由來和標準方程的推導之后，就很簡單了。我們在教學中不能忽略知識的產生和發展過程，只有讓學生親身經歷了，才會有很深刻的印象和透徹的理解。正如“問渠那得清如許，為有源頭活水來”，少一些死記硬背，多一些理解記憶，才能靈活應用，真正提高學生的分析理解能力，是在教學中應該堅持的方法。

編輯 李琴芳