培養學生核心素養的數學教學

［摘? 要］ 如何將培育學生的數學核心素養貫穿整個教學活動過程，是值得每個教育工作者思考與研究的問題. 文章以“異面直線”的概念教學為例，從“導引定義，培養抽象意識”“多元表征，培養想象能力”“合理分類，提升分析能力”等方面，具體談談如何在研究對象的獲取中，發展學生的數學核心素養.

［關鍵詞］ 概念教學；核心素養；異面直線

數學核心素養包括數學抽象、模型、邏輯推理以及用數學的眼光或思維看待與思考世界，它是一種具備數學特征，且促進個人終生發展的一種思維品質與能力［1］. 如何在數學教學中準確獲取研究對象，將核心素養的培養落到實處，是筆者近些年一直在實踐研究的問題.

“空間點、直線、平面之間的位置關系”這章節包括異面直線及表示、異面直線所成角等概念，涵蓋空間兩條直線的位置關系、平行公理4、分類、等角定理等內容，其中等角定理與平行公理4為異面直線所成角的概念的形成服務. 因此，本章節的教學重點與難點在于“異面直線”的相關概念，其中異面直線、異面直線所成角等概念是研究空間點、直線、平面之間的位置關系的關鍵.

本文以“異面直線”的概念教學為例，就如何引導學生從整體到局部認識空間幾何的重點，逐步形成良好的空間想象力談一些看法；并結合教學實踐，在以發展學生各項數學能力為主導的方向下，精心設計教學過程，獲取研究對象，培養核心素養.

導引定義，培養抽象意識

想要培養學生的抽象意識，必須要有明確的研究對象與充分的抽象過程. 若研究對象不確定，無論研究活動的設計多么豐富，都無法達到真正意義上的數學抽象. 新課標明確提出，要學生在數學抽象中明確概念的關鍵要素與內涵，并學會用數學語言進行表征與分類，以明確概念的內涵與外延［2］.

“告知式”的傳統教學模式，使得學生無法確定研究對象，從而出現了學習障礙. 在獲取研究對象的過程中發展學生的數學核心素養，是時代賦予教師的任務，尤其是數學概念、定義與法則等的抽象過程，對培養學生的抽象能力具有深遠的影響.

教材在本章節對幾何圖形的特征進行了簡明扼要的描述，明確提出幾何圖形的本質在于其形狀與位置關系. 學生若習慣性地以傳統思維去認識幾何圖形，則很難捕捉到其中的位置關系與主要形狀. 因此，教師設計教學時，應從學生的實際認知水平出發，根據學生建構概念可能存在的困難，采取應對措施，如實物模型的使用、情境創設、實例分析等，為學生對概念的抽象與概括奠定堅實的基礎.

師：位于同一平面內的兩根直線，存在哪些位置關系？

生（眾）：平行與相交的關系.

師：若將“同一平面”這個條件改為“空間”呢？

（學生沉默）

師：請大家拿兩支筆或兩根直尺，觀察它們的位置關系.

生1：將兩根直尺都放在桌面上，即同一平面上兩根直線有平行與相交的關系；而將一根直尺放在桌面上，將另一根直尺拿起來，則與桌面上的直尺相交或平行.

師：除了這兩種位置關系外，還存在其他位置關系嗎？

生2：有可能既不平行也不相交.

師：哦？這是一個新發現！大家觀察我們的教室，看看是否存在這種既不平行也不相交的兩根直線呢？

生3：如日關燈管和墻壁與地面的交線.

師：我能理解你的意思，但是表述不夠準確，應該是教室內的日光燈管所在的那根直線和前墻與地板交線所在的直線，這兩者既不平行也不相交. 除了教室外，生活中還有很多這樣的例子，如橋梁所在的直線與水流所在的直線、旗桿所在的直線與跑道所在的直線等.

問題：如圖1所示，在長方體ABCD-ABCD中，AB所在的直線與CC所在的直線，具有怎樣的位置關系？

生4：這兩根直線并不在一個平面上，它們之間既不平行也不相交.

師：的確，由以上生活實例和圖1，揭示了一個什么數學問題？

生5：兩根直線的位置關系，存在不平行也不相交的情況.

師：非常好！這就是我們今天本節課重點研究的對象. 現在請大家思考，在空間中既不平行也不相交的兩條直線是否能共面？為什么？

生6：我認為不共面，共面就涉及平行或相交的情況.

師：有道理，既然確定不共面，說明它們處于異面，我們能不能概括一下，什么叫異面直線？

生7：在空間內既不平行也不相交的兩根直線，我們稱它們為異面直線.

師：教材上，對異面直線的定義為“不同在任何一個平面內的兩條直線”. 你們覺得哪種說法更精確一些？

生8：教材上的這種說法更突出“異面”這個特性，是從位置的關系來描述的，因此更精確一些.

設計意圖：對異面直線概念的抽象過程，讓學生明確研究對象，從中明確本節課的重點是對空間形式的研究. 教師先引導學生回顧直線在平面上的位置關系，再逐漸深入到直線在空間中的位置關系，并鼓勵學生從生活實例出發，對生活中一些事物所在的直線位置關系進行分析與研究，直觀圖形的應用，吸引了學生的注意力，學生從中自主抽象出了相應概念.

從該教學過程可見，數學抽象作為一種基本的數學思想，是幫助學生獲得理性思維的關鍵，它貫穿數學概念產生、發展與應用等過程. 教師若一味地引導學生從觀察、分析、歸納、演繹、類比、推理等角度詮釋數學對象，則遠遠達不到提升學生數學核心素養的目的. 只有從學生的認知發展區出發，引導學生對研究對象進行深入分析，才能幫助學生建構良好的抽象意識，讓學生明確該觀察什么，該分析、歸納與演繹什么，該如何進行類比、分析與推理，為形成良好的數學觀奠定基礎.

多元表征，培養想象能力

立體幾何除了用文字、符號或圖形語言進行表征外，還可以用模型等方式進行表征. 表征方法與學習者的觀察視角、認知水平和想象力等有著直接的聯系. 在教學設計時，教師應學會換位思考，盡可能站到學生的角度去分析、預設問題，通過觀察視角的切換來確定問題情境，以幫助學生建構更加完整的認知體系，培養想象能力.

師：接下來，我們來探討一下異面直線繪制與表示的方法，請大家分組合作，看哪一組的答案又快又好.

組1：如圖2所示，添加一個平面來襯托.

師：這種想法不錯，你們是怎么想到這個方法的？

生9：根據前面的探究活動得以啟發.

組2：如圖3所示，用兩個平面來表達.

師：這個想法很好，是否可以考慮用三個平面來襯托呢？

生10：我認為沒有這個必要，我們所研究的異面直線是兩條直線的位置關系，只要能表達清楚它們不在一個平面內就可以了.

師：言之有理！通過對圖2與圖3的觀察，發現它們的共同點就是以平面襯托的方式，凸顯兩條直線既不平行也不相交的關系.

設計意圖：引導學生從文字、圖形與模型等角度，獲得“異面直線”這個研究主題，并在動手畫一畫中建構新知，通過此過程有效發展學生的空間想象力.

直觀想象是核心素養重要組成部分之一，它主要是借助幾何直觀與空間想象，感知事物的空間形式、形態與變化等，從而在大腦中建構明確的認識. 異面直線是建立在空間抽象基礎上，形成的一種直觀模型，屬于直觀想象的再抽象.

本課例緊扣異面直線的多元表征方式，從畫法、表達法等角度著手，鼓勵學生從多方面嘗試，從不同的角度觀察并建構新的模型. 在教師適當的點撥與引導下，學生的直觀想象能力得以有效發展，使得異面直線的表達方式烙印于學生的認知結構.

實踐證明，直觀想象是發現、提出、分析與解決問題的基本手段，是形成論證思路，進行推理并抽象結構的基礎，也是幫助學生建立空間想象力，突破立體幾何這個難題的關鍵. 但這種素養的形成也不是一蹴而就的，并非通過幾節課就能完成，它需要學生在實踐中不斷地自我建構、反思，讓思維呈螺旋式上升.

作為教師，應提供更多動手、動腦的機會給學生，幫助學生多角度搭建對話平臺，鼓勵學生在實戰中，學會多視角分析與討論問題，訓練想象能力，以掌握畫圖的基本要領，把握各種表征方法，為建構扎實的數學思維奠定基礎.

合理分類，提升分析能力

所謂的分類是指依照一定的標準，不重不漏地對研究對象按照種類、等級或性質進行歸類. 于立體幾何而言，分類標準主要以要素特征或關系進行，這也是充分理解數學對象的一種常規方式. 學生受認知水平的限制，對立體幾何的分類意識不是很強，教師可引導學生從前后聯系與數學分析等角度順勢而為，幫助學生建立良好的分類意識，為學生核心素養的形成奠定基礎. 異面直線的位置關系，可通過模型的建立來理解分類對象，提升學生的數據分析能力與分類意識.

師：從以上探究過程來看，大家對異面直線已經有了一定的認識，并能通過不同的方式突出“異面”的特征. 現在我們換一個角度來思考：異面直線是不在任何一個平面內的兩條直線，且沒有公共點，那么在空間內，沒有公共點的兩條直線一定是異面的嗎？

（學生陷入沉思）

為了激發學生思維，筆者引導學生進行以下實驗探究：

探究活動1：將一根直尺置于桌面，另一根直尺拿在手里，變化手中直尺的位置，觀察這兩根直尺是否一定處于異面的狀態.

探究活動2：打開數學書，將兩根直尺分別放在存在一定角度的兩個面內，判斷它們所在的直線是否一定為異面的關系.

（學生操作、探討、研究）

生11：從操作過程來看，存在圖2、圖3呈現的情況，也存在其他情況，空間沒有公共點的兩條直線平行或異面.

師：非常好！通過我們親自實踐、觀察，從直觀的角度感知幾何體的空間特征，為數學猜想與思考提供了明確的線索. 從以上探究過程來看，從正反不同角度分門別類地分析與猜想問題，能對研究對象產生更加深刻的理解. 由此，大家能總結出空間兩條直線存在哪些位置關系嗎？

生12：存在共面與異面兩種位置關系.

生13：我認為應該是相交、平行與異面三種位置關系.

師：看來大家還存在不同的意見，分類的原則是“不重不漏”，關鍵是抓住分類標準. 現在請大家以小組為單位，再次討論該怎么分類.

學生通過合作學習，獲得了以下結論：

數據分析主要是指應用數學方法對數據進行分析、整理與推斷的過程，這種能力對數學核心素養的形成具有直接影響［3］. 空間直線位置關系，除了要弄清楚分類標準外，還要獲得數據提取、收集、整理等能力，為準確推斷奠定基礎.

抓住這個特征，筆者在本課教學中，從畫圖等簡單的方法出發，讓學生以圖2、圖3呈現的要素特征作為思維的切入點，再以反面問題啟發學生思維，讓學生帶著疑問進行活動探究，學生親歷實驗操作，進一步獲得從不同角度分析問題的能力.

盡管學生對分類方法產生了分歧，但這表現出了學生積極思考、勇于表達的良好品質. 教師根據學生存在的問題，給予適當的點撥，并鼓勵學生以小組合作學習的模式，對問題重新進行思考，并獲得了完整的結論. 在此教學過程中，學生積累了一定的探究經驗，獲得了合理的分類標準，充分發掘了數據的信息價值，有效地促進了數學核心素養的提升.

隨著時代的發展，數據分析應用的范圍越來越廣泛，不論是科學、工程、技術還是生活的方方面面，都離不開數據分析的支持. 因此，教師在教學中，應科學設計相應的探究活動，讓學生主動獲取數據信息，自主建構依托現代社會應用數據的運行機制，形成用數學的眼光看待世界、用數學的思維思考問題的習慣.

總之，概念教學需要經歷定義、表征與分類等過程，在就地取材的實物模型教學中，學生不僅能獲得多元表征的能力，還能形成從不同視角用數學的眼光分析問題的習慣. 尤其在教學的前后聯系與數據分析中，學生可深刻理解數學的本質，發展數學核心素養.

參考文獻：

［1］? 章建躍. 核心素養導向的高中數學教材變革（續5）——《普通高中教科書·數學（人教A版）》的研究與編寫［J］. 中學數學教學參考，2019（31）：9-14.

［2］? 核心素養研究課題組. 中國學生發展核心素養［J］. 中國教育學刊，2016（10）：1-3.

［3］? R·柯朗，H·羅賓. 什么是數學［M］.左平，張怡慈，譯. 上海：復旦大學出版社，2006.

作者簡介：徐婧婧（1983—），本科學歷，從事高中數學教學工作.