聚焦函數單調性的考查

蔡淑燕

［摘 要］單調性是函數的重要性質之一，也是各類考試命題的熱點。文章結合五個典例從五個方向進行探討，以幫助學生突破學習難點，發展學生的思維，培養學生的核心素養。

［關鍵詞］函數；單調性；高中數學

［中圖分類號］G633.6［文獻標識碼］?A［文章編號］ 1674-6058（2023）32-0017-03

單調性是函數的重要性質之一，研究函數一般都從研究它的單調性開始。那么從試題考查角度看，函數的單調性主要考查什么？我們一起去探秘。

一、考查函數單調性的判斷與證明

關于函數單調性的判斷與證明試題，難度中等。判斷函數的單調性方法有定義法、導數法、圖象法等，而函數的單調性證明方法有兩種：定義法和導數法。

［例1］已知函數[f（x）=lnx-x+1x-1]。

（1）求值：[f（2）+f12+f（3）+f13+…+f2023+f12023]；

（2）判斷函數[f（x）]的單調性，并證明你的結論。

分析：（1）計算[f（x）+f1x]即可發現和的規律；（2）利用作差法或導數法即可判定其單調性。

解：（1）過程略，答案：[f（2）+f12+f（3）+f13+…+f2023+f12023=0×2022=0]。

（2）函數[f（x）]的定義域為（0，1）∪（1，+∞），記為區間[D]，[f（x）=lnx-1-2x-1]在（0，1）和（1，+∞）上單調遞增，證明如下：

證法1（定義法）：設[?x1]，[x2∈D]，則[f（x1）-f（x2）=lnx1-1-2x1-1-lnx2-1-2x2-1=lnx1x2+2（x1-x2）（x1-1）（x2-1）]。

①當[0

②當[1

證法2（導數法）：因為[f（x）=lnx-1-2x-1]，所以[f（x）=1x+2（x-1）2]，當[x∈（0，1）]時，[f（x）>0]；當[x∈（1，+∞）]時，[f（x）>0]，故[f（x）=lnx-1-2x-1]在（0，1）和（1，+∞）上單調遞增。

二、考查復合函數的單調性

復合函數的單調性的考查，要求考生理解復合函數的概念，并會求復合函數的單調區間，或會判斷復合函數在某個區間上的單調性。對于這類問題，考生必須掌握求復合函數[y=f（g（x））]的單調區間的步驟：（1）確定定義域；（2）將復合函數分解成兩個基本初等函數；（3）分別確定兩個基本初等函數的單調性；（4）按“同增異減”的原則，確定原函數的單調區間。

［例2］（1）函數[f（x）=128-2x-x2]的單調遞減區間為? ? ? ? ? ? ? 。

（2）設[f（x2+1）=loga（4-x4）（a>1）]，則[f（x）]的值域是? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

分析：（1）利用復合函數的單調性“同增異減”，結合二次函數與指數函數的單調性即可解答。（2）根據換元法先求出[f（x）]的表達式，然后利用復合函數的單調性“同增異減”，結合二次函數與對數函數的單調性即可解答。

解：（1）因為復合函數[f（x）=128-2x-x2]是由[t=8-2x-x2]與[y=12t]復合而得，而[y=12t]在[R]上單調遞減，所以[f（x）]的單調減區間即為[t=8-2x-x2]的單調增區間，因為[t=8-2x-x2=-x2-2x+8]開口向下，對稱軸為[x=-1]，所以[t=-x2-2x+8]的單調增區間為[-∞，-1]。

（2）設[x2+1=t（t≥1）]，則[f（t）=loga（4-（t-1）2）（t≥1）]，于[f（x）=loga（4-（x-1）2）（x≥1）]。設[u=4-（x-1）2（x≥1）]，根據二次函數性質，[x∈1，+∞]時，[u]關于[x]單調遞減；根據對數函數性質，[y=logau]在定義域上遞增。于是由復合函數單調性的性質，[f（x）=loga（4-（x-1）2）]在[1，+∞]上單調遞減，而[f（1）=loga4]，于是[f（x）]的值域是[-∞，loga4]。

三、考查根據函數的單調性求參數值

根據函數的單調性求參數值，一般出現在選擇題或填空題中，已知函數單調性求參數的范圍的常用方法：（1）直接法。直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍。（2）分離參數法。先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決。（3）數形結合法。先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，作出函數的圖象，然后數形結合求解。

［例3］已知函數[f（x）=x（lnx+1）-ae2x-xlna]，若對任意兩個不相等的正實數[x1]、[x2]，都有[f（x1）-f（x2）x1-x2<2]，則實數[a]的取值范圍為? ? ? ? ? ? 。

分析：設[x1>x2]，由題意可得函數[g（x）]在（0，+∞）是減函數，原問題轉化為[g（x）=lnx-2ae2x-lna<0]（[x>0]）恒成立，即[h（x）=lnx-2ae2x-lna<0 ]（[x>0]）恒成立，即求[h（x）max<0]即可。

解：若對任意兩個不相等的正實數[x1]、[x2] 都有[f（x1）-f（x2）x1-x2<2]恒成立，不妨設[x1>x2]，所以[f（x1）-f（x2）<2x1-2x2]，即[f（x1）-2x10）]恒成立，則令[h（x）=lnx-2ae2x-lna<0 （x>0）]，即[h（x）max≤0]即可，[h（x）=1x-4ae2x]，因為[h（x）]在（0，+∞）上單調遞減，存在零點[x0]，使得[1x0=4ae2x0]，即[14x0=ae2x0]，兩邊取對數可得[ln14x0=ln（ae2x0）=lna+2x0]，即[lna=-ln4x0-2x0]，所以當[x∈（0，x0）]時，[h（x）>0]，[h（x）]在[（0，x0）]上單調遞增，當[x∈（x0，+∞）]時，[h（x）<0]，[h（x）]在（x0，+∞）上單調遞減，所以[h（x）max=h（x0）=lnx0-2ae2x0-lna=lnx0-12x0+ln4x0+2x0=ln4x02+2x0-12x0≤0]，令[t=2x0]，則[h（t）=2lnt+t-1t（t>0）]，[h（t）=2t+1+1t2>0]，[h（t）]在（0，+∞）上單調遞增，且[h（1）=0]，要求[h（t）≤0]，解得[0

四、考查利用函數單調性比大小

利用函數的單調性比大小的試題一般以選擇題為主，其不僅僅考查考生能否利用函數的單調性比大小，而且考查考生能否根據數值特征構造函數，并利用導數研究函數的單調性。這類試題綜合性較強，難度也較大。

［例4］（1）已知[f（x）]是定義在（0，+∞）上的函數，對任意兩個不相等的正數[x1]、[x2]，都有[x2f（x1）-x1f（x2）x1-x2<0]。記[a=f（3.13.2）3.13.2]，[b=f（3.23.1）3.23.1]，[c=f（log3.23.1）log3.23.1]，則（）。

A. [a

C. [c

（2）設[a=ln102-ln100]，[b=151]，[c=tan0.02]，則（）。

A. [a>c>b] B. [b>c>a]

C. [c>b>a] D. [c>a>b]

分析：（1）將給定不等式變形可得函數[y=f（x）x]在（0，+∞）上單調遞減，再構造函數比較[3.13.2]與[3.23.1]的大小即可推理判斷作答；（2）依題意[a=ln1+150]，[b=151]，[c=tan150]，令[f（x）=tanx-ln（1+x）]，[x∈（0，1）]，利用導數說明函數的單調性，即可判斷[a]、[c]，再令[h（x）=-lnx-1+x]，[x∈（0，1）]，利用導數說明函數的單調性，即可判斷[a]、[b]，即可得解。

解：（1）對任意兩個不相等的正數[x1]、[x2]，[x2f（x1）-x1f（x2）x1-x2<0?f（x1）x1-f（x2）x2x1-x2<0]，則有函數[y=f（x）x]在（0，+∞）上單調遞減，令[g（x）=lnxx]，[x>e]，[g（x）=1-lnxx2<0]，即[g（x）]在（e，+∞）上單調遞減，于是得[g（3.1）>g（3.2）]，即有[ln3.13.1>ln3.23.2]，從而有[ln3.13.2>ln3.23.1]，因此，[3.13.2>3.23.1>1>log3.23.1>0]，則有[f（3.13.2）3.13.2

（2）因為[a=ln102-ln100=ln102100=ln5150=ln1+150]，[b=151]，[c=tan0.02=tan150]，令[f（x）=tanx-ln（1+x）]，[x∈（0，1）]，則[f（x）=cos2x+sin2xcos2x-1x+1=1cos2x-1x+1=x+1-cos2x（x+1）cos2x]，令[m（x）=x+1-cos2x]，則[m（x）=1+2cosxsinx=1+sin2x≥0]，所以[m（x）]在[（0，1）]上單調遞增，[m（x）>m（0）=0]，所以[f（x）>0]，所以[f（x）]在[（0，1）]上單調遞增，所以[f（x）>f（0）=0]，則[f（0.02）=tan0.02-ln（1+0.02）>0]，即[tan0.02>ln1+150]，即[c>a]，令[h（x）=-lnx-1+x]，[x∈（0，1）]，則[h（x）=-1x+1=x-1x<0]，所以[h（x）]在（0，1）上單調遞減，則[h（x）>h（1）=0]，則[h5051=-ln5051-1+5051>0]，即[-ln5051>1-5051=151]，即[ln5150>151]，所以[a>b]。綜上可得[c>a>b]。

五、考查根據函數的單調性解不等式

根據函數的單調性解不等式問題通常以填空題的形式出現，有時出現一個較為復雜的具體函數，要求考生能識別它的單調性，有時出現抽象函數，要求考生構造函數，并利用導數判斷所構函數的單調性，進而逆用函數單調性的定義列出不等式，再解此不等式。這類問題靈活性強，難度中等偏上。

［例5］（1）若函數[f（x）=2x-m2x+1+tanx]的定義域為[-1，1]，且[f（0）=0]，則滿足[f（2x-1）

（2）已知定義在[R]上的偶函數[f（x）]滿足[f（x）=f（-x+4）]，[f（2024）=1e2]，若[f（x）-f（x）>0]，則不等式[f（x+2）>ex]的解集為? ? ? ? ? ? 。

分析：（1）由[f（0）=0]，可求[m]，進而可求[f（x）]，結合函數的單調性即可求解不等式；（2）根據題設條件可得[f（x）]為周期為4的偶函數，進而有[f（2024）=f（0）=1e2]，目標不等式化為[f（x+2）ex+2>f（0）e0]，構造[g（x）=f（x）ex]并利用導數研究其單調性，即可求解集。

解：（1）由[f（0）=0]，即[f（0）=1-m2=0]得[m=1]，所以[f（x）=2x-12x+1+tanx]。易知[y=-22x+1]，[y=tanx]在[-1，1]上單調遞增，所以[f（x）=1-22x+1+tanx]在[-1，1]上單調遞增，則由[f（2x-1）

（2）由[f（x）]為偶函數知：[f（x）=f（-x）]，又[f（x）=f（-x+4）]，所以[f（-x）=f（-x+4）]，即[f（x）=f（x+4）]，故[f（x）]為周期為4的偶函數，所以[f（2024）=f（506×4）=f（0）=1e2]，由[f（x+2）>ex]可化為[f（x+2）ex+2>1e2=f（0）e0]，令[g（x）=f（x）ex]，則[g（x）=f（x）-f（x）ex<0]，故[g（x）]在[R]上遞減，又即[g（x+2）>g（0）]，所以[x<-2]，可得解集為（-∞，-2）。

總之，對函數單調性的考查題型多樣，難度不一，一般而言，對單調性概念單獨考查，試題難度不大，而當它與導數的應用、與含參問題綜合在一起考查時難度會增大。因此，對函數單調性的復習，應該放在它的綜合應用上，不僅要“深挖洞”，還要“廣積糧”。

（責任編輯 黃桂堅）