促進(jìn)“思維生長(zhǎng)”的初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)干預(yù)案例研究

[摘? 要] 無(wú)論是從經(jīng)驗(yàn)的角度來看，還是從理論的角度來看，要想促進(jìn)學(xué)生的思維生長(zhǎng)，最關(guān)鍵的就是要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程. 對(duì)初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)干預(yù)來說，當(dāng)目的確定為學(xué)生思維生長(zhǎng)時(shí)，就意味著思維生長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)成為初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)干預(yù)的落腳點(diǎn). 評(píng)價(jià)學(xué)生思維生長(zhǎng)的指標(biāo)可以明確為學(xué)生的比較能力、推理能力、概括能力. 學(xué)生出錯(cuò)時(shí)就是學(xué)習(xí)干預(yù)時(shí)，此時(shí)干預(yù)往往容易讓學(xué)生形成深刻印象.

[關(guān)鍵詞] 思維生長(zhǎng);初中數(shù)學(xué);學(xué)習(xí)干預(yù);案例研究

基金項(xiàng)目：無(wú)錫市教育科學(xué)規(guī)劃課題“促進(jìn)‘思維生長(zhǎng)’的初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)干預(yù)案例研究”（B/D2020/16）.

作者簡(jiǎn)介：周佳（1983—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級(jí)教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.

任何一個(gè)學(xué)科的教學(xué)都不能忽視思維這樣一個(gè)關(guān)鍵要素，只有學(xué)生在學(xué)科學(xué)習(xí)的過程中獲得思維的生長(zhǎng)，那么這樣一個(gè)學(xué)科的教學(xué)才是有意義的. 筆者認(rèn)真比較過多個(gè)學(xué)科的核心素養(yǎng)組成要素的表達(dá)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這些學(xué)科都在或隱或現(xiàn)地強(qiáng)調(diào)思維的重要性. 數(shù)學(xué)是一門高度注重思維的學(xué)科，當(dāng)人們用通俗的語(yǔ)言說“數(shù)學(xué)學(xué)得好的人都聰明”的時(shí)候，實(shí)際上就是認(rèn)同數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能夠促進(jìn)學(xué)生思維生長(zhǎng)這一基本事實(shí). 實(shí)際教學(xué)中的挑戰(zhàn)在于，教師應(yīng)當(dāng)通過怎樣的教學(xué)方式去促進(jìn)學(xué)生的思維生長(zhǎng)？這可不是一個(gè)容易回答的問題，無(wú)論是從經(jīng)驗(yàn)的角度來看，還是從理論的角度來看，要想促進(jìn)學(xué)生的思維生長(zhǎng)，最關(guān)鍵的就是要關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程. 當(dāng)然只有關(guān)注還是不夠的，因?yàn)殛P(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，實(shí)際上只是學(xué)生學(xué)習(xí)所表達(dá)出來的信息向教師單向傳輸?shù)倪^程，其只能夠讓教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)過程有一個(gè)分析的依據(jù)，要想在此基礎(chǔ)上促進(jìn)學(xué)生的思維生長(zhǎng)，教師還應(yīng)當(dāng)主動(dòng)作為，在觀察學(xué)生學(xué)習(xí)過程的基礎(chǔ)上去干預(yù)學(xué)生學(xué)習(xí)，如果這一干預(yù)能夠起到撥亂反正的作用，那么促進(jìn)學(xué)生的思維生長(zhǎng)也就有了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

學(xué)習(xí)干預(yù)不同于日常的教學(xué)，后者往往占據(jù)較強(qiáng)的主動(dòng)性，學(xué)生是教師教學(xué)設(shè)計(jì)的被動(dòng)承受者;前者雖然也具有主動(dòng)性，但是這一主動(dòng)性主要體現(xiàn)在當(dāng)教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)過程存在疏漏的時(shí)候所進(jìn)行的干預(yù). 帶著這樣的視角觀察當(dāng)下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，可以發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)與理想的差異. 從理想的教學(xué)形態(tài)來看，課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)是師生相互分享、共同促進(jìn)的過程，然而在實(shí)際的教學(xué)中，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)前不少教師囿于教材，過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，忽視了對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累和關(guān)注，包辦了學(xué)生提問和質(zhì)疑，影響了學(xué)生學(xué)力的發(fā)掘、自主意識(shí)的形成、思維的深度開發(fā). 這些實(shí)際情形都是值得注意的. 心理學(xué)家皮亞杰指出：“學(xué)習(xí)知識(shí)是學(xué)生對(duì)于知識(shí)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行自主構(gòu)建的一個(gè)過程，教師起到的只是引導(dǎo)和培養(yǎng)的作用.”所以關(guān)注生本，保證學(xué)、思并重一直是教育領(lǐng)域討論的熱門話題之一[1]. 而關(guān)注生本，自然就要關(guān)注學(xué)生的思維生長(zhǎng)，同時(shí)也要關(guān)注教師對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極干預(yù).

本文以“中心對(duì)稱”這一數(shù)學(xué)概念的教學(xué)為例，談?wù)勅绾螢閷W(xué)生的思維生長(zhǎng)而進(jìn)行學(xué)習(xí)干預(yù).

“思維生長(zhǎng)”是初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)干預(yù)的落腳點(diǎn)

通常情況下，做任何一件事情都需要目的，確定了正確的目的，就意味著做事有了正確的方向. 對(duì)初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)干預(yù)也是如此，當(dāng)目的確定為學(xué)生思維生長(zhǎng)時(shí)，這就意味著思維生長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)成為初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)干預(yù)的落腳點(diǎn). 對(duì)于這一觀點(diǎn)，筆者想分三點(diǎn)來闡述.

第一，思維生長(zhǎng)與學(xué)習(xí)干預(yù)是目的與過程的關(guān)系. 這一關(guān)系意味著思維生長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)是學(xué)習(xí)干預(yù)的目的，而學(xué)習(xí)干預(yù)應(yīng)當(dāng)在思維生長(zhǎng)的引領(lǐng)下進(jìn)行.

這是一個(gè)宏觀認(rèn)識(shí)，盡管看起來與具體的操作沒有直接關(guān)系，但是如果沒有這一認(rèn)識(shí)或者在學(xué)習(xí)干預(yù)的時(shí)候沒有這一意識(shí)，那么真正的學(xué)習(xí)干預(yù)就失去了基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)學(xué)科作為一門基礎(chǔ)性極強(qiáng)的學(xué)科，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)過程中對(duì)方法的認(rèn)識(shí)，會(huì)不知不覺地影響其他學(xué)科的學(xué)習(xí)，甚至還會(huì)影響日常生活中對(duì)事物的看待、對(duì)問題的理解等. 因此教師只有將思維生長(zhǎng)作為數(shù)學(xué)教學(xué)的基本目的，才能將“用數(shù)學(xué)教”（而不只是“教數(shù)學(xué)”）真正落到實(shí)處.

第二，思維生長(zhǎng)應(yīng)當(dāng)滲透在學(xué)生學(xué)習(xí)的每一個(gè)環(huán)節(jié)與細(xì)節(jié)當(dāng)中，學(xué)習(xí)干預(yù)應(yīng)當(dāng)針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的環(huán)節(jié)與細(xì)節(jié)來進(jìn)行.

學(xué)生的學(xué)習(xí)總是在一定的時(shí)空當(dāng)中發(fā)生，在相應(yīng)的時(shí)間與空間里，學(xué)生的學(xué)習(xí)往往由多個(gè)環(huán)節(jié)組成，而每個(gè)環(huán)節(jié)中又存在著諸多的細(xì)節(jié)，真正有效的學(xué)習(xí)干預(yù)應(yīng)當(dāng)堅(jiān)持“大處著眼、小處著手”的原則，要將學(xué)習(xí)干預(yù)落實(shí)到學(xué)生的每個(gè)學(xué)習(xí)細(xì)節(jié)上，如此才能讓學(xué)生的思維生長(zhǎng)像植物汲取養(yǎng)分后一樣獲得生長(zhǎng).

第三，以思維生長(zhǎng)為目的的學(xué)習(xí)干預(yù)應(yīng)當(dāng)基于對(duì)思維生長(zhǎng)規(guī)律的把握.

既然對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)干預(yù)的目的是思維生長(zhǎng)，那么教師就必須把握學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中表現(xiàn)出來的思維生長(zhǎng)規(guī)律. 對(duì)于初中生而言，思維生長(zhǎng)規(guī)律可以概括為“在思維的過程中實(shí)現(xiàn)思維的生長(zhǎng)”，因此教師的一個(gè)重要任務(wù)就是為學(xué)生創(chuàng)設(shè)能夠激活其思維的空間，給予其足夠的時(shí)間. 在足夠的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)空間的累積，那么思維生長(zhǎng)也就有了極大的可能.

基于“思維生長(zhǎng)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)干預(yù)案例及研究

對(duì)于教師而言，基于思維生長(zhǎng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)干預(yù)研究，最好的方式就是案例研究. 此時(shí)教師要關(guān)注兩點(diǎn)：一是干預(yù)實(shí)際的把握. 有研究表明，當(dāng)學(xué)生興趣低迷時(shí)教師進(jìn)行干預(yù)，當(dāng)學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)疑問時(shí)教師進(jìn)行干預(yù)，往往能收到較好的效果，而切實(shí)優(yōu)化干預(yù)的多種方法，則是教師優(yōu)化干預(yù)的基本思路. 二是干預(yù)策略的把握. 有研究認(rèn)為，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“思過留痕”，可以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維有條理、更全面、更靈活、更深刻、系統(tǒng)化和可持續(xù)發(fā)展. 因此從這個(gè)角度來看，“思過留痕”可以成為學(xué)生數(shù)學(xué)思維生長(zhǎng)的推進(jìn)器，可以成為教師進(jìn)行學(xué)習(xí)干預(yù)的策略權(quán)，因?yàn)樗_實(shí)是一種提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的有效資源，自然也就是教師讀懂學(xué)生進(jìn)行因材施教的有效策略[2].

“中心對(duì)稱”是初中數(shù)學(xué)“旋轉(zhuǎn)”這一知識(shí)內(nèi)容. 相對(duì)于其他知識(shí)而言，中心對(duì)稱有一個(gè)很重要的特點(diǎn)，那就是其需要學(xué)生的想象力作為支撐. 有經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，學(xué)生在建構(gòu)中心對(duì)稱這一概念的時(shí)候，常常會(huì)借助想象去獲得一個(gè)動(dòng)態(tài)表象，這個(gè)動(dòng)態(tài)表象越清晰，那么學(xué)生對(duì)中心對(duì)稱圖形的理解也就越準(zhǔn)確與深刻. 想象力是思維力的重要組成部分，想象表現(xiàn)的建構(gòu)影響著學(xué)生的思維發(fā)展. 相應(yīng)地，如果教師能夠基于思維發(fā)展的目的，對(duì)學(xué)生動(dòng)態(tài)表象的建構(gòu)過程進(jìn)行積極干預(yù)，那么就可以為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)更好的學(xué)習(xí)空間. 基于這樣的思考，筆者設(shè)計(jì)這一課的教學(xué)時(shí)，重點(diǎn)安排了以下兩個(gè)環(huán)節(jié).

一是給學(xué)生呈現(xiàn)相關(guān)的圖形（如圖1所示），讓學(xué)生去判斷這些圖形的共同點(diǎn)，讓學(xué)生在證偽與比較中實(shí)現(xiàn)思維生長(zhǎng).

對(duì)于這兩個(gè)圖形的處理，教師千萬(wàn)要注意不能出現(xiàn)教學(xué)“越位”的情況. 所謂越位，就是剝奪學(xué)生應(yīng)有的思維時(shí)間與空間，急于將答案告訴學(xué)生，不允許學(xué)生在思考的過程中出現(xiàn)“另類”的思維結(jié)果——這并不是說不干預(yù)，而是讓學(xué)生充分暴露自己的學(xué)習(xí)事實(shí)，以提供更好的學(xué)習(xí)干預(yù)契機(jī).

實(shí)際上對(duì)于這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，如果有足夠的時(shí)間與空間，那么學(xué)生的思維過程會(huì)非常豐富. 根據(jù)筆者對(duì)于教學(xué)現(xiàn)場(chǎng)的記錄，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生的第一反應(yīng)就是“折疊后會(huì)重合”，甚至還有學(xué)生會(huì)直接說出“軸對(duì)稱”——第一個(gè)圖形還具有一點(diǎn)軸對(duì)稱性（不關(guān)注圖形中的細(xì)節(jié)），而第二個(gè)圖形顯然不是一個(gè)軸對(duì)稱圖形. 事實(shí)上，也有學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)這一點(diǎn)，所以會(huì)對(duì)上述學(xué)生的第一反應(yīng)作出否決. 這個(gè)時(shí)候部分學(xué)生出錯(cuò)與部分學(xué)生糾正，其實(shí)都給教師提供了良好的學(xué)習(xí)干預(yù)的契機(jī). 教師可以針對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)事實(shí)，用“你確信自己的判斷準(zhǔn)確嗎？”“這真的是軸對(duì)稱圖形嗎？”等問題來引導(dǎo)學(xué)生反思自己的思考結(jié)果與過程.

在這里，無(wú)論是直覺反應(yīng)還是推理否決，其實(shí)都是學(xué)生思維的結(jié)果，只不過思維的水平有所不同而已. 教師容忍學(xué)生出錯(cuò)，并且引導(dǎo)學(xué)生從錯(cuò)誤走向正確，本身就是一個(gè)思維生長(zhǎng)的應(yīng)用形態(tài).

二是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度思維，促進(jìn)學(xué)生思維進(jìn)一步生長(zhǎng).

緊接著上一學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖形并不是軸對(duì)稱圖形后，學(xué)生確實(shí)會(huì)轉(zhuǎn)換思路. 如果注意觀察學(xué)生的思維過程，就能發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生在這個(gè)時(shí)候會(huì)想：“這些圖形確實(shí)不是軸對(duì)稱圖形，但是在這些圖形中又確實(shí)存在著一個(gè)共同的特點(diǎn)，那就是每個(gè)圖形都是由兩個(gè)相同的圖形組成的，只不過這兩個(gè)圖形的位置關(guān)系無(wú)法通過折疊來實(shí)現(xiàn)重合，那么通過什么方法才能讓兩個(gè)圖形重合呢？”有了這個(gè)問題過后，再加上本章學(xué)習(xí)的內(nèi)容是“旋轉(zhuǎn)”，學(xué)生自然會(huì)想到利用“旋轉(zhuǎn)”來實(shí)現(xiàn)圖形重合……這樣一段文字，是筆者根據(jù)多個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)后的回顧總結(jié)出來的，反映了學(xué)生學(xué)習(xí)的真實(shí)情況，反映了學(xué)生的真實(shí)思維. 同時(shí)通過這樣一段文字就可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生的學(xué)習(xí)遇挫后，他們會(huì)自發(fā)地去解決遇到的問題，而這樣的過程實(shí)際上就是學(xué)生的思維不斷生長(zhǎng)的過程——從最初的判斷錯(cuò)誤，到用“旋轉(zhuǎn)”來解釋事實(shí)，這正是思維生長(zhǎng)的體現(xiàn).

實(shí)際上學(xué)生的思維生長(zhǎng)還不止于此，不少學(xué)生用“旋轉(zhuǎn)”獲得正確解釋后，發(fā)現(xiàn)“中心對(duì)稱”這個(gè)數(shù)學(xué)概念有點(diǎn)名不副實(shí)，原因是不少學(xué)生認(rèn)為只有對(duì)折后能夠重疊的才叫對(duì)稱. 當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)這一學(xué)習(xí)困境的時(shí)候，教師就應(yīng)當(dāng)進(jìn)行學(xué)習(xí)干預(yù). 比如讓學(xué)生對(duì)“旋轉(zhuǎn)”與“對(duì)折”進(jìn)行比較，通過比較，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)是相對(duì)于一個(gè)“點(diǎn)”而言的，而對(duì)折是相對(duì)于一條“線”而言的，于是就知道了“對(duì)稱中心”與“對(duì)稱軸”的區(qū)別，也就知道了中心對(duì)稱與軸對(duì)稱的本質(zhì)區(qū)別. 這種認(rèn)識(shí)在傳統(tǒng)的教學(xué)當(dāng)中很難發(fā)生，但是在這樣的時(shí)空里，只要教師進(jìn)行恰到好處的干預(yù)，學(xué)生就能形成相關(guān)的認(rèn)識(shí). 毫無(wú)疑問，這也是學(xué)生思維生長(zhǎng)的充分體現(xiàn)！

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)干預(yù)中“思維生長(zhǎng)”的評(píng)價(jià)指標(biāo)

從上面的案例可以發(fā)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，基于學(xué)生的思維生長(zhǎng)進(jìn)行學(xué)習(xí)干預(yù)，在理論上是可行的，是能夠得到事實(shí)支撐的，更重要的是，這樣的教學(xué)模式在核心素養(yǎng)發(fā)展的背景下，依然有著強(qiáng)大的生命力.

要知道數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的構(gòu)建致力于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模等能力的發(fā)展，這些能力說到底都要得到思維的支撐. 只有思維生長(zhǎng)了，那么這些能力才有可能發(fā)展. 因此可以說，數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的核心部分，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵[3].

當(dāng)然在這個(gè)過程中還有一個(gè)重要的問題需要關(guān)注，那就是如何判斷學(xué)生的思維得到了生長(zhǎng). 畢竟思維生長(zhǎng)更多的只是一種感性概念，是一種經(jīng)驗(yàn)表達(dá)，要從更加專業(yè)更加學(xué)術(shù)的角度去明確思維生長(zhǎng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)，顯然需要教師更加理性地看待學(xué)生的學(xué)習(xí).

理性是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特質(zhì)，同時(shí)也是數(shù)學(xué)教師應(yīng)有的基本特質(zhì). 在梳理思維生長(zhǎng)的評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)，筆者以為應(yīng)當(dāng)牢牢把握住這樣幾個(gè)指標(biāo)：一是學(xué)生的比較能力，二是學(xué)生的推理能力，三是學(xué)生的概括能力. 比較既是一種基本的生活技能，同時(shí)也是重要的學(xué)習(xí)方法和能力，很多發(fā)現(xiàn)都是在比較后獲得的，學(xué)生比較能力越強(qiáng)，往往數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就越順利. 推理能力就不言而喻了，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)當(dāng)中明確提出了邏輯推理這一要素，其所強(qiáng)調(diào)的就是在掌握一定邏輯（對(duì)于數(shù)學(xué)來說就是數(shù)學(xué)規(guī)律）的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，以獲得新的發(fā)現(xiàn). 可以說學(xué)生推理能力的發(fā)展過程，就對(duì)應(yīng)著數(shù)學(xué)規(guī)律的理解與運(yùn)用過程. 概括能力是至關(guān)重要的一種能力，當(dāng)學(xué)生能夠用精確的語(yǔ)言來概括自己的學(xué)習(xí)收獲，或者學(xué)習(xí)中遇到的問題時(shí)，這本身就是思維生長(zhǎng)的重要標(biāo)志.

大量的案例研究表明，只要牢牢把握住了這三個(gè)指標(biāo)，那么學(xué)生的思維生長(zhǎng)就可以得到有力的保證. 除此之外，教師不妨在平時(shí)數(shù)學(xué)教學(xué)中，正確對(duì)待學(xué)生的錯(cuò)誤，認(rèn)真分析錯(cuò)誤原因，引導(dǎo)學(xué)生在錯(cuò)誤中吸取教訓(xùn)，對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤進(jìn)行提前干預(yù)和現(xiàn)場(chǎng)跟進(jìn)，能夠使學(xué)生的學(xué)習(xí)順利進(jìn)行，并能逐漸提高學(xué)生觀察問題、分析問題、解決問題的能力[4]. 事實(shí)也表明，學(xué)生出錯(cuò)的時(shí)候就是學(xué)習(xí)干預(yù)的時(shí)候，此時(shí)干預(yù)的效果往往更容易讓學(xué)生形成深刻的印象.

參考文獻(xiàn)：

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