指向核心素養發展的高中數學結構化教學設計

高碧怡 張然然

【摘要】數學結構化教學旨在將零散的知識點進行模塊化整合，幫助學生梳理數學知識結構，架構起良好的認知框架，形成結構化的學習方式，進而促進學生數學核心素養的發展.文章以“冪函數”為例展開結構化分析，從知識的萌芽點、新舊知識聯系、新知探究、鞏固練習和歸納概括五個環節，以及知識結構、認知結構、思想方法結構和教學過程結構四個維度展開討論，探索能夠促進學生數學核心素養發展的結構化教學設計基本框架.

【關鍵詞】數學核心素養；結構化教學；冪函數

【基金項目】廣東省教育科學規劃課題“指向師范生教學能力發展的數學結構化教學策略構建”（項目編號2021GXJK380）；廣東省本科高校教學質量與教學改革工程建設項目教學團隊項目“數學教育課程教學團隊”.

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》明確提出“優化課程結構”要求.由于教材編寫的特點、教學課時的分散性以及固化思維的影響，不少高中課堂呈現出碎片化的特點，不利于學生對數學知識的整體認知和數學核心素養的發展.而結構化教學的核心是培養和發展學生的自主建構能力，以發展思維為導向，以數學學科知識為載體，最終落實培養學生數學核心素養的目標.

一、數學學科結構體系簡介

數學具有其自身的結構體系，包括知識結構、認知結構、思想方法結構和數學知識教學的過程結構.其中，知識結構是數學知識按照其內容各要素之間的邏輯關系組織起來的整體結構.認知結構是學生在數學學習過程中系統性地整合數學知識結構，并反映在頭腦中所形成的觀念體系.思想方法結構是指以數學思想為核心，所包含的相互聯系、轉化與滲透的結構體系，它是數學結構中的內隱性結構.同類的數學知識有著相類似的教學過程，通過結構化的教學過程可以引導學生掌握一類知識的自主學習途徑，將客觀存在的數學知識結構內化為頭腦中的認知結構.

二、“冪函數”結構化教學設計及分析

（一）教材分析

本節選自普通高中教科書數學必修第一冊人教A版第三章第三節，教材通過實際背景抽象出冪函數的概念并借助5個特殊冪函數圖像，運用數形結合的方式研究冪函數的性質，總結出研究一類函數的基本路徑，即背景—概念—圖像—性質—應用.本節課蘊含由特殊到一般、數形結合、歸納的數學思想方法，凸顯數學抽象、邏輯推理、直觀想象和數學運算的數學核心素養.

（二）教學目標

1.通過對5個函數解析式的觀察分析，感受冪函數概念的抽象過程，了解冪函數的概念，會表示冪函數，能夠準確地描述冪函數的特征.

3.在建構冪函數的概念和探究其圖像和性質的過程中，體會由特殊到一般、歸納、數形結合等數學思想方法，發展數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學運算等數學核心素養.

（三）教學重難點

重點：了解冪函數的概念；分析歸納出冪函數的性質，掌握研究函數的一般路徑.

（四）教學過程

1.重視數學知識結構，抓住知識的萌芽點

以研究函數的一般路徑以及冪的意義為出發點，構建起探究冪函數的腳手架，借助結構圖串聯零散的知識點.

【問題一】請同學們嘗試梳理出函數知識點的框架結構圖.

教師引導：可以從“是什么？”———函數是什么？“怎么樣？”———函數怎么表示、有什么性質這些角度進行梳理.

師生活動：教師引導學生運用知識框架圖回顧舊知，共同得出圖1.

【問題二】在初中初步探究一次函數、反比例函數和二次函數時，采取了怎樣的研究路徑？

【問題三】本節課認識一類新的函數———冪函數，何為冪函數？同學們你們還記得什么叫作“冪”嗎？

評析 設計復習環節，引導學生梳理與本節課相關的數學知識結構，抓住知識的萌芽點，從舊知出發建構新知，培養學生運用知識框架圖串聯零碎知識點的習慣，培養學生的結構意識，讓學生在復習過程中感受數學知識的系統性.

2.結合實例抽象概念，以舊知構建新知

由于學生抽象思維的發展尚未完善，對于抽象的冪函數的概念存在一定的困難，教師可以借助實例歸納共性，以舊知為基礎構建新知，降低學生的理解難度，激發學生對新知的求知欲.

【問題一】完成以下填空，并判斷等式中是否存在函數關系.

【問題二】將上述5個函數解析式中的自變量和因變量分別用x和y表示，觀察5個式子之間有哪些共同的特征？自變量所在的位置有何特點？

歸納共同特征：

（1）都具有冪的形式；

（2）以冪的底數為自變量，冪的指數都是常數，都形如y=xα的形式.

冪函數概念：函數y=xα叫作冪函數，其中x是自變量，α為常數.

【概念辨析】判斷下列函數是否為冪函數.

（1）y=x4； （2）y=2x2； （3）y=2x；

（4）y=x-2；（5）y=x3+2.

評析 經歷抽象冪函數概念的過程，從學生對“冪”的原有認知出發構建起冪函數的概念，感受數學知識之間的內在聯系，體會由特殊到一般抽象函數概念的數學思想方法，初步感受數學知識內隱的數學思想方法結構體系，發展數學抽象和邏輯推理數學核心素養.

3.借助信息技術深入探究性質，以“形”助“數”凸顯教學過程結構

探究冪函數的性質是本節課的難點，教師可以通過對直觀圖形的動態演示，引導學生更深入地剖析冪函數的性質.

【問題一】運用什么路徑研究冪函數？研究冪函數的哪些方面？

師生活動：回顧初中研究函數的一般路徑，得出圖2.

【探究一】在不同直角坐標系中分別作出前面5個冪函數的圖像，結合函數解析式與圖像觀察并歸納冪函數的性質.

教師引導：作圖時要注意什么？能否借助前兩節學習的內容簡化作圖步驟？

評析 借助路徑圖（圖2）回顧研究函數的一般路徑，激活學生對函數知識的原有認知，在此基礎上展開對冪函數圖像和性質的探究，讓學生感受探究函數的過程不是零散的，而是具有一定路徑的，感受數學知識教學過程的結構性特征.

在利用函數的基本性質簡化冪函數的作圖過程并借助圖像分析歸納冪函數的性質的過程中，學生能體會數學知識之間的內在聯系，內化知識結構，構建起對函數的良好認知框架，同時滲透數形結合和歸納的數學思想方法，發展直觀想象和邏輯推理核心素養.

【探究二】在同一平面直角坐標系中作出5個函數圖像，觀察圖像，分析歸納冪函數的一般性質.

教師引導：（1）在（0，1）內取更多的點作出函數圖像，注意公共區域內圖像相對位置的高低，觀察不同函數在公共區域內的增長速率.

（2）遵循從整體到局部的原則，從整體上，觀察函數圖像在整個直角坐標系上的分布特點；從局部上，觀察5個函數圖像在特定象限的分布特點，探究共性思路圖（如圖3）.

【問題二】從函數圖像在各象限的分布特點來看，它們有哪些共性？

預設回答：5個冪函數在第一象限都有圖像分布，在第四象限都沒有圖像分布，圖像都經過（1，1）點.

【問題三】函數的基本性質中，哪些反映函數的整體性質？哪些反映局部性質？

【追問一】從函數的奇偶性看，存在哪些共性？從函數的單調性看，存在哪些共性？

【追問二】冪函數在（0，+∞）上的單調性與函數解析式存在怎樣的聯系？

師生活動：動態演示改變常數α的值時冪函數圖像的變化趨勢，引導學生觀察圖像總結特性：當α>0時，冪函數在（0，+∞）上單調遞增；當α<0時，冪函數在（0，+∞）上單調遞減.

【問題四】除了上述結論，你還能從動態演示中發現哪些特點？當α>0時，隨著α的增大，函數圖像有什么變化？α<0呢？

評析 借助信息技術直觀展示5個函數圖像分布及圖像隨α變化的趨勢，遵循從整體到局部的原則對冪函數的圖像進行觀察，給予學生探究冪函數共性的方向，運用知識結構框架圖梳理探究冪函數性質的一般思路，為今后研究其他函數的性質提供思路，感受數學知識學習相類似的過程結構.學生按照從整體到局部的原則抓住知識之間的關聯點，構建新知，架構起完整的知識結構，促進良好認知結構的形成，發展學生直觀想象和邏輯推理核心素養.

4.以“數”輔“形”，強化認知結構

上述教學過程主要從“形”的角度展開對冪函數的探究，接下來教師通過例題及課后習題，引導學生從“數”的角度探究冪函數的性質，并檢驗學生對本節課知識的掌握程度.

評析 通過例題引導學生借助研究函數基本性質的學習經驗，在從“形”的角度研究冪函數性質的基礎上，過渡到從“數”的角度運用演繹證明的方式進一步探究冪函數的性質，體會運用數形結合研究一類函數性質的思想方法，發展邏輯推理和數學運算核心素養.

5.歸納概括，優化認知結構

【問題一】本節課主要學習了哪些內容？運用了哪些數學思想方法？

【問題二】研究一類新函數的一般思路是什么？

評析 以問題的形式引導學生回顧本節課的主要內容、研究思路和方法，并借助知識結構圖梳理出本節課的知識框架、蘊含的數學思想方法，幫助學生搭建本節課的知識框架，掌握研究一類函數的一般路徑，體會研究函數的過程結構，促使學生在頭腦中形成對函數的良好認知結構，逐步形成結構化的學習方式.

結 語

“冪函數”的教學旨在幫助學生掌握探究函數的一般路徑及思路，形成結構化的學習方式，發展數學核心素養.指向數學核心素養發展的結構化教學要求教師不斷革新教育理念，從學生的實際學情出發，站在宏觀的角度統整數學知識，善于借助信息技術突破難點，把數學核心素養培養落實到課堂教學的各個環節.

【參考文獻】

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