“配方”不是“配角”

楊元紅 胡超群

【摘要】在數學的學習中經常遇到解一元二次方程，配方法是眾多方法中的萬能之法，在最值問題的求解過程中，離開配方法可以說是寸步難行.在教學中教師應重視配方法這一紅絲帶，把代數式、方程和函數有機統一起來，引導學生構建自己的知識體系.

【關鍵詞】初中數學；解一元二次方程；配方法

初中階段，學生在數學學習中第一次接觸到“配方”一詞是在學習完全平方公式a2±2ab+b2=a±b2之后.

例1通過添加項，把多項式4x2+1配成完全平方式的形式.

解方法1：在中間加或減4x得到4x2±4x+1=2x±12.

方法2：在前面加4x4得到4x4+4x2+1=2x2+12.

方法3：在后面加116x2得到4x2+1+

116x2=2x+14x2.

在學習多項式乘法后，學習完全平方公式是為了簡便計算，所以隨著學習的深入，可以利用配方法解決一些代數式的最值問題.

例2判斷多項式2x2+8x－5是否存在最大值或最小值？若存在，請求出最值.

解 2x2+8x－5=2x2+4x－5，

=2x2+4x+4－4－5=2x2+4x+4－2×4－5，

=2x+22－13，

因為x+22≥0，

所以2x+22≥0，

所以2x+22－13≥－13.

即多項式2x2+8x－5存在最小值，最小值為-13.

當進入到一元二次方程學習的時候，課本給出的定義是：通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.下面一起來看看對一元二次方程一般式ax2+bx+c=0a≠0的配方過程，就可以感受到配方法是解一元二次方程的萬能公式.

解移項，得ax2+bx=－c.

二次項系數化為1，

得x2+bax=－ca.

配方，得x2+bax+b2a2=b2a2－ca，

即x+b2a2=b2－4ac4a2.

至此，對一元二次方程的配方完成，由于a≠0，所以4a2>0.

所以，方程解的情況由b2－4ac的情況決定.

顯然，（1）當b2－4ac<0時，方程無解.

（2）當b2－4ac=0時，方程有兩個相等的實數根，

x1=x2=－b2a.

（3）當b2－4ac>0時，方程有兩個不相等的實數根，

x1=－b+b2－4ac2a，

x2=－b－b2－4ac2a.

一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的判別式.通常用希臘字母“Δ”表示它，即Δ=b2－4ac.

通過一元二次方程一般式的配方過程，我們又得到了解一元二次方程的另一解法——求根公式法：當Δ≥0時，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的實數根可寫為x=－b±b2－4ac2a的形式.還可以得到一元二次方程跟與系數的關系：x1+x2=－ba，x1x2=ca.可見，配方法是解一元二次方程的靈魂、是萬能之法.

例3用配方法解方程2x2－4x－7=0.

解移項，得2x2－4x=7，

系數化為1，得x2－2x=72，

配方，得x2－2x+1=72+1，

即x－12=92，

解得x1=2+322，x2=2－322.

從知識體系上看，一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0是二次函數y=ax2+bx+ca≠0當函數y=0時的特殊情況，因此在對二次函數y=ax2+bx+ca≠0的性質進行研究時，仍用配方法，把一般式轉化為頂點式y=ax－h2+ka≠0的形式，過程如下：

提取二次項系數a，

得y=ax2+bax+ca，

配方，得

y=ax2+bax+（b2a）2－（b2a）2+c，

即y=ax+b2a2+4ac－b24a.

因此，拋物線的對稱軸是x=－b2a，頂點是（－b2a，4ac－b24a），再根據a的正負，就可以對其性質展開研究，得到最大值或最小值.

例4寫出拋物線y=12x2－4x+3的開口方向、對稱軸、頂點坐標，并判斷其最值情況和增減情況.

解因為12＞0，

所以拋物線y=12x2－4x+3的開口向上，

又因為通過配方，得y=12（x－4）2－5，

所以對稱軸是x=4，頂點是（4，－5），有最小值，最小值為-5，

當x<4時，y隨x的增大而減小；

當x>4時，y隨x的增大而增大.

例5如圖1，開口向下的拋物線與x軸交于點A－1，0，B2，0，與y軸交于點C0，4，點P是第一象限內拋物線上的一點.

（1）求該拋物線所對應的函數解析式；

（2）設四邊形CABP的面積為S，求S的最大值.

解由題意可設拋物線的解析式為y=ax+1x－2.

將點C0，4的坐標代入，得4=－2a，解得a=－2，

所以該拋物線所對應的函數解析式為y=－2x+1x－2，

即 y=－2x2+2x+4 .

（2）如圖2，連接OP，

設P的坐標為（m，－2m2+2m+4）（0<m<2），

因為A－1，0，B2，0，C0，4，

所以OA=1，OB=2，OC=4，

所以S=S△OAC+S△OCP+S△OPB

=12×1×4+12×4m+12×2

×（－2m2+2m+4）

=－2m2+4m+6=－2m－12+8.

所以當m=1時，S有最大值，最大值為8.

綜上可見，“配方”像一條紅線，貫穿于初中的數學學習，在解方程和求代數式的最大值或最小值的問題時，配方法是絕對得“主角”，因此在教學中應重視“配方”的過程而非結果，這也是學科素養的形成過程，正所謂“授人以魚不如授人以漁”.