初中數學解題教學中逆向思維的運用

束曉松

【摘要】數學是一門嚴謹性、抽象性和邏輯性很強的學科，要求學生具備較強的思維能力.逆向思維是發散性思維的一種，對學生理解數學公式與概念以及運用數學知識具有較大幫助，能夠有效地提升學生的學習效率.本文在闡述逆向思維概念及特征基礎上，分析培養學生逆向思維對初中數學解題教學的重要意義，并結合初中數學例題對逆向思維在數學解題教學中的應用予以介紹，最后提出應從夯實數學基礎知識、培養學生逆向思維以及加強逆向思維專項解題練習等方面培養初中學生的逆向思維，促進學生數學思維能力的發展.

【關鍵詞】初中數學；解題教學；逆向思維

2022年4月21日，教育部頒布了《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）.新課標中指出數學核心素養由：“會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界以及會用數學的語言表達現實世界等構成.”通過初中階段數學課程教學的開展，在引導學生掌握數學知識和學會應用數學知識解決問題的同時，應當促進學生思維、價值觀以及情感態度等多方面的進步和發展[1].逆向思維是一種極具創造性特征的思維，是建立在對已有思路的方向思考和分析，繼而獲得解決問題的新思路、新辦法的一種思維方式[2].在初中數學解題教學中培養學生的逆向思維，引導學生善于正向思維與逆向思維的交替運用，促進學生數學學習質量的提升和學生個體數學核心素養的發展.

1逆向思維的概念及特征

逆向思維是正向思維的逆向發展，是反方向思考、分析和解決問題的一種思維方式.逆向思維通過突破傳統思維，以新的角度思考問題，繼而獲得區別于傳統方式的新的解決方案[3].例如，司馬光砸缸的典故、電磁感應定律的提出等，都是對逆向思維的應用.同時，通過逆向思維可以將復雜的問題簡單化，降低學生理解問題和解決問題的難度.

逆向思維的特征主要體現在三個方面：一是普遍性，即要求學生全方位多角度的對問題進行審視，站在與正向常規思維對立的角度進行分析思考，利于提升解決問題的效率；二是新穎性，即解決問題的方案區別于循規蹈矩的傳統思維，更加關注事物的多方面屬性.三是批判性，即強調對思維定式的批判性看待，破除固化習慣和經驗對學生個體認知的影響.總之，通過應用逆性思維可以以一種“另辟蹊徑”達到解決問題的目的，其優勢主要在于可以將看似凌亂的問題簡單化、高效化處理，可以幫助學生轉變思考方式，有利于學生個體思維的發展以及感知能力的提升.

2逆向思維培養對初中數學解題教學的重要意義

在初中數學解題教學中培養學生逆向思維利于增進學生對數學定理、公式、定義的理解和運用[4].相比傳統正向思維，逆向思維的優勢在于可以培養學生想象空間、促進學生邏輯發展以及強化學生基礎掌握.在初中數學解題教學中，培養學生逆向思維的重要意義主要體現在三個方面：

第一，可以有效地拓展學生的思維空間，培養學生的思維能力.教師通過引導學生從與傳統思維相反的方向進行思考，可以轉變學生思考問題的角度和方向，幫助學生更加透徹的對問題進行分析、思考，繼而獲得更加有效的解決方案[5].在整個過程中，學生個體的思維將會一步一步被打開，不拘泥于傳統的正向思維，而是形成主動、積極地運用逆向思維的能力，以最快的速度得到問題的最佳答案.在數學解題練習中，許多題型都涉及到了雙向性知識.例如，定理與逆定理的轉化等.但是，受傳統教學思想以及思維定式的影響，許多學生習慣于“從左往右”的正向思考，而少有運用“從右往左”，不利于學生思維發展和持續成長.

第二，可以有效地培養學生的創造力.逆向思維是發散思維的一種形式，有利于培養學生的創造力.在數學解題教學中培養學生逆向思維可以使學生想象力更加豐富、思維更加靈活，并能夠形成自己獨到的見解.教師應深度挖掘教材，從教材中尋找富有創造力的因素，引導學生探索，在分析題型、解決難題的過程中實現自身創造意識和創造能力的提升.通過拓展學生想象空間，學生可以對數學知識進行開拓性探索，形成創造性的解題思路.通過這個過程學生形成了逆向思考方式，對學生數學學科思維形成和想象力的提升具有重要意義.

第三，可以有效地提升學生自主學習能力.教師通過結合教材內容布置融入雙向思維知識的數學題型，可以調動學生學習興趣，利于學生自主探究能力的提升.初中階段的學生普遍對新鮮的東西、方法等持有濃厚的興趣.教師結合學生生活經驗、興趣愛好，設計與生活緊密結合的雙向思維的數學題型，可以以興趣為牽引，以教材為基礎，以多樣化的題型為載體，促進學生自主探究，并在探究過程中實現學習效果的提升.通過這個過程可以促進學生自主學習習慣的形成和逆向思維的發展，促進學生解題能力的持續提升.

總之，在初中數學解題教學中，教師必須重視學生逆向思維的培養和訓練，合理地選擇合適的題型，與正向思維題型教學緊密結合，讓學生在對比分析、思考探索中掌握不同的思考方式，掌握更加豐富的解題技巧，有效地提升學生的數學課程學習效率和質量，為后續深層學習奠定扎實的基礎.

3逆向思維在初中數學解題教學中的具體應用

教師在教學中應突出培養學生的逆向思維，可以突破傳統思維定式，引導學生從一個嶄新的角度思考和解決問題，提升解題效率和質量，并實現學生個體創新意識和創造能力的有效提升.在初中數學解題教學中，教師應著力從如下幾個方面培養學生的逆向思維：

3.1教師做好課前備課工作，科學地設計數學例題

教師應在明確自身組織者、引導者的角色定位前提下，圍繞學生這一課堂主體做好備課工作，科學地設計數學例題，突出逆向思維培養和訓練，引導學生形成對逆向思維的正確認知和理解.在備課時，應注意如下幾個方面：

第一，調研學生的數學基礎和逆向思維能力情況.教師應對學生數學解題情況進行充分調研和分析，掌握學生的真實學習情況.教師可以設計能夠體現雙向思維的數學例題，組織學生進行測驗，根據測驗結果了解學生數學知識掌握情況、運用能力，并通過對測驗結果的深度分析了解是否具備一定的逆向思考能力.同時，測驗結果也可以為教師科學地設計和安排教學內容提供參考.

第二，科學設計逆向思維訓練題型.教師應依據所收集的學生的學習情況以及學生集中反映的數學問題設計數學題，引導學生從反向角度思考，掌握運用逆向思維解決問題的能力.首先，教師圍繞數學定義和公式設計包含雙向思維知識的基礎練習題.教師從正反兩個方面進行講解和分析，設計對應的聯系訓練題目，培養學生辯證思考的思維，引導學生掌握靈活運用公式定理的方法.其次，教師圍繞反推法、反向否定、舉例法等多種逆向思維解題方法設計數學練習題，引導學生掌握特殊解題方法，促進學生逆向思維的培養.此外，教師可以通過安排專項練習題的方式，引導學生熟悉“執果索因”與“由因導果”的思維方法，實現自身數學解題能力的有效提升.

3.2培育學生逆向解析題目的能力，培養學生逆向分析和判斷能力

分析題目是數學解題第一環節.學生是否能夠對題目進行準確的分析直接關系到其是否能夠找到正確的解題途徑.學生要是要從相對繁雜的題目描述中獲取關鍵信息，單純依靠傳統的正向解題思路，可能會陷入題目設計者所埋下的“陷阱”中，從而無法進行高效解題.因此，教師在解題教學中，首先應向學生講解逆向思維相關內容，引導學生形成對逆向思維重要性、方法等的認識.其次，將學生分別運用正向化思維和方向思維對課程涉及的定義、公式等進行講解，并結合典型題型向學生展示逆向分析的過程，探索新的解題路徑.通過培養學生逆向解析題目的能力，可以引導學生找出問題的本質.解題實踐中，學生要能夠抓到關鍵信息，并能夠結合已有的信息進行有效地推導，尋找信息之間的潛在聯系.例如，在代數教學中，遇到三元一次方程組時，引導學生運用不同的審題方法尋找未知數之間的關系.

例如在講解“解一元二次方程”知識時，教師可以引入典型例題展示逆向分析的基本方法，引導學生形成運用逆向思維解決問題的意識.在例題“關于x的一元二次方程x2+x+a=0的根是1，則a的值為（）”中，教師可以在學生嘗試的基礎上，引入逆向思維的點撥，即根據對題目進行分析可知，x=1是方程的根.那么可以將x=1代入方程進行計算，進而將一元二次方程轉化為簡單的一元一次方程，并由此計算出結果，即a=-2.在這一典型例題中，可以幫助學生認識到定理的反向推理也是成立的，利于學生逆向分析能力的提升.

總之，通過培養學生逆向解析題目的能力，可以促進學生逆向分析能力和判斷能力的提升，可以幫助學生更加深刻地理解數學中的概念、定義和定理.當學生在運用這些數學知識時，可以從更多角度進行思考分析.教師應當有意識的引導學生對定義的逆命題及其應用給予更多的關注，學會判斷逆命題正確性的方法.學生自身必須具備一定的逆向化判斷能力，才能判斷逆命題的真假，才能在解題過程中正確的應用.

3.3引導學生掌握逆向證明的方法，提升學生數學解題效率

在培養學生逆向思維的過程中，教師應將引導學生掌握逆向證明方法作為重點內容.逆向證明是從問題的結果出發進行推導，即由果及因.通過逆向證明可以幫助學生掌握正向推導無法輕易解決的綜合性較強的問題的方法.一般而言，常用的逆向推理方法有反證法、分析法、逆證法等.例如，在代數教學中，公式變形的證明、不等式的證明和三角函數的證明等均涉及到逆向證明.學生可以通過逆向思考，從結果出發，反向推到求初始條件，繼而獲得解決問題的新思路.

例如教師可以結合幾何中的例題向學生示范逆向證明的方式.教師圍繞“等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）”的知識點可以設計典型的證明題，在引導學生思考的基礎上拓展學生的解題思維.在如圖1的例題中“證明等腰三角形兩底角必為銳角”中，可以先做出假設，即分別假設等腰三角形的兩個底角∠B，∠C為直角或鈍角，則顯然內角和均大于180°，均與三角形內角和為180°存在矛盾.由此可以推斷出等腰三角形兩底角為直角或鈍角時，均不成立.根據這一反向推理，可以判斷出等腰三角形的底角只能為銳角.

總之，在解題中，學生掌握逆向證明的方法可以顯著地提升解題的效率，避免因記憶錯誤或原理應用錯誤而造成的解題錯誤.在解題教學中，教師應當結合例題向學生講解逆向證明法的實際應用，培養學生善于假設，正確假設的意識，并在教師的引導和示范下掌握這種解題的思路，突破固定思維的影響，實現解題效率的有效提升.

3.4加強逆向思維專項習題練習，促進學生逆向思維能力提升

在數學解題教學中，教師設計逆向思維專題練習活動，引導學生多觀察、多思考、多聯想，尋找普通問題的特色解法，掌握將復雜問題簡單化處理技巧.通過這個過程可以培養學生正難則反的數學解題思路，并將這種思路靈活地運用到數學學習實踐中.

例如專門針對分析法、反證法等設計典型例題，安排學生利用這些典型例題有意識的鍛煉逆向思維，學會逆向使用公式、排除法等進行解題.教師在安排專項習題時不可過多，應力求典型、靈活，并形成對學生有效的引導，讓學生在保持濃厚興趣的前提下主動地思考和探索，實現逆向思維能力的發展.

例如在解如圖2例題中的方程，從反面去考慮，可能會獲得更為簡捷的解題方法.解方程（組）時，一般需將多元化為一元，然后求解.但上述方程去根號后將得高次方程，求解困難.若逆向考慮增元，即設5x2-1=y（y≥0），于是，原方程變為y2-xy+x-1=0，左邊分解因式，得（y-1）（y-x+1）=0.從而解得y=1或y=x-1，5x2-1=1或5x2-1=x-1，由此很容易求出x.

又如，在解答“已知x2+x-1=0，求代數式2x3+4x2+3的值”這一例題時，采用傳統的解題思路較為繁瑣.這時，可以考慮運用逆向思維，借助整體代入的方式，可以得到如下解答過程：先把已知變為x2+x=1，將2x3+4x2+3作如下的變化逐步代入2x3+4x2+3=2x3+2x2+2x2+3=2x（x2+x）+2x2+3=2x+2x2+3=2（x2+x）+3=5，這里在代入的方法上，一個是直接代入字母的數值，另一個是不求出x的值，而是求出x的代數式的值，這是互逆的兩種思維方法[6].

總之，解題教學中，教師通過加強對學生開展逆向思維轉向訓練，可以拓展學生的思維空間，增進學生對數學知識的理解，進而轉變以往對題目的解答思路，從更加簡便和有效的角度進行思考，另辟蹊徑，以逆向的思路來輕松解決運用正向思維較難解決的題型，有效提升學生的解題效率.

4初中解題教學中培養學生逆向思維的具體建議

在闡述初中解題教學中逆向思維的具體應用基礎上，下文主要圍繞如何培養學生的逆向思維展開簡要論述.本文認為主要應從如下幾個方面入手：

第一，夯實學生數學基礎.學生能力的提升必須是建立在扎實的數學基礎知識學習上.這是學生各方面能力得以獲得提升的前提條件.因此，在日常教學中，教師應當高度重視鞏固學生對基本定義、公式、定理的理解，并定期進行考查，確保學生具備足夠扎實的數學基礎知識.扎實的數學基礎知識是培養學生逆向思維能力的重要保障.所謂熟能生巧.唯有充分地熟悉和理解數學基礎知識，才能借助逆向思維靈活的進行運用，進而達到提升學習效率的目的.

第二，定期組織開展逆向思維專題式的解題訓練活動.教師在深入挖掘教材內容的前提下形成逆向思維專題集，并定期開展小測驗，讓學生充分地接觸各種類型的逆向思維題型，掌握靈活運用逆向思維解決數學解題問題的方法.專題式訓練要發揮出應有的效果需要教師與學生共同努力.從教師的角度，應當充分利用課外時間廣泛地收集典型的逆向思維應用例題，對這些例題進行合理的歸類、篩選，最終將最具參考價值，且符合學生學習基礎的題目作為日常課堂或課后練習的主要內容.在題目選擇上要尊重學生的實際情況，不可太難或太簡單，應堅持循序漸進、逐步提升的原則，分階段、有步驟的安排，逐步提升學生逆向思維能力，讓學生逆向思考成為本能，繼而更加高效的學習數學.從學生自身的角度，應當提升學習和運用逆向思維意識的積極性和主動性，認真做典型題，并做好相應的記錄和分析，在不斷地努力的過程中必將看到自身逆向思維能力的提升.

第三，加強對學生逆向思維意識的培養.在初中數學解題教學中，教師必須要打破傳統固化思維對學生的影響.固化思維容易讓學生陷入思維泥沼，造成學生創新能力、邏輯能力等均受影響.因此，在教學中，教師要有意識的向學生介紹逆向思維的重要性，將逆向思維應用貫徹到課前、課堂以及課后等每個環節，讓學生學會用逆向思維來解決問題的良好習慣.例如，正面不行用反面、順推不行則逆推以及直接不行換間接等都是逆向思維的典型應用.通過有針對性的訓練，轉變學生的思維結構，增強學生思維的靈活性，提升學生雙向思考能力，引導學生在解決問題時自然而然的從正面思維轉到逆向思維的能力，繼而促進學生數學能力的不斷提升.

5結語

逆向思維能力是站在傳統解題思路對立方向思考問題，其對定義、公式、定理等的運用均是反向的.培養學生逆向思維對提升初中數學解題教學效果，提升學生數學課程學習質量具有重要意義.在教學中培養學生的逆性思維是一個循序漸進的過程.因此，教師在初中數學解題教學過程中，應將逆向思維訓練融入數學課程教學的全過程，引導學生在學習過程中掌握更多的數學知識和解題技巧，并有意識、有步驟將正向思維訓練與逆向思維訓練有機結合，拓展學生思維空間、豐富學生解題思路，進一步增進學生對數學知識的理解，促進學生核心素養的有效培育.

參考文獻：

[1]吳輝集.初中數學教學中學生逆向思維能力的培養[J].亞太教育，2022（20）：149-151.

[2]邱雪玲.初中數學教學中學生逆向思維能力的培養[J].教育觀察，2020，9（07）：69-70.

[3]柴麗娟.初中數學教學中學生逆向思維能力的培養策略[J].科學咨詢（教育科研），2019（09）：139.

[4]朱倩蕓.初中數學教學中學生逆向思維能力的培養策略[J].天津教育，2022（33）：49-51.

[5]李文江.淺談初中數學教學中學生逆向思維能力的培養[J].試題與研究，2022（31）：4-6.

[6]封回美.運用逆向思維巧解數學問題[J].數理天地（初中版），2022（07）：64-66.