分類討論思想如何在初中數學解題訓練中妙用

趙雯君

【摘要】隨著新一輪課程改革的持續推進，對廣大教育工作者的業務能力與教學水平有著更高的要求，對學生的培養需求從以往的知識型教學轉變成眼下的能力型教學，以其思維能力的發展為前提，幫助學生提高學習成效.分類討論思想作為初中數學解題教學中一個影響較大的數學思想方法，教師應指導學生在平常的解題訓練中巧妙運用，提升他們的解題能力.本文主要對分類討論思想如何在初中數學解題訓練中妙用做探討，并分享一些解題實例.

【關鍵詞】初中數學；分類討論思想；解題教學

在處理部分題目時，把所要研究問題根據題目特征及要求分成多個類別、轉化成多個小問題進行解決，這種先按照不同情況進行分類、再逐個研究解決的思想，就是分類討論思想，廣泛適用于各個科目的解題練習.在初中數學解題訓練中，教師應指引學生根據實際情況巧妙應用分類討論思想，使其從不同視角分析與思考題目，更為理性地處理數學問題，助推他們更好地整理數學知識點以及學習探索數學問題的規律，降低數學題目的解題難度.

1應用分類討論思想解答絕對值問題

絕對值指的是一個數在數軸上所對應點到原點的距離，用符號“丨丨”表示，屬于初中數學課程體系中的基礎性知識點，由于在數學中，絕對值是非負值，雖然無需考慮數的符號，但是因為一對互為相反數的絕對值相同，這里面就涉及分類討論思想.因此，在初中數學解題訓練中，教師可以引領學生應用分類討論思想分析與解答絕對值類問題，對絕對值中的數值進行分類討論，分別考慮是正數或者負數的不同情況，幫助他們計算出準確的答案[1].

例1已知丨a丨＝3，丨b丨＝2，且a＞b，那么ba的值是什么？

分析在本道題目中，主要考查學生對絕對值的性質與冪的計算掌握情況，難點之處在于b有兩個取值，但是都比a小，所以需要采用分類討論思想，確保答案的完整.

解根據丨a丨＝3可以得到a＝3或者a＝－3，同理根據丨b丨＝2能夠得到b＝2或者b＝-2，由于a＞b，則a與b的值有兩種情況，一種是a＝3，b＝2，另外一種是a＝3，b＝-2，所以ba=23=8或者ba=（-2）3=-8.

本題通過對分類討論思想的應用，不會遺漏b的兩個不同取值，這樣得到的結果才完善而準確.

2采用分類討論思想解答不等式問題

不等式是一類十分常見的代數式，學生在小學時期就有所接觸，不過在小學階段遇到的以嚴格不等式為主，即為純粹用“＞”“＜”連接的不等式，難度不是特別大，但是步入初中以后，他們還會遇到不“≥”、“≤”（小于或等于號）連接的不等式，難度相對較大.在初中數學不等式解題訓練中，教師應引導學生采用分類討論思想，使其把握好題目中的多種情況，從而助推他們輕松求出正確的結果[2].

例2已知關于x的不等式（n＋3）x≥n2－9，求x的值.

分析這一題目主要考查學生對不等式相關知識的掌握情況，不過需要注意的是，應考慮到題目中可能出現的多種情況，即為當n＋3＝0也就是n＝－3時，x能夠取任意數值.

解（1）當n＋3＝0時，即n＝－3時，不等式恒成立，表明x可以是任意實數；

（2）當n＋3＞0，n＞－3時，

x≥n2-9n+3＝（n+3）（n-3）n+3＝n－3，

所以x的值是x≥n－3.

（3）當n＋3＜0，n＜－3時，

x≤n2-9n+3=（n+3）（n-3）n+3=n-3，

所以x的值是x≤n－3.

綜上可得，當n=－3時，x為任意實數，當n＞－3時，x≥n－3；當n＜－3時，x≤n－3.

3使用分類討論思想解答方程類問題

學生在小學階段就學習方程的相關知識，以一元一次方程為主，在初中階段則進一步學習方程，包括一元二次方程、一元三次方程，及方程組等內容，解題難度與復雜程度與之前相比均有所提升，學生極易陷入困境之中.這時初中數學教師在平常的方程解題訓練中，可以指導學生使用分類討論思想，使其根據定義對方程的指數情況進行分類討論，以免出現遺漏情況，注重解題的全面性，幫助他們找到完整的答案，不斷增強解題自信[3].

例3已知關于x的方程（m－3）x|m-1|+x2-3=0，假如這是一個一元二次方程，則m需要滿足什么情況？

分析在這道題目中，由于要滿足該式子是一個一元二次方程，所以需滿足x的指數是小于等于2，且是自然數即可，也就是丨m－1丨≤2，這里同樣要用到分類討論思想.

解（1）當丨m－1丨＝2時，解之得m＝3或者m＝－1，把m＝3或者m＝－1分別代入到原式可以得到一元二次方程x2-3=0或者3x2+3=0；

（2）當丨m－1丨＝1時，解之得m＝2或者m＝0，把m＝2或者m＝0分別代入到原式可以得到一元二次方程x2-x－3＝0或者x2-3x－3＝0；

（3）丨m－1丨＝0時，解之得m＝1，把m＝1代入到原式后得到一元二次方程x2-5＝0.

綜上可得，當該式子是一個一元二次方程時，m的值分別是－1，0，1，2，3.

4利用分類討論思想解答函數類問題

函數貫穿于整個初中數學教學過程，無論是平面直角坐標系，還是正比例函數、一次函數、二次函數與反比例函數，都是初中階段的核心知識，與其他教學內容相比，有著明顯的抽象化與復雜化特點，導致學生在解題過程中往往會遇到一些困難，影響他們對試題的順利解答.這就要求初中數學教師在函數解題訓練中，應該引領學生利用分類討論思想分析與研究題目內容，使其找到新的解題思路，促進解題能力的提升，讓他們深入掌握函數知識[4].

例4 某文具店推出兩種優惠方案：①購1個書包，贈送1支鋼筆；②購買書包與鋼筆一律打9折，每個書包20元，每支鋼筆5元，張華與同學一共需要購買4個書包和多支鋼筆（不少于4支）.（1）分別寫出兩種優惠方法購買費用y（元）與所買鋼筆支數x（支）之間的函數關系式；（2）分析x的取值情況，指出哪種方案比較便宜；（3）張華和同學需購買4個書包與12支鋼筆，如何購買最劃算.

分析本題考查一次函數的實際運用、運算能力與分類討論思想.

解? （1）設按方案①購買費用是y1元，按方案②購買費用是y2元，

則從y1＝（x－4）×5＋20×4＝5x＋60，

y2＝（5x＋20×4）×0.9＝4.5x＋72；

（2）設y1＞y2，即5x＋60＞4.5x＋72，解之得x＞24，

當x＞24且是整數時，選擇方案②比較便宜；

設y1＝y2，即5x＋60＝4.5x＋72，解之得x＝24，當x＝24時，選擇方案①、②均可；

設y1＜y2，即5x＋60＜4.5x＋72，解之得x＜24，4≤x＜24且是整數時，選擇方案①比較便宜；

（3）購買4個書包和12支水性筆，而12＜24，故有以下兩種購買方案，

方案一，用方案①購買，需5x＋60＝5×12＋60＝120（元）；

方案二，采用兩種購買方式，用方案①購買4個書包，需4×20＝80（元），同時獲贈4支水性筆，

用方案②購買8支水性筆，需8×5×90%＝36（元），共需80＋36＝116（元），顯然116＜120，則最佳購買方案使用方案①購買4個書包，獲贈4支水性筆，再用方案②購買8支水性筆.

5運用分類討論思想解答幾何類問題

數學試題主要由代數類與幾何類兩大部分構成，在初中數學解題訓練中應用分類討論思想時，不僅可以用來處理代數類的問題，能夠解答不少幾何類試題.具體來說，初中數學幾何知識主要涉及點、線段、射線、直線、垂直、平行、三角形、圓、對稱以及各種四邊形等，可謂是知識點眾多，有的題目還是組合類圖形，教師應當指引學生巧妙運用分類討論思想分析圖形信息，使其結合題中文字信息的描述找到解題思路，得出更為全面的結果[5].

例5如圖1所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，動點P從點D處出發，沿射線DA方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P、Q分別從點D、C同時出發，當點Q運動到點B時，點P隨之停止運動，設運動的時間為t（秒），當t是何值時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

分析要使以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，需有BP＝QP或BP＝BQ或QP＝BQ這幾種情況中的任意一種.

解（1）假如BP＝QP，可作PH⊥BC于點H，則BH＝QH，

由于PD＝2t，CQ＝t，PD＝2CQ，

因為PD＝CH，

所以CQ＝QH＝BH，t＝163；

（2）假如BP＝BQ，

則（16-2t）2+122＝16－t，

整理后得到3t2－32t＋144＝0，

由于Δ＝322－4×3×144＜0，該方程沒有實根，故t不存在，這種情況不成立；

（3）假如QP＝BQ，則t2+122＝16－t，

解之得t＝72；

綜上可得，當t＝163或t＝72時，以B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形.

6結語

綜上所述，在初中數學解題訓練活動中，教師應充分意識到分類討論思想的重要意義與價值，帶領學生在分類討論思想影響下深入分析數學題目，掌握問題的本質，通過實踐訓練讓他們學會巧妙應用分類討論思想來處理各種情況與條件下的不同題目，繼而高效率地求得正確結果，使其對分類討論思想產生更為深刻的理解與領悟，真正提高自身的解題能力.

參考文獻：

[1]蔡基德.分類討論思想在初中數學解題教學中運用論述[J].數理化解題研究，2022（26）：35－37.

[2]許浩.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用探究[J].數理化解題研究，2022（26）：62－64.

[3]朱軍平.探析分類討論法在初中數學解題教學中的實踐[J].數理天地（初中版），2022（06）：23－24.

[4]癿璟.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用策略[J].試題與研究，2021（27）：177－178.

[5]陳慧如.分類討論思想在初中數學解題教學中的運用分析[J].新課程，2021（33）：98.