在折紙活動(dòng)中提高數(shù)學(xué)思維

尹國(guó)萍

【摘要】在教學(xué)活動(dòng)和生活過程中，我們要注重學(xué)生動(dòng)手能力的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的動(dòng)手能力的培養(yǎng)，對(duì)于開發(fā)學(xué)生的思維有著十分重要的作用[1].通過折紙操作活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生觀察折痕所形成的角邊關(guān)系，幫助學(xué)生建立折紙操作與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，可以學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維去觀察分析，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手能力、觀察能力、想象能力和創(chuàng)造性思維能力[3].筆者發(fā)現(xiàn)，折紙對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神，探究精神和創(chuàng)新精神，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、歸納能力、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力有明顯的效果.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；折疊；矩形

1研究背景

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會(huì)遇到折疊的問題.筆者組織學(xué)生做了一份關(guān)于折疊的題目，統(tǒng)計(jì)了正確人數(shù)，發(fā)現(xiàn)以下兩題錯(cuò)誤較多.學(xué)生如何能更好地把握折疊題呢？如何抓住核心知識(shí)？我們?nèi)绾巫龅娇焖俳忸}？

例如 如圖1，在長(zhǎng)方形紙片ABCD中．AB＝6，BC＝10，先將紙片折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)P處，折痕為EF（點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD邊上），則BP長(zhǎng)的取值范圍是（）

（A）0＜BP≤6.（B）0＜BP≤10.

（C）2≤BP≤6.（D）2＜BP≤8．

如圖2，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，E為BC邊上一點(diǎn)，BE＝1．將正方形沿GF折疊，使點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合，連接AF，EF，GE，則四邊形AGEF的面積為（）

（A）210.（B）25.（C）6.（D）5.

筆者認(rèn)為有些問題如果我們實(shí)踐操作一下會(huì)更好地理解和解決這類數(shù)學(xué)問題.

2數(shù)學(xué)課本找折疊

七年級(jí)課本上冊(cè)第169頁(yè)

七年級(jí)課本下冊(cè)第13頁(yè)探究活動(dòng)

七年級(jí)課本下冊(cè)第29頁(yè)14題

八年級(jí)課本上冊(cè)第7頁(yè)做一做：

（1）任意剪一個(gè)三角形，角折疊的方法（如圖3），畫出這個(gè)三角形的三條角平分線你發(fā)現(xiàn)了什么？（請(qǐng)與你的同伴交流）

（2）任意剪一個(gè)三角形，用折疊的方法（如圖4），找出三條邊的中點(diǎn)，畫出三條中線．你發(fā)現(xiàn)了什么？（請(qǐng)與你的同伴交流）

八年級(jí)課本下冊(cè)第117頁(yè)第5題

八年級(jí)課本下冊(cè)第121頁(yè)合作學(xué)習(xí)

八年級(jí)課本下冊(cè)第133頁(yè)第15題

九年級(jí)課本上冊(cè)第108頁(yè)課題學(xué)習(xí)：有關(guān)正多邊形的折紙，只用一張長(zhǎng)方形的紙片，能做出一個(gè)正方形嗎？

例如把長(zhǎng)方形紙按圖5折疊，攤開、鋪平后，折痕 ABCD 即構(gòu)成一個(gè)正方形.通過折痕來(lái)構(gòu)造圖形的基本原理是：疊合可以產(chǎn)生全等圖形，由此就能得到些相等的角和相等的邊，為所要構(gòu)造的圖形提供合適的條件.

下面我們?cè)倏匆焕喝鐖D6，用一張正方形紙折出一個(gè)正三角形.

九年級(jí)課本上冊(cè)第151頁(yè)探究活動(dòng)

把標(biāo)準(zhǔn)紙（長(zhǎng)與寬之比為2）一次又一次對(duì)開，按圖疊放起來(lái)，你發(fā)現(xiàn)了什么有趣的現(xiàn)象？你能給出數(shù)學(xué)解釋嗎？

九年級(jí)課本上冊(cè)第76頁(yè)合作學(xué)習(xí)

九年級(jí)課本下冊(cè)第19頁(yè)第6題：如圖7，在一張長(zhǎng)方形紙片ABCD中，AD =25 cm ， AB =20 cm，點(diǎn)E，F(xiàn) 分別是CD和AB的中點(diǎn)，現(xiàn)將這張紙片按圖示方式折疊，求∠DAH 的大小及EG的長(zhǎng)（精確到0.1cm）.

筆者再次翻看6冊(cè)數(shù)學(xué)課本，找出了以上的折疊活動(dòng)和折疊題.

3折紙得出的數(shù)學(xué)核心知識(shí)

通過折紙操作活動(dòng)，讓學(xué)生更直觀和深度地認(rèn)識(shí)了折疊中的邊角關(guān)系，常見的基本圖形的本質(zhì)特征重疊部分為等腰三角形[3]，認(rèn)識(shí)了折疊中常見的圖形之間的全等和相似等關(guān)系，[4]面積、對(duì)稱性質(zhì)聯(lián)系在一起[5]．涉及畫圖、測(cè)量、猜想證明、歸納等問題，它與代數(shù)、幾何均有聯(lián)系．在解題過程中要充分運(yùn)用以上結(jié)論.借助輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合相似性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)來(lái)解決有關(guān)折疊問題[6]如圖8、圖9.

我們接著探索如何折4個(gè)角折出弦圖如圖10，開始折的時(shí)候我們決定這個(gè)很簡(jiǎn)單，但是折的時(shí)候我們有的成功了，有的并不對(duì)，會(huì)出現(xiàn)不重合的現(xiàn)象.

我們提出猜想：這個(gè)折痕不是任意的，應(yīng)該有一個(gè)確定的量，于是我們開始先對(duì)弦圖研究.

研究結(jié)論根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)推理，△AHE≌△DGH，AH=DG，當(dāng)折疊時(shí)我們先確定折痕的一個(gè)點(diǎn)H，另一個(gè)折痕的另一個(gè)端點(diǎn)G也隨之確定，這樣我們就確定了折痕HG，以此類推，我們成功地折出了弦圖.

讓學(xué)生更好地感受到折疊變化過程中的不變性，以及常見的數(shù)學(xué)核心知識(shí).折疊問題的實(shí)質(zhì)是圖形的全等變換.

4再次回歸課本

我們對(duì)八年級(jí)下P117的第5題的圖形進(jìn)行了實(shí)踐操作，我們?cè)僖淮斡龅搅苏巯覉D一樣的問題，我們不能折出一個(gè)無(wú)縫隙、無(wú)重疊的四邊形.于是我們又一次對(duì)圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)知識(shí)的分析.

學(xué)生提出疑問：

（1）是不是任何矩形都可以折出如圖11的矩形？

（2）折痕是固定的嗎？

（3）控制什么量可以折出此矩形

研究過程：

我們根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)推理得出，我們?cè)O(shè)矩形的長(zhǎng)和寬為AE=a，AH=b，BF=C，根據(jù)△AEH∽△BFE，可得a2=bc，同時(shí)b+c是矩形的長(zhǎng)，2a是矩形的寬. 我們通過測(cè)量和計(jì)算，得出AH的長(zhǎng)，從而確定了折痕EH.

我們根據(jù)a2=bc，量好a，b，c 的數(shù)據(jù)再進(jìn)行折疊，由此我們進(jìn)行實(shí)踐折疊，成功地折出了圖形.我們找老師用幾何畫板進(jìn)行模擬折疊.

結(jié)論

（1）對(duì)于一個(gè)確定的矩形可以折出如圖的矩形，EH和HG長(zhǎng)度互換可以折出兩個(gè)，但是AH或者DH需要通過計(jì)算求得，然后根據(jù)長(zhǎng)度進(jìn)行折疊.

（2）我們也可以控制AH，AE，BF的長(zhǎng)度，使其滿足AE2=AH×BF.

發(fā)散可拓展的衍生點(diǎn)，提升學(xué)生的思維.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是要為學(xué)生思維打開搭建平臺(tái).真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

在活動(dòng)中學(xué)生體會(huì)了折紙的樂趣，更加大膽地去提出問題，從不同的視角去挖掘圖形的特點(diǎn)，創(chuàng)造性的拓展圖形的同時(shí)提高了自己 的思維能力.

5展示成果，再次面對(duì)折疊題

（1）制定展示方案，貼在黑板上；

（2）學(xué)生弦圖等折紙；

（3）學(xué)生講題等.

學(xué)生的思維從被激活后就活躍于整個(gè)課堂.解決折疊問題時(shí)，一是要對(duì)圖形折疊有準(zhǔn)確定位，抓住圖形之間最本質(zhì)的位置關(guān)系，從點(diǎn)、線、面三個(gè)方面入手，發(fā)現(xiàn)其中變化的和不變的量，發(fā)現(xiàn)圖形中的數(shù)量關(guān)系；二是要把握折疊的變化規(guī)律，充分挖掘圖形的幾何性質(zhì).提高數(shù)學(xué)思維能力，在實(shí)踐的過程中，注重收集學(xué)生的折疊作品、數(shù)學(xué)知識(shí)的深度理解、創(chuàng)新性操作和思維，這些都是在實(shí)施過程中最寶貴的內(nèi)容，也是最實(shí)在的經(jīng)驗(yàn)之談.包括活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)照片、作品等.將此素材在教室內(nèi)進(jìn)行展示，受同學(xué)們熱烈的歡迎.

6結(jié)語(yǔ)

陸游曾說(shuō)過：“紙上得來(lái)終覺淺，絕知此事要躬行.”折紙便是一次實(shí)踐的過程，在對(duì)于折疊問題時(shí)運(yùn)用折紙的方法有時(shí)可以較容易且方便地得出一個(gè)答案.在活動(dòng)中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體會(huì)更深刻，反過來(lái)也用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)幫助學(xué)生更好地進(jìn)行折疊操作.在折紙的過程中鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手操作能力[7]，更在折后的比較，計(jì)算、發(fā)現(xiàn)規(guī)律中提高數(shù)學(xué)“思維能力”.折紙讓數(shù)學(xué)中的折疊題變得更加親和.也可以領(lǐng)悟到時(shí)常地去進(jìn)行作圖與構(gòu)圖，在不斷地嘗試中發(fā)現(xiàn)新的奧秘.讓學(xué)生有一種成就感與喜悅感！數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)思維能力的學(xué)習(xí)，在吸收數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)，更重要的是發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，這種能力并非一朝一夕能夠形成.筆者將繼續(xù)研究，進(jìn)一步完善折紙活動(dòng)的開發(fā)，讓不同的學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得樂趣和成功感.

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