引源頭活水,滋養學生的數學靈性

王春燕

摘 ?要：人教版小學數學六下“圓錐的體積”一課，側重體積公式的探究及推導，在觀察對比圓柱及圓錐特點、兩者聯系建立、猜想提出、方案設計及動手實踐基礎上，可得到圓錐體積計算公式，是滋養學生數學靈性典型案例。基于此，文章以“圓錐的體積”一課為例，在引學生源頭活水的同時，促進數學活動由淺顯至深刻，從而有效培養學生數學意識及數學思維。

關鍵詞：小學數學;圓錐的體積;數學思想

數學學習應為個性化、生動性過程，為增強學生核心素養提供足夠支撐。人教版小學數學六下“圓錐的體積”一課編排于圓柱內容后，此時學生已了解圓柱體積推導的過程，而圓錐體積的推導過程遵循問題提出、經驗喚醒、聯系建立、操作實驗、公式推導及公式應用原則，具備系統性及完整性。因此，教師在開展此課教學時，應以學生已有經驗為源頭活水，在遵循圓錐體積公式推導原則基礎之上融入數學思想，科學開展數學活動，引導學生深入探索數學奧秘。

一、引源頭活水原則

（一）創新性

為提高源頭活水引流效果，有效滋養學生數學靈性，教師需將數學思想巧妙滲透到數學教學中，以增強學生探索數學的興趣及欲望，幫助其進行多元化活動，并在實踐中保持足夠能動性，為高效開展實踐性、創新性活動提供有力保障。鑒于此，教師需充分遵循創新性的原則，不斷優化數學學習的模式，使其更為全面、新穎及豐富，以增強數學競爭優勢，讓學生能科學性、高質量進行探索學習。引源頭活水創新性的原則旨在讓學生通過接觸新穎、前沿數學思想，能增強探究的動力和實踐的技能，為快速融入知識探索中提供有力保障。

（二）創造性

在引源頭活水時，教師應遵循創造性的原則，讓學生能在探索理論知識過程中形成數學的思想，從而增強理論技能及實踐技能。通過遵循創造性的原則，可讓學生在實踐中培養解題的技能，為其快速掌握學習技巧及方法搭建平臺，使其能真正認識數學知識架構與形態，為進行高效教學、創新指導提供支撐。另外，在引源頭活水時，教師應從學生學習實際特點出發，激發學生知識探索動力，全面開展創新活動，讓其能多角度、多層面應用數學知識，充分凸顯數學靈性滋養成效。

（三）綜合性

在開展教學工作時，教師應在結合數學本質特點的基礎上，科學進行源頭活水引流活動，讓學生能在教師幫助及引導下，逐步增強思維意識及數學邏輯，充分彰顯數學思想在數學靈性培養中的重要意義。因此，教師需本著綜合性的原則，利用多元數學元素喚醒學生經驗，讓其意識到思維在數學學習中的關鍵作用，為不斷延伸教學活動深度及廣度奠定基礎，從而全面拓寬學生思維、強化學生技能。

二、數學思想在滋養學生數學靈性中的重要作用

（一）滲透小學數學概念

在進行小學數學的教學活動時，教師應將數學思想有效滲透到其中，以幫助學生充分理解數學的概念，強化數學概念掌握程度，為增強學生數學靈性、開展豐富探索活動提供有力保障。在學習數學知識時，小學生極易受外界因素影響，而出現學習能力降低的現象，最終無法提升教學水平。鑒于此，在滋養學生數學靈性時滲透數學思想，增強學生學習興趣及數學概念消化吸收能力，培養學生知識點應用及掌握技能，是增強知識創新性、提升學生核心素養有效途徑。

（二）培養學生反思能力

小學生處在發展、提升思維意識關鍵階段，因此在數學靈性滋養中融入數學的思想，可強化學生探索的意識，讓其在多樣化指導下意識到自身學習問題，提升自身反思的能力，為增強解題能力、提高數學認知提供指引。因此，教師應注重借助數學思想來培養、鍛煉學生反思的能力，從而不斷增強其數學靈性。

三、“圓錐的體積”教學前議

經仔細閱讀人教版小學數學教材可發現，在對圓錐體積推導內容編排時，學生可能明顯有先入為主感覺，圓柱和圓錐聯系、實驗設計似乎均源于教材的編者，而非在遴選甄別、思維碰撞中獲得。因此，在教學時，倘若教師平鋪直敘、不加思考走完教材流程，則學生無法深入認知圓錐體積，所獲取數學經驗勢必空洞。雖然教材經深思熟慮方如此編排，以此兼顧大多學生情況，在教學方面承載著普遍性、一般性建議，但就小學階段學生而言，應是在探究中發現問題之后才逐步了解實驗對象明確、器材優化及探究方法確立等。鑒于此，在教學中融入數學思想、豐富學生活動經驗及發展學生數學情感，對滋養學生數學靈性尤為重要。

就整體層面而言，人教版小學數學六年級下“圓錐的體積”一課應以觀察猜想及方案制訂為出發點，在帶領學生探究實驗和推導公式的基礎上，引導其主動探究、合作、質疑，從而親身經歷圓錐體積完整學習的過程。第一，教師需引導學生深入思考圓錐體積學習原因。數學的知識源自生活也運用在生活中，因此需引導學生明白圓錐體積學習目的在于滿足生產及生活需求。第二，教師需讓學生自主選擇教學的關系。在開展數學活動時，教師需對學生已有知識經驗展示出足夠尊重，讓其能主動去回憶及聯想正方體、長方體和圓柱體積探究的過程，幫助其喚醒已有的經驗，深刻體會到轉化在數學思想中的重要性。通過已有經驗，學生已能從已有知識中自然搜索和圓錐相關圖形，即圓柱，可見學生已在腦海中建立了很多的數學知識，教師應引導其去自主發現不同數學知識存在的密切關系。第三，教師需讓學生自主分析數學關系。在進行實驗時，教師可引導學生選擇需要的實驗儀器及工具，讓其能感受變量控制意義，明白“圓錐的體積”一課中選擇等底等高圓柱及圓錐進行實驗的原因，讓其在歷經選擇、推理、質疑及驗證等過程中，掌握數學知識中一般、特殊存在關系，并通過思辨逐步積累理性分析經驗。第四，教師需讓學生自主探究體積計算的方法。教師需鼓勵學生勇于探索圓錐體積計算的公式，自主設計方案驗證圓柱、圓錐存在關系，進而得出正確公式。在此過程中，學生不僅積累了數學活動的經驗，而且能在合二為一思考圓錐公式數及圓錐形的過程中，充分發展數學思維，從而能夠層次性、立體化、動態化認知圓錐體積。第五，教師需鼓勵學生回顧探究的過程。就小學六年級學生而言，能用自身語言表達清楚數學探究的結論極為重要，尤其是學習了面積及體積之后，進行完整回顧及總結有明顯必要性，不僅能加深學生對當堂知識的理解程度，而且能有效滲透數學的思想，培養學生嚴謹科學的探究品質。

四、“圓錐的體積”教學剖析

（一）導入情境，喚醒學生經驗

第一，向學生展示圓錐形沙堆。教師問：“在一處建筑工地，有一堆圓錐形沙堆，你知道其中沙子有多少m3嗎？多少m3沙子求的是什么呢？今天我們將一起探究圓錐體積。”第二，提出問題，引導學生思考。教師問：“在此之前，關于立體圖形體積，你知道多少呢？”學生將會回答出正方體、長方體及圓柱等。第三，引導學生回憶圓柱的體積公式推導，通過動畫演示的方式，喚醒學生已有經驗，并引導其進行轉化。第四，轉化前后關系回憶，重點包括等高、等底等，并提出問題。教師問：“長方體在轉化后，和圓柱存在哪些相等關系呢？”學生答：“兩者的高相等、面積也相等，長方體寬和圓柱底面半徑相等，長方體長為圓柱底面的一半周長。”通過這樣的方式，帶領學生重點回憶圓柱體積推導的過程，讓其在聯系轉化前后關系的同時，明白轉化這一數學思想，并喚醒對應經驗，為本課新知探究奠定堅實基礎。

（二）操作實驗，探究本課新知

第一，教師準備實驗，由教師選擇實驗的儀器并預做實驗，以此降低數據誤差可能性。1. 儀器。選擇厚度適中、材質一樣和形狀標準的等高等底圓柱容器及圓錐容器，當操作前，引導學生思考問題：“儀器差異為什么會造成不一樣的后果？”2. 預做。教師進行數次實驗預做工作，并以實驗結果為依據，預估學生是否能接受。倘若不能，需優化操作或者調整儀器，直至預估到學生可接受結果。在此過程中，教師需仔細分析實驗各過程易出現誤差的細節。第二，操作實驗，完成誤差接受鋪墊工作。實際上，就實驗操作的結果而言，學生并非集中于不是兩倍或者不是π倍的原因，因為前期正方體、長方體及圓柱體積等教學中已針對此類困惑進行了分析。大多學生心理上雖然能接受結果為3倍的事實，但會存在一些不甘情緒，如：“我得到的結果為什么不是這個呢？”“為什么老師說的就是正確的呢？”這些情緒會減弱學生對實驗操作的興趣，而影響實驗效果。鑒于此，在操作實驗時，教師可向學生適時提示對實驗結果產生影響的細節，為合理解釋存在誤差結果做好鋪墊。如在學生倒沙子過程中可能發現，圓柱體積為圓錐體積2倍多尚不足3倍，抑或3倍多，這時教師需及時提問“出現不同結果的原因在哪？”，旨在引導學生思考操作前反復提到的誤差產生細節，以此緩解其不良情緒，提高實驗結果認同度。之后，教師需展示自己實驗的結果，即在肉眼下觀察剛好為3倍，此操作目的在于通過示范引導學生接受實驗的結果，教師已在儀器選取、操作細節等方面盡可能減少了誤差因素，因此結果與真實值更為接近，也為學生提出猜想奠定了基礎。第三，交流匯報。此教學環節的意圖在于，學生通過實驗操作及交流可得出：倘若圓柱及圓錐存在等底等高關系，則圓錐體積為圓柱體積1/3，此關系不受大小影響因素。但若圓柱及圓錐不存在等底等高關系，則包括很多情況，此為實驗選取等底等高圓柱及圓錐研究關鍵原因。第四，體積公式推導。首先推導：以實驗的結論為依據，應該怎樣計算圓錐體積呢？其次理解：公式中的sh、h、s分別代表的是什么？再次追問：公式中為什么需要乘以1/3呢？最后質疑：不等底不等高圓柱及圓錐為什么不適用于此推導？通過推導活動，可讓學生經歷公式推導完整過程。在質疑過程中，學生不僅能加深體積計算認知程度，而且能深入理解選取等底等高圓柱及圓錐研究原因，為數學活動的經驗積累提供有力保障。

（三）過程回顧，累積活動經驗

在完成實驗操作、新知探究之后，可引導學生回顧整個過程，在揭示數學本質、實現深度學習的同時，累積豐富的活動經驗。首先，回顧操作過程，得到正確的結論。小學六年級學生語言仍存在一定局限，可能出現表達不簡潔及不完整等情況，因此教師可讓學生先在小組內回顧，在相互啟發及補充的基礎上，由起初說完整至說準確，到說簡單至說清晰，在提高學生歸納能力及表達能力的同時，得到正確結論。其次，回顧探究的結果，構建數學的模型。教師需引導學生明白，只有等底等高，圓錐體積方為圓柱，通過深入引流，幫助學生構建數學的模型。最后，回顧數學思想，增強解決能力。數學思想為問題解決策略，為數學學習靈魂。故此，除了回顧過程及結果外，還需引導學生明白數學知識蘊藏的思想，為培養學生數學思維奠定堅實基礎。

（四）結合結論，提高數學能力

通過獨到教學視角，引源頭活水，喚醒學生已有經驗，可將結論性知識還原為其原本樣貌，幫助學生親歷知識發現及形成的過程，在讓其領悟數學思想、滋養數學靈性的同時，增強實踐、理論融合的技能，為其進行高質量數學探索積累豐富經驗。

五、結語

總而言之，“圓錐的體積”邏輯主線并非體積計算的方法，而是公式推導過程。在進行此課教學時，教師應以學生知識獲取一般路徑為原則，在巧妙喚醒學生已有經驗基礎之上，循序漸進、由淺入深進行探究，在質疑中持續激發數學活動參與熱情及探究欲望，不斷提升再思考及再求證的能力，獲得對應數學經驗，增強問題分析及解決能力，促進自身數學思維及實踐能力得到充分發展。

參考文獻：

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（責任編輯：胡甜甜）