探究數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用

洪木山

摘 要：近年來，隨著我國教育事業(yè)的不斷發(fā)展，高考試題也在朝著越來越開放的方向不斷發(fā)展，高考命題的方式也越來越多元化，很多時候一道數(shù)學題會包含好幾個知識點，而要解決這些數(shù)學問題，需要學生對數(shù)學知識點的理解更加深入，運用更加靈活。為了達到這一教學效果，教師需要在高中數(shù)學教學中，靈活應用數(shù)形結(jié)合思想，不斷完善教學方案，以此來拓寬學生的數(shù)學解題思路，讓學生的數(shù)學解題效率越來越高，進而促使學生整體數(shù)學實力得以提升。文中結(jié)合筆者的教學經(jīng)驗，對數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用策略進行探究，以供大家參考。

關鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學；數(shù)學教學

數(shù)形結(jié)合思想，其實指一種既涉及數(shù)字，又涉及圖形的思維模式，在這種思維模式下，學生可以將數(shù)字轉(zhuǎn)化為圖形，也可以將圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字，同時亦可以將數(shù)字和圖形進行互化[1]。數(shù)學是高中時期非常重要的一門學科，其主要是為了研究數(shù)量關系和空間形態(tài)，在教材中存在數(shù)字和圖形兩個部分。在高中階段的數(shù)學教學中，當學生遇到一些抽象、復雜的數(shù)學問題時，如果無法應用數(shù)字或圖形中的任意一個去解決它，那么就需要運用數(shù)形結(jié)合的思維方法，把原本抽象、復雜的數(shù)學問題簡單化，并由此來幫助學生明確解題思路，從而更好地解決這些數(shù)學問題[2]。高中數(shù)學教師必須在課堂中密切關注學生主體作用，同時積極地在課堂中滲透數(shù)形結(jié)合的思想，以此來幫助學生理解和掌握數(shù)學知識，進而有效地提升學生的數(shù)學解題能力。

一、數(shù)形結(jié)合的原則

數(shù)形結(jié)合思想是一種同時涉及數(shù)字和圖形的思維模式，即通過對數(shù)的嚴謹、形的直觀兩種特性的綜合應用來分析和解決數(shù)學問題的思維方式。簡單來說就是靈活對“數(shù)”與“形”進行轉(zhuǎn)換，將抽象的“數(shù)”以形象的“圖形”方式呈現(xiàn)出來[3]。將數(shù)形結(jié)合應用到高中數(shù)學教學中，可以通過對圖形的應用展現(xiàn)原本抽象的數(shù)學問題，從而可將數(shù)學知識、數(shù)學問題變得更容易理解、更容易感知，進而能夠達到降低學生理解難度，促進學生深度學習的效果，對提升高中數(shù)學教學效率及質(zhì)量有積極幫助。

但需要注意的是，在高中數(shù)學教學中應用數(shù)形思想結(jié)合時應嚴格遵循兩個原則，其一，雙向性原則。雙向性原則也就是要對集合圖形進行直觀研究分析，這是由于幾何圖形的多種條件都可以實現(xiàn)對圖像的轉(zhuǎn)化，從而可以以圖像方式直觀地展現(xiàn)數(shù)學問題中所要推斷的位置條件。在此基礎上，再運用代數(shù)知識對數(shù)學問題展開邏輯分析，以彌補幾何直觀性給問題分析造成的約束，從而通過對代數(shù)抽象性以及幾何圖形直觀性等優(yōu)勢的共同應用，發(fā)揮出更好的教學效果[4]。其二，等價性原則。等價性原則即應保證“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)和“形”的幾何性質(zhì)在轉(zhuǎn)化時應保持等價性。這是因為“圖形”雖然具有直觀性強的特點，但是其準確性難以有效保證，故而也有其自身的局限性，若不能與“數(shù)”的代數(shù)性質(zhì)保持一致，則容易對解題情況造成影響。故而，在運用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學問題時，也應注意保持數(shù)形的等價性原則。

二、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的價值

數(shù)學是一門內(nèi)容豐富的學科，其學習內(nèi)容可涉及數(shù)量關系、空間結(jié)構(gòu)等多個方面。可以說，數(shù)學是一種揭示事物規(guī)律的基本工具。數(shù)學的這一特性也決定了其內(nèi)容必然存在有很強的邏輯性、抽象性及嚴謹性，這也就對學習者邏輯思維能力提出了更高的要求，需要學習者具備一定的數(shù)學思想。尤其是在高中階段，數(shù)學學習難度較大、學習壓力重、時間緊，僅僅依靠傳統(tǒng)的“題海戰(zhàn)術”方式進行機械化的練習鞏固，很容易出現(xiàn)事倍功半的效果，不利于學生學習效率的提升[5]。而數(shù)形結(jié)合思想則能夠通過數(shù)與形的有效結(jié)合，幫助學生學會從不同角度分析和解決問題，對降低數(shù)學學習難度，提升學生數(shù)學效率有積極幫助。具體而言，高中數(shù)學教學中數(shù)形結(jié)合思想的應用價值可以歸納為下述幾個方面：

（一）有利于激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣

在高中階段的數(shù)學教學中，由于這一階段的數(shù)學知識難度越來越大，且大多數(shù)知識點都存在抽象性、象征性以及形式化的特點，很多學生學習起來會非常吃力，同時各種考試帶來巨大的壓力，讓學生對于數(shù)學學習的信心和興趣越來越低，甚至還有不少學生產(chǎn)生了厭學心理[6]。但是，通過在高中數(shù)學教學中應用數(shù)形結(jié)合思想，可以將原本抽象的數(shù)學理論和概念直觀形象地呈現(xiàn)給學生，以此來達到化難為簡的目的。這樣一來，可以讓學生在數(shù)學學習中重新建立信心，體會數(shù)學知識的魅力，從而有效地激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣。

（二）有利于提高學生的數(shù)學理解速度

在高中階段的數(shù)學教學中，因為傳統(tǒng)教學方法上所存在的一些問題，使得學生在學習了新的數(shù)學知識之后，很難將其與舊數(shù)學知識串聯(lián)起來，從而影響了學生數(shù)學知識體系的構(gòu)建。通俗來說，就是學生無法將所學的新知識與舊知識進行關聯(lián)，從而難以在解題過程中有效地運用這些數(shù)學知識[7]。但是數(shù)形結(jié)合思想的應用，是數(shù)字和圖像的一種轉(zhuǎn)換，這就在一定程度上推動了學生數(shù)學知識體系的建構(gòu)，讓學生可以在學習新知識的同時完成舊知識的鞏固。另外，通過在高中數(shù)學教學中廣泛運用數(shù)形結(jié)合思想，也可以將原本抽象難懂的數(shù)學理論知識通過直觀的形式呈現(xiàn)出來，讓學生在數(shù)字和圖形的雙重輔助下，提升自身對數(shù)學知識的理解速度。

（三）有利于拓寬學生的數(shù)學解題思路

在高中階段的數(shù)學教學中，數(shù)形結(jié)合思想雖然不是唯一的數(shù)學解決方法，但是卻在數(shù)學解題過程中一種重要方式，它可以讓學生在面對一些問題時，幫助學生從更多角度去尋找問題的突破口，拓寬學生的解題思路，從而使學生可以采用一種更為簡單的新方式去解決數(shù)學問題。另外，在解決數(shù)學問題時應用數(shù)形結(jié)合思想，可以讓學生更加充分地提取和運用題干中的相關信息，從而大大地提高了學生的解題效率。教師在高中的數(shù)學課程中要注重數(shù)形結(jié)合思維的應用，在培養(yǎng)學生思想深度的基礎上，進一步拓展他們的數(shù)學解題思路。

（四）有利于提升學生的數(shù)學思維能力

步入高中之后，學生的思維也在發(fā)展，通過在高中時期應用數(shù)形結(jié)合思想，可以有效地提升學生的解題思維能力，讓學生從多個角度入手去思考和分析數(shù)學問題，從而實現(xiàn)學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)[8]。與此同時，在高中時期的數(shù)學教學中應用數(shù)形結(jié)合思想，可以讓學生的思想不斷在數(shù)字和圖形之間進行轉(zhuǎn)換，以此來鍛煉學生的思維。最后，數(shù)形結(jié)合思想的重點在于抽象思維與形象思維的相互轉(zhuǎn)變，這樣的一個過程，對于提升學生思維能力非常有益。

三、數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學教學中的應用策略

（一）運用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問題

在高中階段的數(shù)學教學中，學生會遇到與“集合”相關的問題，在這部分內(nèi)容的教學中，集合的并、補、交等概念相對來說會比較抽象，后續(xù)還要進行集合的基本運算，如果學生無法正確地理解和掌握集合的并、交、補的概念，那么在學習這部分內(nèi)容時會非常吃力[9]。因此，教師在教學中，可運用圖示法等，讓原本抽象的集合概念變得簡潔、直觀起來，以此來幫助學生理解和掌握集合的并、交、補含義。在具體的實施中，教師可以先讓學生從字面上理解并、交、補各自的含義，然后教師再繪制Vemn圖，讓學生直觀地看到并、交、補各自的含義，最后教師再結(jié)合教學內(nèi)容，為學生講解集合的并、交、補，如此一來，學生可以從多個角度去理解并、交、補的含義，從而為后續(xù)集合的運算打下基礎。

例如，在人教版高一數(shù)學必修一第一章《集合的基本運算》的教學中，當學生遇到集合問題“已知某一個班級有學生41人，其中喜歡吃橘子的有18人，喜歡吃香蕉的有16人，香蕉和橘子都不喜歡吃的有11人，現(xiàn)在我們要計算出既喜歡吃香蕉，也喜歡吃橘子的人有多少？”在解決這一問題時，教師可以先集合題目內(nèi)容，將文本內(nèi)容轉(zhuǎn)換成集合語言，即我們先將全班的總?cè)藬?shù)集合起來，表示為，喜歡吃橘子的人數(shù)集合起來，表示為，喜歡吃香蕉的人集合起來，表示為。然后繪制Vemn圖，將題干中的文字轉(zhuǎn)換為直觀的圖形，其中紅色與黃色相交后呈現(xiàn)的橘色部分，就是既喜歡吃香蕉，也喜歡吃橘子的人數(shù)。這樣一來，教師在進行集合相關知識教學時，通過數(shù)形結(jié)合思想的運用，不僅可以讓集合問題變得通俗易懂，方便學生理解學習，同時還豐富了課堂內(nèi)容。

（二）應用數(shù)形結(jié)合思想解決方程和不等式問題

在高中階段的數(shù)學教學中，方程和不等式也是數(shù)學教學中不可忽視的內(nèi)容，而在解決方程和不等式問題時，應用數(shù)形結(jié)合思想，可以有效地優(yōu)化方程和不等式問題的解題方法，從而提升學生的解題效率[10]。因此，在“方程與不等式問題”相關知識的課堂教學中，教師往往能夠借助二次函數(shù)圖形，將一元二次不等式問題更直接地表現(xiàn)在圖形上，并由此來開拓學生的解題思維，從而提升學生的解題效率。

例如，在人教版高一數(shù)學必修一第二章《二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》的教學中，當學生面對一元二次不等式問題“＞0”時，教師可以先將其轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)，即，然后根據(jù)二次函數(shù)繪制圖像，確認二次函數(shù)圖像的開口向上，其在軸上的兩個交點是-2、3，也就是指題目中所給的二次函數(shù)，其圖像與軸有交點坐標存在，即（-2，3），從圖像可知，如果＞0，需要取交點兩側(cè)的值，即＜-2或＞3時才能滿足＞0，因此，一元二次不等式＞0的解集為{|＜-2或＞3}。除此之外，借助函數(shù)圖象求解方程的近似值也可以有效地簡化問題，如在求解不規(guī)則的方程時，教師可以將等式的兩邊分別設置成函數(shù)的方式，然后繪制函數(shù)圖象，函數(shù)圖象的交點就是方程的根。如一元二次不等式問題“已知方程|-1|=+1，求在不同取值范圍中，該方程的解。”在解決

這一問題時，教師可以先設置函數(shù)方式，即1=|-1|，2=+1，然后繪制圖像，觀察圖像的交點個數(shù)。因為1=|-1|是兩條拋物線，一條開口向上，一條開口向下，且與軸的交點為-1、0和1，而2=+1是一條平行于軸的直線，求解后可得，當＜-1的時候，1和2之間是沒有交點的，故而此方程無解；

當=-1的時候，1和2之間存在兩個交點，故而此方程有兩個解；當-1＜＜0的時候，1和2之間存在四個交點，故而此方程有四個解；當=0的時候，1和2存在三個交點，故而此方程有三個解；當k＞0的時候，1和2存在兩個交點，故而此方程有兩個解。通過這種以形化數(shù)的方式，可以有效地降低一元二次不等式問題的難度，教師應該多給予學生一些獨立思考的時間，讓學生充分考慮到其中的可能性，從而準確地解決此類問題。

（三）應用數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問題

在高中階段的數(shù)學教學中，立體幾何是其中非常重要的內(nèi)容之一，為了幫助學生掌握更多解決立體幾何問題的方法，教師在教學中應該重視數(shù)形結(jié)合思想的應用，以此來幫助學生突破思維的限制，形成較為完整的立體幾何解題思路。在具體的實施中，教師可以先對立體幾何的結(jié)構(gòu)特點等進行分析，發(fā)現(xiàn)其中所存在的數(shù)量關系，然后利用數(shù)量關系來解決問題。

例如，在人教版高一數(shù)學必修二第八章《空間點、直線、平面之間的位置關系》的教學中，學生經(jīng)常會遇到類似這樣的問題“已知有一個四棱錐，其底面是平行四邊形，且平行四邊形的為60°，=2，同時四棱錐的棱和平行四邊垂直。現(xiàn)在要求和垂直”。在解決這一幾何問題時，不僅需要學生發(fā)揮自身的空間想象力，同時還需要學生運用數(shù)形結(jié)合思想，如題干中所提到的為60°，=2，通過這兩個信息以及余弦定理，學生就可以證明和之間是垂直關系，而由題目中得知和也垂直，和同屬于一個平面，這樣學生很容易就能解決這個幾何問題。另外，在解決幾何問題的過程中，教師還可以利用直角坐標系，讓數(shù)字和圖像結(jié)合得更加充分，從而有效地發(fā)揮代數(shù)等知識的優(yōu)勢，幫助學生運用這些知識去解決幾何問題，進而提升學生解決幾何問題的能力。

（四）應用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

在高中階段的數(shù)學教學中，函數(shù)問題既是重點也是難點，為了更好地幫助學生學習這部分知識，教師在教學中可以應用數(shù)形結(jié)合思想，對函數(shù)相關知識進行研究分析。在解決一些函數(shù)問題時，常常會借助直角坐標系來輔助問題的解決，通過直角坐標系的繪制，能夠清晰明了地表達函數(shù)關系，再利用函數(shù)解析式的精準計算，從而使得函數(shù)問題得到有效解決。在具體的實施過程中，教師需要積極地向?qū)W生灌輸數(shù)形結(jié)合思想，使學生能夠達到靈活運用的程度。這樣，學生在面對函數(shù)問題時，才能夠準確抓住函數(shù)問題的特征，促使學生解題思路得到拓展，更好地掌握函數(shù)相關的知識內(nèi)容。

例如，在人教版高一數(shù)學必修一第三章《函數(shù)的基本性質(zhì)》的教學中，學生經(jīng)常會遇到如下類型的函數(shù)問題“已知有一個二次函數(shù)=（＞0），當＜0時，的值應該是什么？A.0；B.正數(shù)；C.負數(shù)；D.取決于符合”。在解決這一函數(shù)問題時，教師需要先繪制二次函數(shù)圖像，并計算=

與軸之間的交點坐標，即=0或者=-1，且由于的圖像開口向上，當＜0時，其的區(qū)間應該是（-1，0），區(qū)間長度是1，而由題干可知，＞0，將函數(shù)的圖像整體向上進行平移后，＜0的區(qū)間長度只會比1更小。因此，當＜0時，的值一定會大于0，由此可得，此題的答案為B。通過以上解題過程可以看出，數(shù)形結(jié)合思想的應用可以將原本較為抽象的函數(shù)關系更加直觀地表現(xiàn)出來，讓函數(shù)問題變得簡單，有助于學生掌握函數(shù)知識，學會運用函數(shù)知識解決問題。

結(jié)束語

總而言之，數(shù)學這門學科具備著非常強的邏輯性，其既研究空間圖像，也研究數(shù)量關系，數(shù)形結(jié)合思想的應用是非常有必要的。因此，在高中階段的數(shù)學教學中，教師應該從實際教學情況出發(fā)，靈活地運用數(shù)形結(jié)合思想去解決高中數(shù)學教學中所遇到的函數(shù)問題、集合問題、幾何問題、方程和不等式問題等，以此來降低題目的難度，幫助學生理解和掌握數(shù)學相關知識，拓寬學生解題思路，從而促進學生數(shù)學整體實力的提升。另外，除了文章中所提到的這些數(shù)學問題之外，數(shù)形結(jié)合思想的應用還可以幫助學生解決概率問題、數(shù)列問題等，為了確保數(shù)形結(jié)合思想的應用優(yōu)勢得以充分發(fā)揮，還需要教師不斷創(chuàng)新和優(yōu)化數(shù)形結(jié)合思想的應用策略。

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本文系泉州市教育科學“十四五”規(guī)劃（第一批）立項課題“新高考背景下“歷史傾向”學生的數(shù)學培優(yōu)實踐研究”（項目編號：QG1451-177）研究成果。