初中數學項目式學習的實踐與思考

葛善成 李明樹 王曉峰

摘? 要：項目式學習是通過合作探究解決真實情境中的復雜問題的一種學習方式. 文章從實踐的角度明確初中數學項目式學習的內涵、價值、設計及實施策略，以“做數學”為基本實踐樣態，將“定寬曲線”的項目任務分解為問題驅動、持續探究、成果展示、評價引領四個部分，強調自我規范、展示交流、智慧分享、完善作品，注重學生的活動體驗和思維發展，發展學生的數學核心素養.

關鍵詞：項目式學習；定寬曲線；數學核心素養

基金項目：2022年中國教育學會義務教育數學課程標準研究（初中）專項課題——初中數學應用意識與創新意識素養行為表現及其教學案例研究（22ZS101411ZB）．

作者簡介：葛善成（1990— ），男，一級教師，主要從事中學數學課堂教學研究；

李明樹（1977— ），男，高級教師，主要從事中學數學課堂教學研究；

王曉峰（1970— ），男，正高級教師，江蘇省特級教師，主要從事中學數學教學、命題和評價研究．

一、初中數學項目式學習的內涵與價值

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“項目學習教學以用數學方法解決現實問題為主，其目標是引導學生發現解決現實問題的關鍵要素，用數學的思維分析要素之間的關系并發現規律，培養模型觀念，經歷發現、提出、分析、解決問題的過程，培養應用意識和創新意識.”項目式學習是一套系統的教學方法，它是對復雜、真實問題的探究過程，也是精心設計項目作品、規劃和實施項目任務的過程，學生在此過程中能夠掌握所需的知識和技能. 有國內研究者將核心素養時代項目式學習的內涵定義為一種建構性的教與學的方式，即教師指導學生基于真實情境提出問題，利用相關知識和信息資料開展研究、設計和實踐操作，最終解決問題并展示和分享項目成果.

在實踐中，我們結合數學學科特點，將初中數學項目式學習總結為基于初中數學教育教學目標，圍繞數學教育活動展開，學生綜合運用數學核心知識、技能、方法、思想，融合其他學科知識解決真實情境問題的實踐性學習活動，最終目標是深化學生的知識體系，發展學生的高階思維. 項目式學習將課堂教學和實踐活動有機結合，帶領學生深入體驗現實世界，增強學生對數學知識的理解和應用，體現以問題為導向、以探究為核心、以共同發現為形式、以發展思考能力為目標的教育理念，有助于學生形成思考方法、判斷能力、批判性思維、創新意識和團隊協作能力.

二、初中數學項目式學習的設計與實施策略

夏雪梅教授提出了項目式學習的設計框架，即“尋找核心知識—形成本質問題—轉化為驅動性問題—澄清項目的高階認知策略—確認主要的學習實踐—明確學習成果及公開方式”，并設計覆蓋全程的評價標準. 結合數學學科的特點，項目式學習的設計應該指向核心素養，以解決現實問題為重點，通過數學和其他學科知識的有效整合，構建包含本質問題、驅動問題、核心知識、高階認知、學習實踐、項目成果、反思評價等內容的學習體系. 我們在實踐中探索出以“做數學”為基本實踐樣態的項目式學習實施策略，如圖1所示.

“做數學”以知行合一為認識論基礎、以建構知識為學習論基礎、以情境認知為教學論基礎，強調合作學習的方式，用情境支持知識理解. 從實施途徑來看，“做數學”的實踐模型包括操作體驗、數學實驗、綜合實踐三類；從目標指向來看，“做數學”的實踐模型包括驗證理解、探索發現、應用實踐三類. 其具體實施路徑為：問題驅動—持續探究—成果展示—評價引領.

三、項目設計與實施

項目活動1：查閱資料，了解車輪的發展史.

學生活動：車輪作為人類的先進發明之一，是車輛前進的基本組成單元. 學生在課前查閱資料，了解車輪的起源和發展史，以及車輪在人類文明史上的重要意義，并在課堂上展示成果.

【反思與評價】學生主動了解車輪的演變歷程，從歷史發展的角度闡述“車輪是圓形的”這一事實，深刻認識車輪給人類社會發展帶來的進步. 通過為學生提供一個來源于生活的問題，促使學生思考司空見慣的現象背后的科學原理，產生主動學習的意愿.

項目活動2：探究將車輪做成圓形的優勢.

（1）操作體驗：感悟非圓形車輪滾動.

學生活動：學生通過實驗操作發現三角形或正方形車輪在滾動時不夠平穩，說明將車輪做成圓形是由于其具有“定寬”的特征（必要性）.

教師進而提出問題：除了圓形以外，還有什么圖形具備“定寬”的特征？其是否可以替代圓形車輪？

學生嘗試探究將三角形、正方形、圓形做成車輪的圖形運動特征，成果展示如下.

第1組：我們組分別借助等邊三角形、正方形塑料片畫出了其頂點和中心在滾動過程中形成的軌跡；借助圓形塑料片畫出了圓上一點和圓心運動形成的軌跡.

第2組：我們組嘗試用GeoGebra或網絡畫板等軟件進行不同圖形滾動過程的動態演示，但在制作時發現圖形運動的背后蘊含了大量算理，沒有成功. 然后我們發現了一款趣味仿真實驗平臺——Algodoo軟件，它可以通過拖拽、傾斜等方式實現高精度的物理仿真實驗. 我們使用簡單的繪圖工具創建和編輯場景，完成了本次任務，如圖2所示.

第3組：我們組通過尺規作圖分別作出了圓形車輪滾動過程中圓上一點和圓心運動形成的軌跡，以及等邊三角形和正方形在滾動過程中頂點和中心運動形成的軌跡.

（2）數學實驗：為了保證車子平穩前進，車輪是不是只能做成圓形？

學生活動：學生以小組為單位展開分工合作，制作萊洛三角形小車并進行演示實驗.

學生成果展示：圖3為萊洛三角形小車滾動前進演示實驗.

實物演示后，再借助Algodoo軟件直觀演示萊洛三角形滾動的畫面（如圖4），從中抽象出萊洛三角形.

（3）探索發現：觀察圖5，思考萊洛三角形是如何構成的.

操作：你能借助沒有刻度的直尺和圓規作出萊洛三角形嗎？

思考：萊洛三角形是如何維持車座平穩的呢？

【反思與評價】首先，通過非圓形車輪滾動使學生獲得大量的感性認識，提高學習興趣，激發求知欲；其次，利用萊洛三角形小車和Algodoo軟件，使學生通過動手操作、觀察思考、歸納抽象等過程建構萊洛三角形的概念. 在項目學習過程中，教師要注重引導學生動手操作與動腦思考緊密結合，培養學生批判質疑的意識和勇于探究的精神.

項目活動3：探究定寬曲線的性質.

學生活動：學生以小組為單位，先獨立思考，再與小組內成員共同完成如下項目作業.

探索發現：滾動萊洛三角形，在滾動過程中，萊洛三角形每時每刻都有一個最高點，其中心也在不停地移動位置，試畫出最高點和中心點的運動軌跡，并探究定寬曲線的性質.

學生活動：學生借助萊洛三角形塑料片動手操作，發現萊洛三角形在滾動過程中雖然中心點運動形成的軌跡上下波動，但是其最高點運動形成的軌跡卻是平穩的，如圖6所示. 這說明萊洛三角形在任意方向上的寬度保持不變，從而引出定寬曲線的概念.

思考：除了萊洛三角形外，還有什么圖形符合定寬曲線的特征？

探索：設定寬曲線的寬度為d，試計算表1中各圖形的周長與面積.

學生成果展示如下.

（1）巴比爾定理：如果定寬曲線的寬度為d，則其周長為πd，與具體形狀無關.

（2）布拉什科-勒貝格定理：在寬度相同的定寬曲線中，萊洛三角形面積最小.

（3）等周定理：在寬度相同的定寬曲線中，圓的面積最大.

【反思與評價】引導學生類比萊洛三角形的構造方法，以正奇數多邊形的頂點為圓心、對角線為半徑構造萊洛多邊形. 對于正偶數多邊形，學生嘗試用正方形構造，構造方法較多，教師引導學生計算其在不同方向上的寬度，歸納出結論，即正偶數多邊形不能構造出萊洛多邊形. 學生經歷操作實驗，理解了萊洛多邊形的構成元素，便可以進一步探索寬度相同的定寬曲線的周長和面積特征，以此發展學生的數學運算和邏輯推理能力.

項目活動4：萊洛三角形真的能做成車輪嗎？

萊洛三角形具備成為車輪的潛質，但也有不可避免的缺陷，在此基礎上引導學生討論改進方案，培養學生解決問題的能力.

綜合實踐：與圓形車輪相比，萊洛三角形車輪有什么優點和缺點？

學生活動：學生通過小組合作的形式討論出萊洛三角形車輪和圓形車輪各自的優缺點，發現相對于圓形車輪，萊洛三角形車輪的優點是節省材料，缺點是對制作工藝和技術要求較高，有明顯的用力集中區域，易磨損，重心不穩.

思考：針對萊洛三角形車輪的以上缺點，你能否設計改進方案？

學生成果展示如下.

（1）重心不穩問題的解決方案1：類比火車鐵軌，設計萊洛三角形專用車道，如圖7所示.

（2）重心不穩問題的解決方案2：根據機械原理，加裝傳動裝置，如圖8所示.

（3）易磨損問題的解決方案：把圓繞著萊洛三角形滾動一周，得到“圓滑”的定寬曲線，如圖9所示.

【反思與評價】雖然萊洛三角形車輪因其自身固有的缺陷沒有在生活中得到廣泛應用，但也不失為一個選擇. 在定寬的基礎上探究改進方案，有利于培養學生的應用意識和創新能力. 從某種層面上來說，科學研究就是研究“無用之學”，正是由于研究“無用之學”，才不斷拓展了人類知識和認知的邊界.

項目活動5：定寬曲線的應用價值.

美國NASA的技術人員為檢驗火箭截面是否為圓形提出了一套檢驗標準：每隔60°測量一次火箭在該方向截面內兩點間距離的最大值，如果三次測得的結果相同，火箭的截面即為圓形.

問題：如圖10，這套檢驗方法真的科學有效嗎？

學生成果展示：學生提出該檢測方法并不科學，并給出如圖11所示的反例.

【反思與評價】定寬曲線因具有定寬的特性，在生活中有著獨特的應用價值，如掃地機器人、幼兒專用鉛筆等. 萊洛三角形最為人所熟知的應用是汽車發動機中的轉子引擎. 汽缸被萊洛三角形分成三個獨立的空間，進氣、壓縮、做功和排氣在三個空間內依次完成，轉子每轉動一周，發動機點火做功三次. 這和圓軸發動機每轉兩周才做功一次相比，效率提高了很多.

項目延伸：邁斯納四面體.

某公司專門為自動駕駛汽車量身打造了一款3D打印的球形輪胎，它可以提高自動駕駛汽車的靈活性和安全性.

綜合實踐：除了球形以外，還有什么幾何體可以作為車輪呢？

學生成果展示：圖12為學生查找的邁斯納四面體圖片.

思考：邁斯納四面體是如何構成的？邁斯納四面體有哪些性質？邁斯納四面體有哪些應用價值？

【反思與評價】項目式學習要引導學生在真實情境中分析問題、發散思維，在解決問題的過程中進行對比思考和推理思考，體驗知識的外延世界，激發學生的內在學習興趣. 在平面中存在定寬曲線，那么在空間中存在具有類似定寬性質的幾何體嗎？引導學生將前期積累的項目活動經驗遷移到空間中，探索邁斯納四面體的性質和應用價值，使學生處在“發現—探索—成功—再發現—再探索—再成功”的積極探究狀態中.

四、項目反思

1. 項目式學習的問題設計與項目評價匹配

項目式學習應該基于真實情境下的問題解決進行推進. 所謂真實情境并非指現實生活中真實發生的事件，而是指能夠讓學生通過思考運用所學知識和能力真實解決問題的情境. 現實問題的給定條件和解決路徑通常不完善，需要教師調動學生思維中的元認知，設置基于生活經驗的、真實的、有趣的，包含核心知識與概念且具有挑戰性的驅動問題，創造條件讓學生不斷迸發思維火花，生成精彩觀點. 例如，本案例中圍繞“車輪為什么是圓形”設計驅動性問題，并把它拆解成有邏輯的序列子問題，包括將車輪做成圓形的優勢，車輪是不是只能做成圓形等. 學生在探究過程中會產生對定寬曲線的深層次理解并實現知識遷移，體現驅動問題高階化的特征.

項目評價伴隨問題而設計，并涵蓋整個項目式學習過程，教師要確保項目評價與項目目標、項目活動、項目成果相一致. 評價的方式可以多元化，如量化評價、判斷性評價、選擇性評價等. 例如，以項目式學習評價量表為標準，在項目推進的過程中讓學生審視自己的學習行為，進行量化評價；根據學生的表現，在分工協作、溝通交流、自我調整等方面進行判斷性評價；選出立足于對核心知識的理解，包含個人和集體智慧的項目成果，以展示與匯報、質疑與答辯等形式進行選擇性評價.

2. 項目式學習的活動體驗與思維發展并重

以“做數學”為基本實踐樣態的項目式學習從具身體驗性出發，通過學生的感官突出并延長活動體驗. 在項目實踐過程中，學生可以在教師的有效支持下，以“做中學、學中樂”的方式開展項目探究，保持好奇心和求知欲. 學生在利用已有的知識儲備完成力所能及的作品、解決適切的問題、呈現團隊成果時，便會產生成就感. 在項目推進過程中，學生與同伴開展有效且深入的討論與交流，便會找到價值感. 良好的活動體驗有利于驅動學生持續性學習，但教師在項目活動中不僅要關注學生是否獲得了好的體驗，更要關注學生的思維能力是否得到了應有的發展. 學生是否對驅動問題產生了真實的探究興趣，在持續探究的過程中是否調動了多種高階認知策略，在形成項目成果時是否實現了對核心知識的深度理解等，這些隱性而深層的思維活動也是項目式學習的價值所在.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］美國巴克教育研究所. 項目學習教師指南：21世紀的中學教學法［M］. 2版. 任偉，譯. 北京：教育科學出版社，2008.

［3］楊明全. 核心素養時代的項目式學習：內涵重塑與價值重建［J］. 課程·教材·教法，2021，41（2）：57-63.

［4］夏雪梅. PBL項目化學習設計：學習素養視角下的國際與本土實踐［M］. 上海：華東師范大學出版社，2018.

［5］喻平.“做數學”的理論基礎分析［J］. 教育研究與評論，2021（3）：22-26.

［6］董林偉，石樹偉. 做數學：學科育人方式的實踐創新［J］. 數學通報，2021，60（4）：22-24，62.