核心素養立意的高考數學復習

［摘? 要］ 根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》編寫的《普通高中教科書·數學（2019年版）》發行了近四年，課程改革已經成型，然教學改革明顯滯后. 文章結合“解三角形”同課異構的案例，從核心素養的角度淺談高考數學復習.

［關鍵詞］ 數學思想；核心素養；方程思想；函數思想

問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（簡稱《數學課程標準》）指出：“高中數學課程以學生發展為本，落實立德樹人根本任務，培育科學精神與創新意識，提升數學學科核心素養.”［1］關于數學學科核心素養，章建躍教授在《核心素養立意的高中數學課程教材教法研究》（簡稱《教材教法研究》）中指出：“理性思維和科學精神是數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等六個數學學科核心素養要素（也指六大關鍵能力）的靈魂，所以發展學生的數學學科核心素養是數學學科立德樹人的具體化……”［2］因此，高考數學復習應以發展數學學科核心素養為追求，挖掘題材的育人功能，促進學生提升數學“六大關鍵能力”，達到立德樹人根本目的.

數學學科核心素養的內涵

《數學課程標準》指出：“數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現.”［1］數學學科核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析，這幾方面既相互獨立又相互交融，是一個有機整體.

《數學課程標準》進一步指出：“數學學科核心素養的形成與發展的基本途徑是數學學習與應用數學.”［1］因此，發展數學學科核心素養的重要途徑之一在于應用數學，而解決問題是應用數學的重要體現. 所以，高考數學復習要讓學生在掌握“四基”、提升“四能”的基礎上，有效發展數學學科核心素養.

“解三角形”的案例分析

筆者有幸參加了本市一次高三復習“解三角形”的同課異構活動，聽了一節好課，下面呈現這一節課之片段，供分享.

上課伊始，G老師安排了課前測試，題目如下.

課前測試（5分鐘）：

△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2cosA（ccosB+bcosC）=a.

（1）求A；

（2）若AD是BC邊上的中線，AD=，c=3，求△ABC的面積.

師生活動：學生獨立思考并作答，教師課堂巡視，針對性輔導學生. 3分鐘后G老師示意學生甲上黑板板書，如下：

（1）由2cosA（ccosB+bcosC）=a及正弦定理，得2cosA（sinCcosB+sinBcosC）=sinA，即2cosAsin（B+C）=sinA. 因為 A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA≠0，所以2cosA=1，即cosA=. 因為0

5分鐘測試結束，G老師與學生交流對話如下：

G老師：測試結束，請同學們停止作答. 第（1）問同學們基本上都能限時完成作答，我們先來看看甲同學的作答情況. 大家覺得他做得怎么樣？

生1：過程整潔，推理嚴謹，很好啊.

G老師：嗯，很規范，值得大家學習. 還有不同的解法嗎？

生乙：有，我跟他的解法不一樣.

G老師：好，投影出來讓大家相互學習.

生乙的解題過程如下：

（1）由余弦定理，得ccosB+bcosC=c·+b·=+=a. 因為2cosA（ccosB+bcosC）=a，所以2acosA=a. 因為a>0，所以cosA=，又0

生2：這樣也可以，可惜我沒有做下去……

G老師：嗯，乙同學做得很好，書寫規范，過程嚴謹. 請大家比較一下，他們兩人的解法有什么異同？

生3：乙同學利用余弦定理，將角化邊求得角A，而甲同學利用正弦定理，將邊化角求得角A. 兩人的解法不同，卻殊途同歸.

G老師：對. 他們選擇的知識工具不同，一個用的是正弦定理，一個用的是余弦定理. 還有嗎？有沒有相同點呢？

生4：相同點？

G老師：嗯.

生5：我懂了. 無論是邊化角，還是角化邊，都是“解方程——消元法”的應用.

G老師：對啦，你太厲害了，一下子就看穿了.

生4：原來是這樣……

G老師：請同學們繼續求解第（2）問，限時5分鐘. 建議大家發散思維，從不同的角度去攻擊問題.

5分鐘測試結束，G老師選取三位學生的作答情況投影出來，供班上學生交流學習.

學生丙的解答過程如下：

（2）設BD=DC=x，在△ABC中，由余弦定理，得4x2=b2+9-3b①；在△ABD中，由余弦定理，得9=x2+-x·cos∠ADB②；在△ACD中，由余弦定理，得b2=x2+-xcos∠ADC ③.

聯立①②③，結合∠ADB+∠ADC=π，得b=2或b=-5（舍），所以S△ABC=bcsinA=.

學生丁的解答過程如下：

（2）由=（+），得2=（2+2+2·），即=·（9+b2+3b），解得b=2或b=-5（舍），所以S△ABC=bcsinA=.

學生戊的解答過程如下：

（2）如圖2所示，建立平面直角坐標系，則A（0，0），B

生7：丙同學采用的是幾何法，多次用余弦定理求解；丁同學用向量法求解；戊同學建立坐標系，用坐標法求解.

G老師：非常好，總結到點子上了——他們分別采用幾何法、向量法和坐標法解題. 大家對比一下各解法的優劣.

生7：向量法最好，效率最高.

生8：坐標法也很快呀.

生9：坐標法要建系、讀坐標，沒向量法快.

……

G老師：看來大家都有了自己的想法. 不過，就這道題而言，幾何法顯然復雜一些，向量法與坐標法占優. 可是，往往向量法與坐標法并用，才能得到更好的效果. 你們有印象嗎？

生10：對，立體幾何大題，求空間角或求空間距離，兩種方法并用.

G老師：嗯，很不錯，那么快就想起來了. 另外，請大家再想一想，剛才三位同學的解法有沒有相同之處？

生11：相同點？

G老師：沒錯，有沒有相同點呢？

生12：這個……

G老師：比如解題思想上有沒有相同之處？

生13：老師，他們的解題思想一致，都是建立方程或方程組解題.

G老師：大家說對不對？

生14：對哦，方程思想.

G老師：是的，他們都能根據方程思想去建立方程或方程組，只是他們建立方程的依據不一樣而已. 求解與三角形有關的問題，常常可以轉化為某個或某些量，此時需要建立方程或方程組，這是經驗，也應該成為常識. 當然，這類問題有時會轉化為求某個量的取值范圍或最值，這屬于函數問題.

……

點評 在這個案例中，G老師沒有直接講解測試題如何解答，測試過程也沒有作任何提示，而是讓學生獨立解題，巡視中給予個別學生必要的幫助. G老師這樣做的目的，是為了診斷學情，發現問題，為針對性教學做好鋪墊.

測試結束后，G老師并沒有“喧賓奪主”地進行講解，而是引導學生進行解題評價，其中不失時機地鼓勵學生創新解法，力求解法多樣. G老師有意營造“百家爭鳴”的探究氛圍，其目的是讓學生充分調動有關知識經驗解題. 其中，求解第（1）問，既可以利用正弦定理，又可以利用余弦定理；求解第（2）問，既可以利用余弦定理建立方程，又可以利用向量法或坐標法建立方程. 不同解法在課上交流，有利于完善學生的知識結構，豐富學生的解題經驗，進而達到夯實“四基”、提升“四能”的目的，為發展數學學科核心素養積蓄動力.

這一課，G老師通過一題多解的方式，充分調動學生數學思維與探究熱情，取得了較好的成效. 一題多解，其實質是要求學生根據問題情境，靈活調用已有知識和經驗，通過聯想、比較、歸納、類比、分析、綜合等思維方式，從不同角度、不同側面去攻擊問題，最終達到用不同途徑、不同方法解決同一問題的目的. 因此，一題多解，既有利于學生掌握“四基”、提升“四能”，又有利于學生發展數學運算、邏輯推理、數學建模等核心素養.

此外，G老師在課上重視從數學思想方法的角度去提煉解法，這有利于學生抓住解題要領，把握問題解決的關鍵. 學生解題難以突破，多半是想不到和不會想. 究其根源，是缺乏對數學思想方法的深刻理解. 因此，G老師在解題實踐中，有意滲透數學思想方法，這對于學生解題能力的提升大有裨益. 在上述案例中，盡管第（2）問的三種解法所用的知識不同，但三種解法都受方程思想的指引而被發現，三種解法均為了建立方程模型的需要而產生. 從這個角度來看，由于數學思想方法對解題有“方向”引領的作用，因此它對數學建模、數學推理都有顯著的促進作用.

核心素養立意的高考數學復習探討

綜合上述案例分析，筆者認為，以發展核心素養為追求，高考數學復習應做到如下幾點.

1. 夯實“四基”、提升“四能”

章建躍教授在《教材教法研究》中明確指出：“掌握數學知識是發展數學學科核心素養的前提. 離開知識的理解與應用，核心素養的發展將成為一句空話.”［2］因此，以發展學生的數學學科核心素養為追求，高考數學復習首先要夯實“四基”、提升“四能”.

第一，要讓學生有反復理解教材中基本而重要的數學概念的機會，讓學生多次經歷數學對象（概念）的歸納、概括過程，提升其直觀想象、數學抽象等素養；第二，要讓學生有多次推理、論證教材中基本而重要的公式、定理、性質的機會，讓學生多次經歷“發現—猜想—證明”的過程，提升其數學運算、邏輯推理等素養；第三，要讓學生有反復應用教材中重要的概念、公式、定理、性質去解決問題的機會，讓學生經歷數學建模與數據分析的全過程，提升其數據分析、數學建模等素養.

學生只有扎實掌握“四基”、提升“四能”，才能有效發展數學學科核心素養，才能在課程改革、高考改革的浪潮中行穩致遠，取得優秀的成績.

2. 把握“數學現實”，遵循認知規律

荷蘭數學家、數學教育家弗賴登塔爾認為，數學源于現實，必然扎根于現實，并且應用于現實，而且每個學生有各自不同的“數學現實”. 因此，筆者認為高三數學復習，教師應充分了解學生的“數學現實”，要清楚學生的需求（弱項）是什么，才能展開針對性復習，取得較好的備考效果.

把握學生的“數學現實”，其實質是在學生的最近發展區展開教學，最大限度地激發學生思考與探究，提升學生的數學學習興趣與數學思維能力；把握學生的“數學現實”，其實質是以發展學生核心素養為導向，根據學生的認知規律，科學地安排復習內容，讓學生有反復理解與應用重要的數學知識、思想方法的機會，使學生在夯實“四基”、發展“四能”的過程中有效發展數學學科核心素養.

3. 力求一題多解，培養發散思維、創新思維

發散思維，又稱輻射思維、放射思維、擴散思維或求異思維，是指大腦在思維時呈現的一種擴散狀態的思維模式——百度釋義. 它表現為思維視野廣闊，思維呈現出多維發散狀. 不少心理學家認為，發散思維是創新思維的最主要特點，是測定創造力的主要標志之一.

培養發散思維的重要途徑之一是一題多解. 學生在一題多解的探究過程中，充分調動已有知識和經驗，積極聯想、比較、歸納、類比、分析、綜合，尋求從不同方向破解問題. 因此，在高三數學復習教學中，教師應積極嘗試一題多解，充分調動學生的數學思維，激發學生的探究興趣，讓學生在解題實踐中夯實“四基”、提升“四能”，發展數學學科核心素養.

4. 突出數學思想方法，促進核心素養發展

數學思想是現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識中，經過思維活動而產生的結果，是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識.

數學思想在解題中的作用是明確解題實踐中的“方向”問題，常常也作為解題方法有效破解問題. 比如，上述案例中的兩個問題都可以轉化為求解某個或某些量的問題，根據經驗或常識，學生會自覺地建立方程模型求解. 這個過程體現了轉化思想與方程思想，而這些思想方法在解題實踐中具有廣泛性. 正因為如此，有學者毫不掩飾地稱：“掌握數學思想，就是掌握數學的精髓. ”

正如前文所述，由于數學思想方法對解題有“方向”引領作用，因此它對學生數學學科核心素養的提升有顯著的促進作用. 數學思想方法解決了解題的“方向”問題，而學生只有明確了解題“方向”，才能有效進行數學建模、數學運算，才能精準展開邏輯推理. 總之，在高三數學復習教學中，教師要在解題教學中突出數學思想方法，其根本目的是促進學生數學學科核心素養的提升.

結束語

2022年的數學高考Ⅰ卷可謂讓人耳目一新，同時又引人深思. 考試結束后，一時間社會上“訴難”情緒彌漫，考生、教師、家長都抱怨太難了. 2022年的數學高考Ⅰ卷真的難上天了嗎？筆者實在不敢茍同. 誠然，2022年的數學高考Ⅰ卷的個別題目與往年同類題目相比是難了一些，但大部分題目，情境設置新穎，褪去了以往“常規”的衣裳，要求考生能有效排除干擾，抓住問題本質，靈活調用知識方法解題. 因此，筆者認為2022年的數學高考Ⅰ卷考查的正是考生的“四基”“四能”以及數學學科核心素養，有效地為黨和國家選拔出了優秀人才.

數學新課程改革已然成型，新教材落地將近四年，高考改革有目共睹，那么教學改革也應積極行動. 最后，借章建躍教授在《教材教法研究》中語重心長的一席話供讀者反思、共勉：“本輪高中數學課程標準修訂工作的一個顯著特點是回歸數學學科本質，回歸數學教育的本來面目，注重發揮數學學科獨特的育人功能……數學教育要發揮數學的內在力量，數學教學不能搞花架子，要努力把數學教好，教好數學就是落實核心素養.”［2］

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 章建躍. 核心素養立意的高中數學課程教材教法研究［M］. 上海：華東師范大學出版社，2021.

作者簡介：許永華（1983—），本科學歷，中學一級教師，從事高中數學教育教學工作，曾獲廣東省教育教學成果獎一等獎、廣州市教學成果獎（未評等級）.