基于“四元五環”的“平面向量數量積”教學設計探析

葉誠理　林新建　林品玲

［摘? 要］ 教師可以遵循新課標理念，依照“四元五環”教學法，精心設計教學.即教師依循“四元”要素，遵循“情境—探究—體悟—內化—應用”五個環節實施教學，讓學生在建構知識的同時，感悟數學學科基本思想，積累活動基本經驗，并學以致用，發展數學學科核心素養.

［關鍵詞］ 核心素養；四元五環；四基；四能

教學設計構想

《課程標準》指出，高中數學教學應該以發展學生數學學科核心素養為導向，創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學內容的本質. 基礎知識和基本技能可以通過顯性教學的方式獲得，而學科思想、學科活動經驗則需要學生通過參與、思考、體驗和表達獲得，這些是隱性的. 為此，筆者提出了“四元五環”教學法，目的在于更好地融合顯性教學和隱性教學，促進學生理解、使用和積累這些隱性的東西，以實現學生的“四基”協調發展，實現學生的核心素養全面有效提升.

“四元”是教學設計思路，即教師必須深入理解學科本質，圍繞“知識明線、知識暗線、活動明線、活動暗線”四個要素設計出好的教學方法，使學科知識結構完整、層次清晰；使學生領悟學科基本思想方法，鍛煉和提升學科思維并逐步發展學科核心素養.

“五環”是教學實施環節，即為了實現學生的“四基”協調發展，實現學生的核心素養全面有效提升，教師應依循“四元”要素，遵循“情境—探究—體悟—內化—應用”五個環節實施教學，讓學生在建構知識的同時，感悟數學學科基本思想，積累活動基本經驗，并學以致用，發展數學學科核心素養.

教學過程設計

1.數學情境——感知向量數量積的背景

教師：我們學過向量的哪些運算？結果是什么？研究的方法是什么？

學生：我們學過向量的加法、減法和數乘運算，結果都是向量. 它們都是通過物理概念抽象概括得到的，比如力的合成與分解可以提煉出向量的加法、減法運算.

教師：物理學中同學們還學過兩個向量之間的哪種運算？（停頓片刻）

學生：物理學中學過兩個向量的乘法運算，得到的結果是一個標量即數量. 比如，在物理課中我們學過功的概念：如果一個物體在力F的作用下產生位移s（如圖1所示），那么力F所做的功W=Fscosθ，其中θ是F與s的夾角. （用PPT動畫展示）

教師：為什么公式中要乘力與位移夾角的余弦值呢？

學生：根據之前學過的正交分解知識，將力沿水平和豎直方向分解，其中豎直方向的分力在水平方向上的位移不做功，只有水平方向上的分力Fcosθ在水平方向上的位移才做功，因此W=Fscosθ.

設計意圖 由教師創設數學情境，引導學生回顧向量的線性運算及研究方法，根據學生熟悉的物理做功模型，引導學生發現問題，直觀感知向量數量積運算的物理背景，為接下來的向量數量積概念的提煉奠定基礎知識和方法.

2.數學探究——抽象向量數量積的特征

教師：通過做功的物理模型可知，功是力和位移共同作用的結果.其中，功是一個標量，力和位移是矢量，即兩個矢量的乘積可以產生一個標量即數量，而我們之前學過的兩個向量線性運算的結果還是向量，因此這種運算方式是我們之前沒有學過的一種新的運算，這給了我們一種啟示：能否把“功”看成某兩個向量“相乘”的結果呢？

設計意圖 通過類比，把物理學中的矢量抽象成數學中的向量，順利引出向量數量積的概念，啟發學生猜想向量之間是否存在著一種新的運算方式即向量的乘法運算，引發學生認知沖突，自然導入主題，抽象向量數量積的特征，體現特殊與一般思想在向量數量積概念引入中的應用.

追問1：由于力做功的計算公式W=Fscosθ涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角的概念.

已知兩個非零向量a，b（如圖2所示），O是平面上任意一點，作=a，=b，則∠AOB=θ叫做向量a與b的夾角.

追問2：兩個向量的夾角范圍是多少？

師生共同探究，固定向量a，繞著點O旋轉向量b，觀察得出0≤θ≤π.

3. 數學體悟——概括向量數量積的要義

教師：受此啟發，我們將公式中的力和位移推廣到一般向量，引入一種新的向量乘法運算——向量“數量積”.

規定：零向量與任意一個向量的數量積等于0.（為什么？）

教師：剛才我們學習了向量數量積的物理意義，那么向量數量積有沒有幾何意義呢？

如圖3①所示，設a，b是兩個非零向量，=a，=b，我們考慮如下變換：過的起點A和終點B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A，B，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.

如圖3②所示，我們可以在平面內任取一點O，作=a，=b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M，則就是向量a在向量b上的投影向量.

探究：如圖3②所示，設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，那么與e，a，θ之間有怎樣的關系？

cosθ·e. 師生共同歸納出向量數量積的幾何意義：兩向量的數量積等于其中一個向量的模與另一個向量在這個向量的方向上的投影的乘積.

設計意圖 通過作圖，得出向量a在向量b上的投影向量的概念，引入與b同向的單位向量e，構建向量a向向量b投影的代數結構，最終探究出向量數量積的幾何意義，將兩個不同方向的向量的數量積變換為一個方向上的向量的線性運算，實現“降維”的目的. 整個探究過程體現了數形結合、分類討論等數學思想，同時培養學生邏輯推理、數學運算等核心素養.

4. 數學內化——辨析向量數量積的內涵

教師：向量數量積的結果是什么？

學生：對比向量的線性運算，我們發現，向量的線性運算結果是一個向量，而兩個向量的數量積是一個數，這個數量的大小與兩個向量的長度及其夾角有關.

探究：從上面的探究我們看到，兩個非零向量a與b相互平行或垂直時，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性. 這時，它們的數量積又有怎樣的特殊性？

師生共同推導出向量數量積的重要性質如下：

設計意圖 從向量數量積的定義出發，引導學生從夾角特殊化、向量特殊化的角度，推導出向量數量積的重要性質，探究過程體現了特殊與一般思想的運用. 同時，這些性質的逆用值得關注，比如性質②可以用來判斷兩個向量的垂直關系，性質③可以用來推導向量的模長公式，性質④可以為高階向量問題如證明柯西不等式提供依據，等等.

教學設計體會

1. 基于“四能”提出問題

本節課的教學設計，重視向量數量積概念的引入過程，培養學生的數學抽象素養. 新課標指出，相對于結果，過程更能反映每個學生的發展變化，體現出學生的成長歷程. 在學生學過向量的線性運算的情況下，學生會自然提出向量的數乘概念，教師只要稍加引導，就可以引出新知；通過做功的物理模型可以引出向量數量積的概念，讓學生明白研究這種運算不僅是數學研究的必然，也是客觀世界的需要，使學生產生強烈的求知欲望；之后師生共同剖析概念，探究向量數量積的性質和運算律，讓學生感知向量數量積的結果不是向量而是數，進一步熟悉、鞏固向量數量積的性質和應用.

2. 基于“四基”設計過程

本節課的教學設計，凸顯類比思想方法，進一步培養學生的邏輯推理素養. 一是通過物理課中功的概念抽象出向量數量積的概念，二是通過類比數的乘法運算律得到向量數量積的運算律. 這樣的教學安排符合學生的認知規律，不僅使學生感到親切自然，同時能培養學生由特殊到一般的思想以及類比創新的意識. 在向量數量積中，既有長度又有角度，既有形又有數，是代數、幾何與三角的最佳結合點，不僅應用廣泛，而且很好地體現了數形結合思想.在學習過程中，學生通過自主探究，體會到成功的喜悅，激發學習興趣.

3. 基于“認知”設計探究

本節課的教學設計基于學生的學情，采用情境化的教學模式，以問題為載體，做到“三教”：一是教思考，引導學生在具體的情境中用數學眼光觀察物理現象、發現問題、抽象數學概念；二是教體驗，用數學思維提煉出向量數量積的概念，辨析與向量線性運算的本質差別；三是教表達，用數學語言表達出向量數量積的性質和運算律. 總之，教學中應通過師生互動、生生互動，經歷思考、體驗與表達的過程，培養學生自主學習、合作探究的能力［2］.

參考文獻：

［1］ 中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版）［M］. 北京：人民教育出版社，2018.

［2］ 林新建. 我的教學主張：自然數學［M］. 廈門：廈門大學出版社，2020.

基金項目：教育部福建師范大學基礎教育課程研究中心2021年度開放課題“基于核心素養的‘四元五環教學實驗的研究”（KCZ2021144），福建省教育科學“十四五”規劃2022年度課題“基于素養導向的高中數學幾何主題單元教學策略研究”（FJJKZX22-175）.

作者簡介：葉誠理（1979—），教育碩士，中學一級教師，從事高中數學教學與研究工作.