初中數學教學中數學思想方法的“滲透”

徐文文

［摘? 要］ 思想方法是隱藏在數學知識之后，在成百上千年的數學研究當中逐步積淀下來的、能夠反映數學本質以及數學學科發展規律的精華. 當下的數學教學不能將教學重點放在數學思想方法的名稱上，而應當將重點放在學生對這些數學思想方法的感悟與體驗上. 反映數學思想方法教學最恰當的詞匯是“滲透”. 數學思想方法的教學與落地，重在“體驗”，因此真正的數學思想方法滲透過程，應當是學生在體驗中運用數學思想方法的過程. 滲透不僅面向數學思想方法，還面向數學學科核心素養，因此滲透還可以成為數學學科核心素養落地的驅動力.

［關鍵詞］ 初中數學；數學思想；數學方法；教學滲透

思想方法在初中數學教學中的地位毋庸置疑. 無論在怎樣的教學改革背景之下，實施初中數學教學就一定會重視數學思想方法的價值. 而且無論在怎樣的教學目標之下，只要重視數學思想方法教學，就一定能實現數學教學目標. 當然，我們必須正視的現實是，當教師帶著不同的教學理念去實施數學思想方法教學時，其教學過程與教學結果都有所不同，且數學思想方法的教學有顯性和隱性之分，比如有教師在幻燈片或者學生的學習單上，給出了相應數學思想方法的名稱，以讓學生有明確的認識與判斷，這就是顯性的數學思想方法教學. 這樣的教學思路曾經在第八輪課程改革之初成為一種教學潮流，原因是這樣的選擇可以與三維目標中的“過程與方法”相匹配，可以體現數學思想方法的存在. 隨著對課程改革反思的不斷深入，人們發現，在這樣的教學思路之下，數學思想方法教學的效果值得商榷，從某種程度上來講，將教學重心放在數學思想方法的名稱上，有本末倒置之嫌.

思想方法原本就隱藏在數學知識之后，且是在成百上千年的數學研究當中逐步積淀下來的、能夠反映數學本質以及數學學科發展規律的精華. 當給這些具有高度概括性的思想冠以數學思想方法的名稱后，當下的數學教學顯然不能將教學重點放在數學思想方法的名稱上，而應當將教學重心放在學生對這些數學思想方法的感悟與體驗上. 特別地，對初中生來說，只是機械地記住某一數學思想方法的名稱毫無意義，但如果能夠給他們提供一個切實體驗數學思想方法的空間，那么他們就能形成屬于自己的感悟與認識，而這些認識又可以遷移到新的學習或者生活情境當中，從而體現數學思想方法的應用價值. 本著這樣的教學思路，筆者認為，反映數學思想方法教學最恰當的詞匯，就是“滲透”.

下面以蘇科版“三角形的中位線”教學為例，談談筆者對數學思想方法教學中的“滲透”的認識.

滲透——數學思想方法落地的恰當比喻

初中數學教師在理解數學方法的時候，可以適當地拓寬研究范圍，比如從生活的角度去認識“方法”的作用. 生活當中的很多場合都需要運用不同的方法，比如系鞋帶有系鞋帶的方法，做飯有做飯的方法等，這些方法的運用者未必知道這些方法的名稱（很多時候生活中的一些具體方法也沒有確定的名稱），但是方法運用者卻可以很熟練地完成這些動作，這就是方法在起作用. 諸如這樣的例子舉不勝舉. 從這些例子當中我們不難發現方法的價值體現在能幫助方法運用者解決問題上. 同樣的道理，教師教學數學思想方法時，也應當追求學生的體驗與運用，而這樣的理解通過“滲透”一詞來解釋，可以發現其中存在著充分的合理性，所以“滲透”是數學思想方法落地的恰當比喻.

有人說，如果將數學知識比喻成數學學科的血肉，那么數學思想方法就是數學學科的靈魂. 既然是靈魂，那就是一種無形的存在，同時又是不可或缺的存在. 人之所以能夠感受到靈魂的價值，在于人可以活著做很多有意義的事情；對數學學科而言，要讓學生感受到數學思想方法的價值，當然就在于引導學生帶著數學思想方法去進行新知識的學習，成功地解決具有挑戰性的問題等. 對初中生而言，這樣的數學思想方法教學，顯然不在于讓學生在學會新的知識或者解決新的問題之后，能夠宣稱自己運用了某某數學思想方法，而在于學生有了這樣的經歷之后，能夠感悟到自己對數學思想方法的運用.

這就是一個潤物無聲的過程. 舉一個簡單的例子，初中數學教學中最常見的數學思想方法是數形結合，很多代數與幾何知識的學習與應用中都有數形結合的身影. 尤其是當數量關系比較抽象的時候，我們就可以借助圖形來使數量關系變得更加形象；而在描述圖形之間規律的時候，又常常會借助數量關系來進行分析. 對初中生來說，這是一種司空見慣的學習思路，他們可能不知道數形結合這一概念，但這并不影響他們基于數形結合思想方法的運用去實現新知識的學習與新問題的解決. 在這樣的學習過程中，數形結合就是隱性的. 學生學到了相應的數學知識，且伴隨著不同的數學概念以及規律，他們能夠將這些概念與規律納入原有的認知體系當中，從而在豐富自己數學認知的同時，形成一定的問題解決能力. 在這種情形之下，學生完全不需要知道什么是數形結合——當然相對于其他數學思想方法而言，數形結合的概念比較形象，學生也容易理解，因此即使采用顯性教學也無不可. 筆者在這里舉這個例子就是想強調——對于數學思想方法的教學，重在滲透！潤物無聲的效果越好，數學思想方法教學的效果也就越好.

滲透——數學思想方法落地的案例分析

從上面的分析可以發現，在初中數學教學中，數學思想方法的教學與落地，重在“體驗”，因此真正的數學思想方法的滲透過程，應當是學生在體驗中運用數學思想方法的過程.

“三角形的中位線”在蘇科版教材當中，被編排在了“中心對稱圖形”這一章，接在了平行四邊形之后. 教材設計這部分內容，可以說是別具一格——其首先設計了一個建立在學生操作基礎上的問題：怎樣做才能將一張三角形紙片剪成兩個部分，并且使這兩部分可以拼成一個平行四邊形？

從學生的角度來看，這個問題涉及多個層面的內容，比如學生是選擇動手做還是動腦思考——通常來說，抽象思維能力不夠的學生會選擇前者，也就是這部分學生會借助自己的動作技能以及形象思維能力來解決這個問題；而抽象思維能力較強的學生，則會在大腦當中通過想象建構表象，然后對表象進行加工，從而解決這個問題. 從教學效果的角度來看，教師教學時可以讓學生先動手操作，然后進行回想（冥想也行），這樣學生就可以在形成感性經驗的基礎上，讓自身的表象變得更加清晰.

在這個過程中，學生所感知到的學習過程，其實就是對三角形的加工——剪切與拼湊. 這個過程越豐富，學生就越能認識到三角形的中位線與第三邊的長度關系，尤其是當學生在大腦當中實現如圖（教材里的圖形，此處略）所示的剪切與拼湊時，他們就更能發現這樣一個位置有其特殊性. 發現特殊性之后，其自然會進入學生的注意范圍，學生就會開始尋求數量之間的關系. 這是一個自然切換的過程，切換的對象是原先加工的圖形與后來的數量關系，而準確得出數量關系后，又可以反過來強化學生的學習成就感. 總體而言，這樣一個教學過程，符合初中生的學習規律. 有課程專家強調豐富知識的發生過程，原因也正在于此.

從數學思想方法的角度來看，上述教學過程涉及的數學思想方法有數形結合思想、直觀想象與邏輯推理思想等，下面具體闡述數形結合思想、直觀想象與邏輯推理思想.

（1）數形結合思想. 最開始，問題中的三角形紙片在學生眼里是一個具體的物體，而在學生的大腦當中則是一個三角形. 當學生的思維對象發生切換時，實際上就完成了數學抽象. 在這個過程中，學生需要面對的問題是：將分割的三角形的兩部分拼成平行四邊形，于是需要根據三角形的邊和平行四邊形的邊的關系（包括位置關系和數量關系），不斷地去試錯，以最終實現問題的解決. 此時，數、形兩個對象交織在一起，形中的數量關系影響著學生的思維，因此學生能獲得一個相對完整的數形結合思想體驗過程.

（2）直觀想象與邏輯推理思想. 學生大腦當中加工的是一個圖形，這個圖形需要變形，變形后又必須達成新的位置關系與數量關系. 可以說每一個學生在解決這個問題的時候，都希望自己能夠靈光一閃，從而解決問題. 學生有這種想法很正常，也值得鼓勵，因為這里既涉及幾何直觀、空間想象，又涉及邏輯推理，而這些既是數學學科核心素養的組成要素，又是數學思想方法的充分體現. 很多學生在解決問題的過程中，確實會出現靈光一現的情形，對于這種情形，我們很難做出解釋，通常會被認為是頓悟的結果，對應的數學思想方法則更多的與幾何直觀相關；學生通過自身的幾何直觀與空間想象，可以減少試錯的次數，同時能讓自己的判斷結果更接近正確結果；當學生對自己的猜想結果有所肯定時，數學學習中形成的實證意識，會驅動他們運用邏輯推理去證明，于是相應的數學思想方法會得到體驗.

……

分析這些數學思想方法的出現，可以發現它們的共同特點在于，學生成功地體驗了這些數學思想方法. 此時不需要學生說出這些方法的名稱，但是可以通過學習反思的策略，讓學生進一步思考自己是如何解決問題的. 事實證明，這樣的反思還可以讓學生進一步強化數學思想方法運用過程中的體驗，并且將這種體驗上升為一種個性化的默會認識. 這種認識會植根于學生的思維當中，且可以有效遷移，從而成為解決新的數學問題的有效工具.

這是一個實實在在的滲透過程，伴隨著顯性知識的學習，隱性的數學思想方法滲透其中，這讓學生擁有了一個更加完整的數學學習過程.

滲透——驅動核心素養落地的重要推力

完整是相對的，核心素養視角下的初中數學教學追求的完整，還包括數學學科核心素養的落地. 當前，關于在初中數學教學中如何發展學生的核心素養的研究文獻比較多，已經形成的初步共識是核心素養的落地依賴具體的教學過程，數學學科核心素養的落地則依賴具體的數學知識教學過程.

從這一點可以發現，數學學科核心素養與數學思想方法似乎存在相通之處. 應當說這一發現是符合規律的，核心素養與思想方法一樣，依賴知識發生的過程而存在，通常也不適宜作為直接教學的對象，因此，滲透其實不僅僅面向數學思想方法，其也面向數學學科核心素養，所以“滲透”也可以成為數學學科核心素養落地的驅動力.

上面闡述的數形結合思想以及直觀想象與邏輯推理思想，其實都與數學學科核心素養密切相關. 初中數學學科核心素養所強調的“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”，能將數形結合、直觀想象以及邏輯推理等容納進去. 比如，數學的眼光從何而來？其實數形結合就可以幫助學生形成數學的眼光——現實世界中的實物經過抽象可以變成形，描述這些形則需要數的關系，當學生經歷了這些過程后，數學眼光不就形成了嗎？同樣的道理，數學的思維和數學的語言也可以在這樣的過程中得到培養.

總而言之，初中數學教師真正要做的是提煉出教材之中的思想與方法，通過對其深刻內涵的挖掘，真正實現數學教學的目的［1］. 當下，通過滲透的思路來實施數學思想方法教學，并促進數學學科核心素養的落地，是最為可行的.

參考文獻：

［1］李秀文. 初中數學教學中思想與方法的滲透——評《數學教育研究方法論》［J］. 中國教育學刊，2021（12）：142.