核心素養之數學建模能力的培養

摘 要：本文分析了高中生數學建模能力現狀：整體能力比較薄弱，具體體現在實際問題轉化為數學問題的能力不足；利用已學知識構建數學模型的能力薄弱；數據整理與加工的能力欠缺；數學運算能力有待提高這幾個方面。本文以線性回歸模型為例，從建模全周期的視角和知識與概念教學兩方面論述培養學生數學建模能力的策略。建模全周期包含實際問題抽象成數學問題、數據探索、模型變換與確定、數據異常值處理、模型擬合效果評價幾個方面的微能力。概念與知識的教學層面又可以細分為打通概率知識與統計知識的聯系橋梁、線性回歸方程知識系統化教學、數值計算合理化訓練三個方面。

關鍵詞：高中數學；數學建模；線性回歸

中圖分類號：G6３? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? 文章編號：1673-9132（2023）25-00４５-03

DOI：10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2023.25.0１５

高中數學核心素養數學建模能力的要求：能用數學語言表達實際問題，從實際角度選擇或者構建合適的數學模型，通過數學運算解出結論，驗證其結果的可靠性，改進模型再驗證最后可以利用模型解決實際問題。數學建模中存在大量的模型，而高中階段線性回歸模型是學生學習比較深入的模型。基于現實考慮，結合線性回歸教學實際，我們要深度培養學生的建模能力。

一、高中生數學建模能力現狀

數學建模是兼具實踐技能與理論基礎的一種數學活動。數學建模能力最直接的體現就是在解應用題上。高中部分有勻速圓周運動模型、指數對數函數模型、線性回歸模型等。從教學實踐中發現，學生在解數學模型類題型時往往十分吃力。這和模型類題型具有的特點有很大的關系。模型類題型的主要特點：（1）題目文字信息量巨大，閱讀起來十分吃力；（2）無法從題目給出的信息轉化為具體的數學問題；（3）題目中含有大量數據，但是不知道如何整理這些數據；（4）在煩瑣的題目上摸索很長時間最后發現公式記不清了。特別是遇到線性回歸模型問題時，這些問題可以得到集中體現。其具有的特點：一道題型所占篇幅往往是一整頁試卷，十分考驗學生的數學抽象能力；很多數據十分考驗學生數據敏感性；公式冗長、計算繁雜，十分考驗學生的數據運算能力。

二、從建模全周期的視角培養數學建模能力

（一）實際問題抽象成數學問題的能力

從實際情境中快速提取對問題緊密相關的數據信息。教學中，教師要引導學生主動忽略背景知識中無關緊要的信息，緊緊圍繞和數值有關的諸如長度、距離、金額等數據，讓學生思考這些數據信息，有沒有哪些變量可以構建類似的函數關系，找到隱含的自變量x，因變量y。確定了自變量與因變量之后，教師就可以引導學生利用符號化語言來表達這個數學問題，完成實際問題到數學問題的抽象過程。

（二）數據探索能力

在構建數學模型的過程中，對數據的整體把握是最重要的環節。以高中階段統計知識為例，我們可以通過一些特征數（平均值、中位數、眾數、方差、標準差），了解數據的特征。我們還可以利用圖表的方式了解數據的整體分布情況，如頻率分布直方圖、條形圖、莖葉圖等。做完這些數據探索之后，判斷是否可以使用線性回歸模型的重要依據就是兩個變量的相關性的強弱。相關系數r≥0.6是通常判斷是否可行的一個指標。相關系數公式rxy= 。恰當選擇公式可以優化計算過程。當然除了相關系數外，另一個比較直觀的工具是散點圖。散點圖可以快速知曉數據的變化趨勢，判斷兩個變量之間是否具有線性關系。教學過程中，教師要強調相關系數和散點圖的含義，讓學生掌握通過相關系數或者散點圖解讀兩個變量的相關關系。學生經常會向教師提出這樣的問題：相關系數正負值與散點圖數據的趨勢中的斜率是什么關系？教學中與一次函數單調性相結合，函數圖像的上升趨勢與下降趨勢與散點圖非常相似，用知識遷移的方式講解散點圖趨勢、相關系數正負值與一次函數x的系數正負值的關系。

例1：某垃圾處理站2017年至2021年生活垃圾無害化處理量（單位：萬噸）。

由散點圖可看出，年份x與y符合線性回歸模型。請從相關系數層面進行說明為什么符合線性回歸模型。

0.99相關系數0.99，相關性非常高，符合線性回歸模型。

（三）模型轉換與確定模型的能力

該散點圖上的點更多在這個模型函數圖像周圍。

（四）數學建模之異常數據處理的能力

數據中常常遇到異常值，異常值的產生可能是系統誤差也可能是偶然誤差。有異常值的出現會對整個模型產生重大影響，影響結果的準確性。利用錯誤的數據將得到錯誤的模型，而錯誤模型對預測結果與實際結果將是天差地別。異常值最簡單的處理方法就是剔除異常值。當剔除個別數據不影響數據的整體性時，優先剔除異常值。判斷異常值最直觀的方法就是散點圖。教學中，我們可以適當結合例題說明異常值對整個模型的影響，并思考如何去除異常值。

解：通過分析圖2可知出現一個異常點（2.2，5.15）。

（五）數學建模之評價模型的能力

模型建立好之后，如何判斷模型的優劣？線性回歸模型擬合效果的主要兩個途徑：一個是利用線性回歸直線與散點圖位置關系，散點是否聚集在直線周圍。另一個是利用殘差分析知識，擬合優度值R2越接近1越好。高中線性回歸模型學習，重點部分在線性回歸模型公式的運用，但在線性模型的選擇和擬合效果的殘差分析上，大部分教師會因為課時和考試評價原因忽略這一部分知識點的教學。所以除了學習線性回歸模型公式外，教師還需要對擬合效果進行特別教學，促使學生快速掌握模型評價能力。

三、從概念與知識的教學考慮回歸模型的能力培養

（一）打通概率知識與統計知識的聯系橋梁

任何數學建模都是建立在一定的數學概念與知識的基礎上的，所以高中階段對概念與知識的學習絕對是重點。只有透徹學習概念與知識之后，我們應用起來才得心應手。線性回歸部分設計概率與統計的概念與知識。統計方面涵蓋知識：抽樣方法、樣本數據的四大特征（眾數、中位數、平均數、方差與標準差）、頻率分布直方圖、回歸分析與獨立性檢驗。概率方面涵蓋知識：古典概率、條件概率、兩點分布、二項分布、超幾何分布、正態分布、離散型隨機變量分布列、連續型或離散型隨機變量均值與方差。概率統計的學習具有很強的應用性。概率的隨機變量與統計的分布是相輔相成的關系。隨機變量與函數自變量相比，函數的自變量是確定的，而隨機變量是不確定的。與大多數數學問題是確定性問題不同，“概率統計”中的變量具有不確定性。這個不確定特指隨機變量所取的值具有概率性，這是統計的核心。統計調查的每個部分都與隨機變量有關，把統計的概念同變量的理解聯系起來，有助于強化學生對統計的理解。在學習線性回歸模型模塊時，我們可以按照建模的步驟進行學習，分別是問題分析、數據提取、數據整理、數據分析，這樣學生可以完整地把握線性回歸過程。另一個核心是利用大數定理來介紹概率與頻率的關系、頻率分布直方圖與連續型隨機變量概率密度函數的關系。

（二）線性回歸方程知識系統化教學

四、結語

數學建模是一個系統工程，只有從建立線性回歸模型全周期角度培養學生的抽象能力、數據探索能力、模型變換能力、異常值處理能力、模型評價能力，才能將線性回歸建模完全掌握。教學實踐中，特別需要注意線性回歸模型背后蘊含的概率統計的概念與知識是其最重要的理論支撐。推廣到一般模型，建立模型的全周期和支撐其模型背后的是扎實的數學概念與數學知識。教師不必束縛于題海當中，而應當跳出題型框架來進行教學，使學生的數學建模素養得到切實提升。

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［責任編輯 杜建立］