觀圖形之美，得思維之源

姜會珍

【摘要】學生在掌握判定三角形全等的基礎上，通過觀察讓學生發現如何從“旋轉模型”轉化成“手拉手模型”，結合動手操作實驗更深入地了解“拉手”，進一步總結出“手拉手模型”的一般特征，讓學生能夠在復雜圖形中找到“手拉手模型”，再通過從變化中尋找不變的學習思路，經歷猜想、證明的過程得出一般性結論，從而更好地幫助學生解答復雜圖形中包含“手拉手模型”的題目.

【關鍵詞】初中數學；三角形全等；手拉手模型

1 基本情況分析

在本節內容之前，學生經歷了全等圖形、全等三角形以及判定三角形全等等學習過程，掌握了三角形全等的性質定理及判定定理，熟悉通過提出猜想、證明猜想的探究過程，這為他們總結出手拉手模型的一般性結論提供了思路.初中生正處在具體形象思維向抽象邏輯思維過渡的時期，Geogebra動態展示正好可以作為本節課這兩種思維過渡的“中介”.在動態圖形的觀察過程中提升學生的實踐能力和思維創造力.

2 教學重難點

重點 通過觀察、動手操作發現“手拉手模型”的特征.

難點 證明“手拉手模型”的一般性結論.

3 教學過程設計

課前準備 希沃白板，刻度尺，Geogebra軟件.

3.1 展示動態圖形，歸納模型特征

操作1 展示共頂點以及相同頂角的兩個等腰三角形的動態旋轉過程，你有什么發現？（先展示兩個全等的等腰三角形，再展示兩個相似等腰三角形，如圖1－圖6）

設計說明 兩個全等的等腰三角形繞著頂點O旋轉的過程中出現的三種特殊情況，如圖1-圖3，在旋轉角為0°時，點A與點C重合，點B與點D重合此時兩個三角形完全重疊在一起；當旋轉角小于頂角時，此時兩個等腰三角形部分重疊，頂角有一部分屬于公共部分，∠COA +∠COB=∠BOD +∠COB，底邊AB和CD有交點；當旋轉角大于頂角時，兩個等腰三角形沒有重疊部分.這三幅圖是旋轉過程中出現的特殊情況.通過兩個全等三角形的旋轉將學生引入本節課的主核—旋轉定模.本著由易到難的原則，接下來將全等三角形改為兩個相似三角形的旋轉，旋轉中出現的特殊情況與全等三角形出現的特殊情況相同，如圖4-圖6.

操作2 兩個等腰三角形的底邊的左邊端點與左邊端點相連，右邊端點與右邊端點相連，然后旋轉，你有什么發現？（這里僅考慮相似等腰三角形的情況）

設計說明 以兩個共頂點的相似三角形為例，讓學生自己完成“拉手”的過程，拉手遵循左拉左，右拉右的原則.更深入地感受手拉手模型的特征.拉手以后就完成了手拉手模型的構建.通過模型的構建過程可以總結出“手拉手模型”的特點：（1）兩個等腰三角形共頂點；（2）頂角相同；（3）左手拉左手，右手拉右手.

將其中一個等腰三角形旋轉可以出現以下特殊情況，如圖7，圖8，也是本節課要重點研究的圖形.

3.2 融合模型特征，探索一般結論

問題1 我們已經知道了“手拉手模型”的特征，觀察模型你有什么發現？如圖7部分重疊手拉手，填寫已知與求，并寫出證明過程.

設計說明 通過提問給學生指出思考方向，讓學生觀察模型，提出猜想，因為是在學完三角形全等的判定以后展開的本節課，所以學生思路會往三角形全等上面走，在學生思考的過程中給予適當的引導，以部分重疊手拉手為例，學生不難發現兩個“左手”與拉手的那條線段與兩個“右手”與拉手的那條線段組成的兩個三角形全等，即△AOC≌△BOD，接著可以提問學生：要想證明這兩個三角形全等，我們已經有什么條件，哪些是直接條件，哪些是間接條件，如何把間接條件轉化成證明中的直接條件？學生通過觀察Geogebra動態圖形將這個問題用數學語言轉化成以下題目：如圖7，已知OA=OB，OC=OD，∠AOB =∠COD，

求證：△AOC ≌ △BOD.

目前給的條件符合SAS證明三角形全等，但是其中有一個條件不是直接條件，需要轉化成直接條件，在學生證明過程中稍加提醒，學生就可以獨立完成證明.

證明 因為∠AOB =∠COD，

所以∠AOB -∠COB =∠COD -∠COB，

即∠AOC =∠BOD.

在△AOC和△BOD中，

OA=OB，

∠AOC =∠BOD，

OC=OD，

所以△AOC ≌ △BOD（SAS）.

在這里要跟學生強調在證明過程中的角相等是間接條件，兩個大角相等∠AOB =∠COD，減去公共角∠COB，有∠AOB-∠COB =∠COD -∠COB得出的兩個角依然是相等的，即∠AOC =∠BOD，在這里用到了等式的性質1，等式兩邊減去同一個數等式依然成立，所以兩個角減去同一個角所得的兩個角依然相等.證明這兩個三角形全等的方法是SAS.

對于圖8，兩個等腰三角形沒有重疊的部分，此時上述證明需要將減去公共角∠COB，改為加上公共角∠COB.證明如下：

證明 因為∠AOB =∠COD，

所以∠AOB +∠COB=∠COD +∠COB，

即∠AOC =∠BOD，

在△AOC和△BOD中，

OA=OB，

∠AOC =∠BOD，

OC=OD，

所以△AOC ≌ △BOD（SAS）.

在驗證三角形全等的證明過程中既鞏固了三角形全等的知識，又培養了學生的探索能力，對于提高學生的數學思維能力有很大的幫助.

問題2 得到兩個三角形全等以后，觀察模型，你還發現了哪些相等的角、相等的邊？

設計說明 在三角形全等的基礎上繼續探索相等的角及相等的邊，學生會很快地根據三角形全等的性質：全等三角形對應邊相等，對應角相等.得到相等的邊為：AC=BD；相等的角為：∠ACO =∠BDO，∠OCA =∠ODB.這些結論是三角形全等的引申結論，這個問題是為下一個問題做鋪墊.

問題3 繼續觀察模型，找一找還有沒有和等腰三角形頂角相等的角？

設計說明 問題3是問題2的延伸，排除掉問題2中的角，在剩下的角中尋找會降低難度，學生通過觀察比對發現還有兩個角∠AEB，∠DEC與等腰三角形的頂角相等（如圖9全等手拉手），學生可以得出猜想∠AOB=∠AEB，得出猜想以后需要加以證明，在證明的過程中需要用到上學期學過的“八字模型”，證明過程如下：

證明 因為△AOC ≌ △BOD，

所以∠OAC =∠OBD.

在△AOF中，

∠OAC +∠AOB +∠OFA=180°，

在△BEF中，

∠OBD +∠AEB +∠BFE=180°，

又因為∠OFA =∠BFE，

所以∠AOB =∠AEB.

同理可證∠COD =∠CED.

這個問題對于學生的整體素質要求很高，在實際上課的過程中僅有數位同學觀察得到，其他同學需要教師提醒，得出猜想以后對于“八字模型”的證明也有些障礙，要發現其中有一組對頂角相等，還有通過問題2得出的三角形對應角相等.縱觀問題2和問題3，都是在問題1的基礎上進行引申得來，所以“手拉手模型”得出△AOC ≌ △BOD是后續一系列問題探索的根源.

基于問題2和問題3，我們這個題目可以補充為下題：

如圖9，已知OA=OB，

OC=OD，∠AOB =∠COD.

求證：①=1＼*GB3＼*MERGEFORMAT△AOC ≌ △BOD；

②=2＼*GB3＼*MERGEFORMATAC=BD，∠ACO =∠BDO，

∠AOB =∠ODB;

③=3＼*GB3＼*MERGEFORMAT∠AOB =∠AEB.

至此學生目前掌握的知識能夠發現的結論已經全部得出.

4 結語

進入初中以后，數學學習內容抽象程度越來越高，筆者此次的設計由易到難，盡管學生的能力有差異，但是學生都可以嘗試.例如：基礎薄弱的同學觀察模型的運動可以觀察到兩個全等的三角形，基礎較好的學生可以觀察整個圖形的變化，從三角形全等，到相等的邊、相等的角.數學模型的學習有利于培養學生的數學思維.本節課是先在旋轉運動中找不變，歸納出特征，從而得出一般性結論.數學模型有利于培養學生歸納總結的意識，換個角度來說，這節課的設計也是一個轉化過程：將動態圖形轉化為固定的圖形.模型結論證明是利用了三角形全等的判定以及全等三角形的性質、三角形的性質等.這個過程奇妙而又自然，在今后的教學中，筆者會努力與學生一起嘗試更多的模型類型.

參考文獻：

［1］任志燕.圖形變換思想在初中數學教學中的滲透研究［D］.上海：上海師范大學，2012.

［2］黃燕玲，喻平.對數學理解的再認識［J］.數學教育學報，2002，11（3）：40-43.